 |
Методические рекомендации к выполнению контрольной работы
|
|
|
|
Линейная алгебра и элементы аналитической геометрии
Для решения задачи 1 и задачи 2 необходимо изучить следующую литературу: [1,4,5,6]
Теперь рассмотрим применение изученных формул на примерах.
ЗАДАЧА 1.
Решите систему линейных уравнений
а) методом Крамера;
б) методом Гаусса;
в) с помощью обратной матрицы.
Решение.
а) Метод Крамера состоит в решении системы линейных уравнений по формулам Крамера 
,
где 
(Подробности смотрите в пункте з) задачи 1.
Так как 
; то 
б) решим данную систему уравнений методом Гаусса. Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последнего уравнения легко находят все неизвестные системы.
Составим расширенную матрицу данной системы.
Поменяем местами первую и вторую строки матрицы, чтобы в ее левом верхнем углу была единица. Получим матрицу,
Умножим каждый элемент первой строки матрицы на 4 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам второй строки. Матрица примет вид,
= 
Умножим каждый элемент первой строки матрицы на – 3 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки. Получим:
= 
.
Разделим каждый элемент второй строки матрицы на 4, чтобы второй элемент, стоящий на главной диагонали матрицы, стал равным 1.
.
Умножим каждый элемент второй строки матрицы на – 8 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки:
.
Данная матрица соответствует системе уравнений 
, решение которой совпадает с решением исходной системы. Начиная с последнего уравнения несложно найти все неизвестные.
|
|
|
Действительно, так как 
и 
, то 
Отсюда, 
Из 
имеем 
Ответ: 
.
в) решение системы в этом случае равно 
= 
, где = 
– обратная матрица для матрицы 
= 
, 
– столбец свободных членов, 
– определитель этой матрицы. (Общую запись системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными смотрите в задаче 1, пункт з, система 2).
Составим матрицу состоящую из коэффициентов при неизвестных данной системы:
А = 
.
Вычислим ее определитель 
= – 4 
– 4 
– 6 
= 
.
Вычислим алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А:
Тогда 
= 
= 
и 
= 
=
= 
= 
= 
= 
.
Отметим, что ответы, полученные при решении разными методами совпадают между собой.
Ответ: 
ЗАДАЧА 2.
В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды А1 В1 С1 D1. Найдите:
а) длину ребра А1 В1;
б) косинус угла между векторами 
;
в) уравнение ребра А1 В1;
г) уравнение грани А1 В1 С1;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D1 на грань А1 В1 С1;
е) координаты векторов 
, 
, 
, и докажите, что они образуют линейно независимую систему;
ж) координаты вектора 
, где 
— середины ребер А1 D1 и В1 С1, соответственно;
з) разложение вектора по базису 
если А1(- 2,2,2), В1(1, - 3,0), С1(6,2,4), D1(5,7, - 1).
Решение.
а) найдем координаты вектора 
по формуле:
= 
XВ 
- XА 
; YВ 
- YА 
; ZВ 
- ZА 
, где (ХА 
, YА 
, ZА ) – координаты точки А1, (ХВ , YВ , ZВ ) – координаты точки В1.
Итак, 
= 
Тогда 
= 
.
Итак, длина отрезка (или длина вектора ) равна 
. Это и есть искомая длина ребра.
б) координаты вектора = 
уже известны, осталось определить координаты вектора 
: = 
.
Угол между векторами 
и 
вычислим по формуле:
cos 
= 
,
где скалярное произведение векторов 
и равно (, 
)= 3 ´ 8 + (- 5) ´ 0 + (- 2) ´2 =24 + 0 - 4=20, 
= 
, 
= 
Итак, cos = 
= 
.
в) координаты точки А1(- 2,2,2) обозначим соответственно Х0 = - 2, У0 = 2, Z0=2, а координаты точки В1 (1, - 3,0) через Х1=1, У1 = - 3, Z1=0 и воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через две точки: 
.
