 |
Методические основы изучения табличного умножения и деления
|
|
|
|
Чтобы обеспечить прочное овладение таблицей умножения, необходимо организовать работу учащихся так, чтобы вычислительные навыки табличного умножения и деления были сформированы у учащихся начальных классов качественно, являлись осознанными и могли применяться в различных приемах внетабличного умножения и деления. Добиться этого учитель может строя свою методическую работу поэтапно, как выявлено нами в предыдущем параграфе. Только строго последовательная методика способствует распределению во времени ознакомления школьников с теоретическими фактами, лежащими в основе построения таблицы умножения, а затем составление таблиц и их последующее заучивание.
Табличное умножения и деление изучается в следующей последовательности:
) конкретный смысл умножения,
) конкретный смысл деления,
) переместительное свойство умножения,
) взаимосвязь между компонентами и результатом умножения.
Раскроем методику знакомления младших школьников с этими математическими фактами. [7, с. 86 - 97],
На первом этапе формируются знания о самих действиях умножения и деления, на втором главное внимание уделяется усвоению учащимися таблиц умножения и соответствующих случаев деления.
Умножение и деление сначала их изучения целесообразно рассматривать раздельно, поскольку главным при этом является раскрытие не взаимосвязи между ними, а конкретного смысла этих действий.
Для осознания необходимости введения нового арифметического действия для случаев сложения одинаковых слагаемых можно использовать различные реальные ситуации. Например: учащимся предлагается посчитать количество кафельных плиток, необходимых для выкладки стены на кухне. Стена имеет форму прямоугольника, разбитого на квадраты. Учащиеся начинают действовать способом поединичного счёта клеток, но обнаруживают трудоёмкость работы. Подчеркнув это, учитель ставит задачу найти более простой путь поиска ответа. После этого учитель вводит новую запись, используя знак умножения ´, и предлагает учащимся сопоставить записи. Т.е. умножение рассматривается как нахождение суммы одинаковых слагаемых. Дети должны усвоить связь между сложением и умножением, научиться понимать смысл каждого компонента произведения: число, которое берётся слагаемым, - первый множитель; число, которое показывает, сколько одинаковых слагаемых, - второй множитель. Раскрывая конкретный смысл умножения, следует, прежде всего, расширить опыт учащихся в выполнении соответствующих операций над предметами. Ещё в 1 классе при изучении нумерации, сложения и вычитания в пределах 10 и 100 целесообразно ввести счёт пар предметов, троек и т.д. и предлагать задачи или примеры на нахождение суммы одинаковых и неодинаковых слагаемых:
|
|
|
1) В трёх коробках лежит по 6 карандашей в каждой. Сколько всего карандашей в коробках?
2) В первой коробке 3 карандаша, во второй - 6, в третьей - 8. Сколько всего карандашей в коробках?
Подобные задачи (примеры) полезно иллюстрировать предметами или рисунками. Следует включать и обратные упражнения: по данным рисункам составить задачи (примеры) на сложение.
Решая такие задачи и, вычисляя значения выражений, учащиеся замечают, что есть суммы с одинаковыми слагаемыми, и считают, сколько таких слагаемых.
Во 2 классе сумма одинаковых слагаемых заменяется произведением (6+6+6+6=24; 6·4=24). Выполняя эту операцию, дети знакомятся с действием умножения, знаком и записью умножения, усваивают роль множителей.
Покажем, как это можно сделать.
Учитель предлагает решить задачу: «Девочка наклеила марки на 4 страницы альбома, по 5 марок на каждую. Сколько всего марок наклеила девочка?» Выполнив иллюстрации, учащиеся записывают решение: 5+5+5+5=20.
|
|
|
Что можно сказать о слагаемых этой суммы? (Одинаковые.)
Сколько их? (4.)
Здесь по 5 взяли 4 раза. Если слагаемые одинаковые, то сумму можно записать иначе: 5 · 4=20. (Дети повторяют.)
Можно прочитать по-другому: 5 умножить на 4, получится 20. (Повторяют.)
Умножение обозначают знаком - точкой. Что показывает в этой записи число 5? (Число 5 берётся слагаемым.)
Что показывает в этой записи число 4? (Сколько раз взяли слагаемыми число 5.)
Затем выполняется несколько упражнений на замену суммы произведением. При этом дети устанавливают, что показывает каждое число в новой записи.
Далее предлагаются обратные упражнения: на замену произведения суммой. Например, предлагается найти результат: 3 ·4.
Прочитайте пример. (3 умножить на 4.)
Что в этой записи показывает число 3? (Это число берётся слагаемым.)
