Рівнопотужні множини

Розглянемо відображення з множини натуральних чисел N в множину парних натуральних чисел N ₂, яке кожному натуральному числу ставить у відповідність подвоєне число, тобто бієктивне відображення f (п) = 2 п. Тоді можна сказати, що існує стільки парних натуральних чисел, скільки й натуральних, а також, що y випадку нескінченних множин може існувати бієктивне відображення деякої множини на її підмножину, яка відмінна від самої множини. Завдяки поняттю бієктивного відображення можна порівнювати між собою нескінченні множини.

Дві множини X та Y називаються рівнопотужними, якщо існує принаймні одне бієктивне відображення f : X → Y.

Відношення ” X рівнопотужна Y “ є відношенням еквівалентності між множинами. Клас еквівалентності, тобто клас всіх множин рівнопотужних даній множині, називається потужністю або кардинальним числом. Скінченні кардинальні числа – це класи еквівалентності скінченних множин. Ці числа за визначенням є натуральними числами 0, 1, 2,.... Слід відзначити, що ми приймаємо як первинне поняття натуральні числа, але їх строге математичне визначення досить складне. Як наслідок не легко apriori означити скінченні множини. Часто за визначенням вважають множину скінченною, якщо вона не рівнопотужна ніякій зі своїх підмножин, відмінних від самої множини, а потім доводять, що кардинальне число має властивості натуральних чисел.

Перейдемо до двох найбільш важливих нескінченних потужностей: потужності зчислених множин і потужності континууму.

Зчисленні множини

Множина називається зчисленною, якщо вона рівнопотужна множині натуральних чисел N. Множина зчисленна, якщо існує хоча б одна бієкція цієї множини в множину N. Іншими словами, множина зчисленна, якщо її елементи можна пронумерувати натуральними числами і номери не будуть повторюватися.

Раніше ми з’ясували, що множина парних натуральних чисел N ₂ є зчисленною.

Задамо відображення f: Z → N так: f (z)=2 z при z >0, f (z)=2| z |+1 при z ≤0. Воно бієктивне і, значить, множина цілих чисел Z також є зчисленною.

Покажемо, що множина N ´ N рівнопотужна множині N. Дійсно, з наведеної далі схеми

бачимо, що відображення , тобто f: N ´ N → N є бієкцією.

Інший варіант бієктивного відображення f: N ´ N → N наведено далі.

Покажемо, що множина Z ´ Z рівнопотужна множині N. Далі наведено схему, яка задає відповідне бієктивне відображення f: Z ´ Z → N

Таким чином, множина Z ´ Z також є зчисленною.

Покажемо, що й множина раціональних чисел зчисленна. Множину раціональних чисел можна розглядати так: Q = {(m, n) | m − ціле число, n − натуральне число, найбільший спільний дільник m та n дорівнює 1}.

На наведеній далі схемі зображено впорядковані пари - елементи множини Q ₁ = {(m, n) | m − ціле число, n − натуральне число}. Оскільки різні такі пари можуть задавати одне і те ж раціональне число (наприклад, пари (1,2), (2,4), (3,6) і т.д. задають число ½), то кожен елемент множини Q на схемі зображаємо променем, початком якого є пара (m, n), у цьому разі найбільший спільний дільник m та n дорівнює 1. Починаючи з неї і через всі подальші пари, що задають те саме раціональне число, проводимо промінь – по суті об’єднуємо такі пари в одну групу.

Нумеруємо елементи множини Q прямими зі стрілками, що послідовно з’єднують початки променів. Загальний шлях нумерації складається з низки умовних півкіл. У кожному півколі прямі зі стрілками з’єднують ті пари, що мають рівні суми | m | + | n |.

Усі розглянуті досі множини виявилися зчисленними множинами. Виникає запитання: а чи існують нескінченні множини, які не є зчисленними? Відповідь отримаємо далі.