Следовательно, уравнение ребра А1В1 имеет вид 
или 
|
|
|
г) обозначим координаты векторов и через Х1=3, У1= - 5, 
1= - 2 и Х2=8, У2= 0, 2=2, соответственно. Векторное произведение данных векторов определяется формулой
Так как данный вектор перпендикулярен грани А1 В1 С1, то можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через точку (Х0, У0, 0) перпендикулярно вектору 
, которое имеет вид:
А 
.
Подставим координаты точки А1 (Х0= - 2, У0=2, 0=2) и координаты перпендикулярного вектора А= - 10, В= - 22, С=40 в это уравнение:
– 10 (Х + 2) - 22 (У - 2) + 40 ( - 2) = 0. Раскроем скобки и приведем подобные члены – 10 х – 22 у + 40z + (- 20 + 44 - 80)=0. Итак, уравнение грани А1 В1 С1 имеет вид: - 10х - 22у + 40 z - 56=0 или - 5х - 11у + 20 z - 28=0.
д) вектор 
является направляющим вектором высоты, опущенной из вершины D 1 на грань А1В1С1. Воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку 
с заданным направляющим вектором: 
, где 
– координаты точки D1. Отсюда искомое уравнение: 
или 
е) координаты вектора 
= 
= 
.
Обозначим 
= 
, 
= 
, 
.
Чтобы доказать, что векторы 
образуют линейно независимую систему векторов необходимо убедиться, что определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов,
отличен от 0. Определитель третьего порядка равен
= 
- 
+ 
=
= 
Вычислим определитель
=3 
– (– 5) 
+(– 2) 
= 3 (0 (– 3) – 5 2)+5 (8 (– 3) – 7 2) –
- 2 (8 5 – 7 0) =3 (– 10)+5 (– 24 – 14) – 2 40= – 30 – 190 – 80 = – 300.
Так как данный определитель отличен от 0, то вектора 
образуют линейно независимую систему.
ж) сначала найдем координаты точек М и N, соответственно. Координаты точки
М = 
= 
= 
N = 
= 
= 
.
Получаем вектор 
= 
.
з) обозначим через 
координаты вектора 
в базе 
.
Тогда 
= 
= 
.
Так как: 
= 
+ 
+ 
; 
= 
+ 
+ 
= 
,
то приравнивая соответствующие координаты, получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
(1) 
Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера (см. 
глава 10, стр. 268). Рассмотрим произвольную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
(2) 
Тогда 
= 
z 
, где:
Для системы (1) определитель:
=3 
– 8 
+7 
=
= 3 (– 10) – 8 (15 + 10) + 7 (– 10) = – 30 – 200 – 70 = – 300;
= 2 
– 8 
+7 
=
=3 
– 2 
+7 
=
=3 
=3 
– 8 
+2 
=
= 
По формулам Крамера 
Итак, разложение вектора по базису (
) имеет вид
= 
Задача 3. Для решения задачи 3 необходимо изучить 
.
|
|
|
Задача 4. Найти производную функции z = x2 – xy + y2 в точке М0(1; 1):
а) в направлении вектора 
;
б) определить градиент z в точке М0(1; 1), его величину и направление.
Решение:
а) Функцией z = x2 – xy + y2 определено плоское скалярное поле в точке (х; у). Производная функции z = f(x; y) по данному направлению 
определяется формулой:
, где cos a, cos b – направляющие косинусы вектора .
В задаче направление определено вектором , его направляющие косинусы
.
Определим частные производные функции в точке М0(1; 1):
.
Тогда производная по направлению равна 
= 1×0,6+1×0,8 = 1,4 > 0. Производная по направлению определяет скорость изменения функции z(x, y) в этом направлении. Так как > 0, то в этом направлении функция z возрастает.
б) grad z есть вектор, указывающий направление набольшего возрастания поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания. Этот вектор определяется по формуле:
grad z = 
Следовательно, grad z = 
.
|
|
|