Что обозначает число 4? (Сколько берётся слагаемых.)
Заменим выражение на умножение выражением на сложение. Запись: 3+3+3+3=12. Для усвоения связи умножения со сложением полезно предлагать упражнения: чтение примеров на умножение, запись аналогичных примеров под диктовку сначала учителя, а затем ученика, составление учащимися примеров на сложение и умножение, решение простых задач на нахождение произведения сложением и умножением.
Очень важно, чтобы учащиеся поняли, при каких условиях возможна замена суммы произведением и когда она невозможна. Это помогает решению примеров с одинаковыми и разными слагаемыми. Можно предложить учащимся задания, направленные на формирование умения заменять сумму произведением.
Например:
«Замени сумму одинаковых слагаемых произведением».
а) 6+6+6+6+6+6=… в) 9+9+9+9+9+9+9+9=…
б) 4+4+4+4=… г) 7+7+7+7+7+7=…
Можно предложить составить с одинаковыми числами примеры на сложение и умножение по рисункам.
Выяснить, чем сходны и чем отличаются эти примеры. Целесообразно по данным примерам (4+3 и 4 ·3) выполнить рисунки, найти результаты и сравнить примеры.
Полезны упражнения с равенствами и неравенствами, например:
сравните выражения и поставьте знак «<», «>» или «=»:
·2…18 · 3 3 · 4…2 · 4
+4+4…4 · 2 4 ·7+4…4 ·9
|
|
|
Приведём объяснение ученика при выполнении последнего задания: слева сложили семь четвёрок да ещё прибавили одну - всего стало 8 четвёрок, а справа их 9. Слева четвёрок меньше, чем справа, значит слева получится меньше, поставим знак «<».
При выполнении упражнений следует обращать внимание учащихся на порядок расположения множителей в записи умножения: на первом месте пишется число, которое берётся слагаемым, а на втором - число, которое показывает, сколько берётся одинаковых слагаемых.
Заметим, что в упражнения могут включаться примеры не только с однозначными множителями (4 · 3), но и с двузначными (12 · 3). Это делается с той целью, чтобы учащиеся на данной ступени практически пользовались известной им взаимосвязью между умножением и сложением, упражняясь в выполнении различных случаев сложения.
На данном этапе не требуется, чтобы учащиеся запоминали наизусть результаты умножения.
Следующий шаг в изучении действия умножения - раскрытие переместительного свойства умножения. Знание этого свойства даёт возможность почти вдвое сократить число случаев, которые необходимо запомнить наизусть. Вместо двух примеров (8 · 3 и 3 · 8) ученики запоминают только один.
Переместительное свойство умножения учащиеся могут «открыть» сами, используя наглядные пособия в виде рядов клеток (кружков, пуговиц, звёздочек).
Усвоению переместительного свойства умножения помогают упражнения, аналогичные следующим: вычислите результат второго примера, пользуясь результатом первого: 7 · 6 = 42 и 6 · 7 =….
Сравни выражения и поставь между ними соответствующие знаки:
· 7…..7 · 9 5 · 7…..5 · 6
· 7…..7 · 8 8 · 4…..8 ·7
Какие знаки действий нужно вставить вместо звёздочек (*), чтобы получились верные равенства.
× 7 = 9 × 6 × 9 6 × 7 = 6 × 8 × 6
× 4 = 8 × 5 × 8 5 × 8 = 5 × 7 × 5
Вставь в окошки пропущенные числа, чтобы получились верные записи:
· 4=4 · 12 · =3 · 12
|
|
|
· 2 > 8 · 5= · 4
· 6= · 9 6:3 <
Выполнив каждое упражнение и сравнив их учащиеся убеждаются, что в произведениях множители переставлены, значит, произведения равны. На этом же основании подбирается знак действия или число.
Во 2 классе переместительное свойство умножения записывается в общем виде с помощью букв а · b = b · а.
Основой формирования у младших школьников представлений о смысле деления служит теоретико-множественный подход к трактовке частного, суть которого сводится к разбиению конечных множеств на равночисленные подмножества, не имеющие общих элементов. Конкретный смысл деления раскрывается путём соответствующих операций с множествами, при решении задач а) на деление по содержанию,
б) деление на равные части.
В связи с этим учащиеся должны уметь выполнять по условию задачи операции над множествами; понимать, что этим операциям соответствует действие деление; научиться записывать решение задач с помощью этого действия.
