Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Приклади розв’язування задач




 

1. Алгебра складається з усіх відображень множини {1,2} в себе: , , , . Операцією є композиція ○ відображень. Скласти таблицю Келі та дослідити властивості операції в цій алгебрі.

Розв‘язування. Таблиця Келі для операції ○ в заданій алгебрі має вигляд

 

а b c d
а a b a b
b a b b a
c a b c d
d a b d c

Як відомо композиція відображень є асоціативною, отже алгебра A = (X; ○} є півгрупою, де X = { a, b, c, d }. У півгрупі A є одиничний (нейтральний) елемент c, оскільки " x Î X, xc = cx = x. Отже, півгрупа A є моноїдом. Оскільки ab = b, а ba = a, то моноїд не є абелевим.

 

2. Перевірити, чи утворює групу множина R + операція T, якщо вона задається як a T b = a 2 b 4.

Розв‘язування. Для того, щоб алгебра була групою необхідно, щоб у алгебрі існував нейтральний елемент. Умовою існування нейтрального елемента e є " x Î R +, e T x = x T e = x. Нехай e 1 –лівий, а e 2 –правий нейтральний елементи. Тоді e 1 T x = e 12 x 4 = x, звідси e 1 = x –3/2. Разом з тим x T e 2 = x 2 e 24 = x і e 2 = x –1/4. Як бачимо e 2e 1. Таким чином, нейтрального елемента не існує, і тому задана алгебра не є групою.

 

3. Показати, що група додатних дійсних чисел відносно операції множення (R +; ×) ізоморфна групі дійсних чисел відносно операції додавання (R; +).

Розв‘язування. Для доведення ізоморфізму можна використати наступне бієктивне відображення ln: R + ® R, яке зберігає групові операції - ln (a × b) = ln (a) + ln (b).

 

4. Довести, що множина всіх чисел виду (a та b – цілі числа), які додаються та множаться як звичайні дійсні числа, є кільцем.

Розв‘язування. Справді, замкнутість цієї множини відносно операцій додавання та множення випливає зі співвідношень () + () = (a + b) + (c + d) та ()() = (ac + 3 bd) + (ad + bc) . Таким чином, наведені операції є дійсно бінарними операціями на заданій множині.

Перевіримо спочатку, що задана множина з операцією додавання є абелевою групою. Оскільки числа виду є частковим випадком дійсних чисел, то операція їх додавання є асоціативною й комутативною. Нейтральним елементом відносно додавання, очевидно, є елемент . Оберненим для елемента відносно операції додавання є елемент .

Числа виду є частковим випадком дійсних чисел. Тому й операція їх множення є асоціативною. Значить, вказана множина відносно заданої операції множення є півгрупою.

Як згадувалося раніше, операції множення та додавання на заданій множині є операціями над дійсними числами. Тому вказана операція множення є дистрибутивною відносно операції додавання.

Отже множина всіх чисел виду (a та b – цілі числа), які додаються та множаться як звичайні дійсні числа, є кільцем.

Зауважимо, що згадана множина не є полем, бо не існує нейтрального елемента відносно операції множення, як показують наступні міркування.

Нехай - нейтральний елемент відносно операції множення. Тоді повинна виконуватися рівність . З неї отримуємо, що . Як бачимо зліва стоїть ціле число, а справа – ірраціональне. Ми отримали суперечність.

 


Поделиться:





Читайте также:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...