Позднее учащиеся знакомятся с названиями компонентов и результатов действий умножения и деления: первый множитель, второй множитель, произведение, позднее - делимое, делитель, частное. Здесь же дети узнают, что термины «произведение» и «частное» обозначают не только результат действия, но и соответствующее выражение, например: 4 · 3 и 20: 5.
Чтобы создать лучшие условия для изучения табличных случаев умножения и деления, раскрываем связь между компонентами и результатом действия умножения, а также обобщаются два вида деления. Опираясь на эти знания, учащиеся могут на основе каждого случая умножения получить соответствующие случаи деления: если 7 · 3 =21, то 21: 7 = 3 и 21: 3 = 7.
Связь между компонентами и результатом действия умножения раскрывается с помощью наглядных пособий.
·3=6
:2=3
:3=2
После выполнения нескольких упражнений ученики делают вывод: если произведение двух чисел разделить на первый множитель, то получим второй множитель, а если произведение двух чисел разделить на второй множитель, то получим первый множитель.
Позднее два вывода объединяют в один: если произведение двух чисел разделить на один из множителей, то получим другой множитель.
Особое внимание надо уделить упражнениям на нахождение результата деления по данному произведению. Позднее аналогичным образом решается вопрос о нахождении неизвестного делимого и делителя.
Далее рекомендуется провести работу по обобщению двух видов деления.
В связи с тем, что конкретный смысл действия деления раскрывался путём решения простых задач на деление по содержанию и на равные части, у учащихся может возникнуть неверное представление о действии деления: как будто существуют два различных действия деления. Поэтому очень важно показать детям, что независимо от того, делим ли по содержанию или на равные части, получим одинаковые частные, если делим одни и те же числа.
|
|
|
После выполнения нескольких упражнений ученики уясняют, что в обоих случаях при равных делимых и равных делителях получаются равные частные.
На этом же этапе изучаются приёмы для случаев умножения и деления с числами 1 и 10. Раскрывая приёмы, учащиеся будут применять только что полученные знания, а, следовательно, лучше усвоят их. Кроме того, они овладеют рядом приёмов, на основе которых будут быстро находить результаты, отпадает необходимость в заучивании этих результатов.
Сначала рассматривается случай умножения единицы на числа, большие единицы. Учащиеся решают ряд примеров, находят результат сложением: 1· 2=1+1=2.
Затем, сравнив в каждом случае результат с множителями, они приходят к выводу: при умножении единицы на любое число получается то число, на которое умножали. В дальнейшем аналогичные примеры решаются на основании этого правила.
Далее вводится правило умножения на 1: при умножении любого числа на 1 получается то число, которое умножали, например: 4 · 1=4, 12 · 1=12. Здесь невозможно использовать приём замены произведения суммой, на этом же основании нельзя опираться и на перестановку множителей. Поэтому надо просто сообщить детям это правило, и в дальнейшем использовать его в вычислениях.
Деление на число, равное делимому (3: 3 = 1), раскрывается на основе конкретного смысла деления.
Деление на 1 вводится на основе связи между компонентами и результатом действия умножения: зная, что 1 · 4=4, найдём, что 4: 1=4. Решив таким образом ряд примеров и сравнив их между собой, ученики делают вывод: при делении любого числа на единицу в частном получается то же число. Этим выводом они пользуются в дальнейшем при вычислениях.
При умножении 10 на однозначные числа ученики пользуются приёмом: чтобы умножить 10 на 2, можно 1 дес. умножить на 2, получить 2 дес., или 20. Умножая на 10, дети используют переместительное свойство умножения.
Знания о смысле умножения и деления являются основой изучения на втором этапе табличных случаев умножения и соответствующих случаев деления.
Табличное умножение и деление изучается совместно, т.е. из каждого случая умножения получают соответствующие случаи деления. Основой для этого служит знание учащимися связи между компонентами и результатом действия умножения.
Сначала рассматриваются все табличные случаи умножения и деления с числом 2, затем 4 и т.д.
Табличные случаи умножения и деления с каждым числом изучаются примерно по одному плану.
Обратим внимание на то, что прежде всего необходимо составить таблицу умножения по постоянному первому или второму множителю. Если составить таблицу по постоянному первому множителю (2 · 2, 2 × 3, 2 · 4 и т.д.), то учащиеся легко будут находить результат последующего примера, пользуясь результатом предыдущего (2 · 4=2 · 3 + 2), но в этом случае будет в некоторых суммах много слагаемых (2 · 9 - девять слагаемых).
Если же составлять таблицу по постоянному второму множителю (2 · 2 = 2+2; 3 · 2 = 3+3; 4 · 2= 4+4…); чтобы найти результат следующего примера, пользуясь предыдущими, придётся рассуждать так: 4 · 2 = 3 · 2+2; 5 · 2 = 4 · 2+2.
Учитель может выбрать любой из этих двух вариантов.
Изучим сначала таблицу по постоянному первому множителю. Для нахождения результата используют различные приёмы: произведение заменяют суммой
(2 · 3 = 2+2+2 = 6); к результату предыдущего примера из таблицы прибавляют соответствующее число: 5 умножить на 3, получится 15, а при умножении 5 на 4 (на одну пятёрку больше) можно результат вычислить так: 15 + 5 = 20; или из известного результата вычитают соответствующее число: ученики знают, что 8 · 10 = 80, а 8 · 9 (на одну восьмёрку меньше), поэтому результат можно вычислить так: 80 - 8 = 72; используют перестановку множителей (2 · 5 = 5 · 2).
После того как составлена таблица по постоянному первому множителю, из каждого примера на умножение учащиеся составляют ещё один пример на умножение (переставляют множители) и два примера на деление (на основе связи между компонентами и результатом умножения), например:
I II III IV
· 2=4 4:2=2
· 3=6 3 · 2=6 6:2=3 6:3=2
· 4=8 4 · 2=8 8:2=4 8:4=2
· 5=10 5 · 2=10 10:2=5 10:5=2
Каждая таблица умножения по постоянному первому множителю составляется начиная со случая равных множителей, поскольку случаи, предшествующие этим, уже были рассмотрены ранее.
На уроках математики рассматриваются вопросы:
3) Связь между компонентами и результатом умножения.
В основу анализа взаимосвязей между произведением и множителями положено сравнение троек равенств вида:
· 4=12
: 3=4
: 4=3.
Анализируя данные равенства с точки зрения их сходства и различия, учитель обращает внимание детей на то, как получены второе и третье равенства из первого. Для получения вывода о характере связи между компонентами и результатами умножения недостаточно ограничиться одним примером, необходимо рассмотреть их по крайней мере два или три.
) Приёмы умножения и деления на 10.
Для нахождения произведений дети опираются на знание смысла действия умножения и на переместительное свойство умножения, частные находятся на основе связи между компонентами и результатом умножения.
Для усвоения приёмов умножения и деления на 10 в учебнике предусмотрены специальные тренировочные упражнения.
) Задачи с величинами цена, количество, стоимость.
Используется взаимосвязь между компонентами.
| ЦЕНА | КОЛИЧЕСТВО | СТОИМОСТЬ |
| 15 рублей | 3 штуки | ? |
| 15 рублей | ? | 5 рублей |
| ? | 3 штуки | 5 рублей |
) Составление таблиц умножения и деления с числами начиная с числа 2 до 9.
В ходе составления таблицы умножения по постоянному первому множителю произведения находят, заменяя умножение сложением. Её запоминание должно гарантировать усвоение таблицы по постоянному второму множителю, результаты которой находят на основе переместительного свойства умножения.
В 3 классе продолжается изучение табличных случаев умножения и деления. Так, в 1 четверти должны быть:
а) усвоены таблицы умножения и деления с числами 2, 3, 4 и 5 (на уровне автоматизированного навыка);
б) выделены существенные признаки понятий чётное и нечётное число;
в) сформировано умение применять правила о порядке выполнения арифметических действий в выражениях со скобками и без скобок)
г) сформировано умение решать задачи на нахождение числа, которое в несколько раз больше (меньше) данного, на кратное сравнение чисел и на нахождение четвёртого пропорционального.
В начале 3 класса, в период повторения курса, изученного во 2 классе, необходимо снова включать упражнения, раскрывающие смысл умножения и деления, а также задания, которые необходимы для изучения табличного умножения и деления:
4) на переместительное свойство умножения;
5) на связь между результатами и компонентами умножения.
При составлении таблиц целесообразно использовать различные приёмы нахождения результата умножения относительно сложения (4 · 7=4 · 5+4 · 2), кроме того, с первых уроков необходимо выделить случаи, на основании которых можно быстро найти результаты соседних случаев (3 · 5; 3 · 6=15+3; 3 · 4=15-3).
При заучивании таблиц можно организовывать работу в парах с использованием двусторонних карточек (на одной стороне записан пример, на другой - ответ). Такие наборы карточек выдаются на каждую парту. В течение 5-7 минут ученики побудут в роли учителя, и в роли ученика, а зрительное и слуховое восприятие помогает запомнить таблицы.
При составлении таблицы с числом 9 можно показать, как можно найти результаты умножения с помощью пальцев [3], что вызывает большой интерес у учащихся, а также обращаtncz внимание на то, что в результате умножения получаются числа, сумма цифр которых равна 9 (18,27,36,…, 81).
Постепенно в процессе изучения темы ученики заполняют таблицу, в которой записываются результаты табличного умножения.
… 12 … 14 15 16 … 18
21 … … 24 25 … 27 28
… 32 … … 35 36
… 42 … … 45 … … 48 49
… … … … 54 … 56
… … … 63 64
… … 72
… 81
По этой таблице Л.В. Савина [15] предлагает выполнить разнообразные задания, например, назвать:
а) результаты табличного умножения на 3;
б) на какие числа делится число 18;
в) все числа, которые делятся на 9.
С целью закрепления табличных случаев деления Л.П. Савина [15] предлагает в течение изучения табличного умножения и деления систематически включать случаи деления с остатком. Сначала такие упражнения выполнялись на схематических рисунках и их решение записывалось следующим образом:
:3=2 (ост. 1). Затем такие задания предлагались в качестве заданий на выбор: учитель предлагает вычислить значения выражений, записанных либо в первом, либо во втором столбике:
:4 37:4
:9 9:9
:3 26:3
Этот опыт многократного выполнения, по существу, одного и того же примера по мнению автора помогает ученикам закрепить табличные случаи деления и подготовиться к изучению темы «Деление с остатком».
Таким образом, к концу 3 класса все учащиеся усваивают таблицу умножения и деления. Это результат целенаправленной работы по расширению опыта применения таблиц в новых условиях, а именно систематического включения разнообразных развивающих заданий.
Изучив рекомендации И.И. Аргинской, М.А. Бантовой, А.В. Белошистой, Н.Б. Истоминой, М.И. Моро, Л.П. Савиной, В.А. Степных и других авторов, описав последовательную работу учителя, мы можем указать на условия, которые должен создавать учитель при формировании у учащихся начальных классов вычислительных навыков табличного умножения и деления. Среди условий создаваемых учителем в учебном процессе можно выделить следующие:
. Четкое следование поэтапной методике ознакомления учащихся с табличными случаями умножения и деления:
Iэт. - подготовительный,
IIэт. - составление таблиц,
IIIэт. - усвоение и запоминание табличных случаев умножения.
. Ознакомление на подготовительном этапе школьников с теоретическими вопросами, являющимися основой табличного умножения и деления:
) конкретный смысл умножения,
) конкретный смысл деления,
) переместительное свойство умножения,
) взаимосвязь между компонентами и результатом умножения.
. Опираясь на теоретико-множественный подход к изучению многих понятий в курсе математики начальных классов, использование наглядного материала, демонстрирующего результаты сложения одинаковых слагаемых в каждом случае табличного умножения (счетный материал в качестве предметных множеств, числовые фигуры).
. Использование на этапе усвоения и запоминание табличных случаев умножения и деления разнообразных упражнений и иллюстративного материала.
Применение для контроля знаний табличного умножения карточек для индивидуальной и групповой работы.
Изучив материалы теоретических исследований, мы сделали следующие выводы.
) По требованиям любой программы табличные случаи умножения и соответствующие им случаи деление, как уже было сказано, учащиеся должны усвоить на уровне навыка. Это сложный и длительный процесс, в котором можно выделить три основных этапа:
I этап - подготовительный,
II этап - составление таблиц,
III этап - прочное запоминание.
) Составлению таблиц умножения предшествует изучение теоретических вопросов, являющихся основой тех вычислительных приемов, которыми учащиеся будут пользоваться при составлении этих таблиц:
смысл умножения,
смысл деления,
переместительное свойство умножения,
взаимосвязь между компонентами и результатом умножения (между множителем и произведением).
) При формировании навыков табличного умножения учитель может использовать разнообразные методические подходы:
традиционный,
программы «Гармония» - автор Н.Б. Истомина,
системы обучения Занкова Л.В. - автор И.И. Аргинская,
· подход В.А. Степных.
4) Каждый из них имеет много общего:
использование наглядного материала,
использование различных интересных и содержательных упражнений и заданий,
выполнение воспроизводимой операции по образцу,
систематичное использование игровых заданий.
) Особое внимание необходимо уделять разным способам вычисления произведений в случае их забывания:
а) замена умножения сложением;
б) использование других случаев из таблицы, которые хорошо известны.
в) использование приёмов для запоминания;
г) на этапе усвоения и запоминание табличных случаев умножения и деления целесообразно использовать разнообразные продуктивные упражнения, способствующие качественному формированию вычислительных навыков.
|
|
|
