Математика – источник представлений и концепций в естествознании.

Для естествознания и других наук математика вырабатывает структуры мысли, формулы, на основе которых можно решать проблемы специальных наук. Это происходит из-за особенности математики описывать не свойства вещей, а свойства свойств, выделяя при этом отношения, независимые от каких-либо конкретных свойств. Они называются отношениями отношений. Т.к. эти отношения особые, то математике удаётся проникать в самые глубокие характеристики мира и говорить на языке структур, определяемых как инварианты систем. Глубинные проникновения в природу делают математику методологом и носителем плодотворных идей. Относительно сказанного современный американский исследователь Ф. Дайсон пишет: "Математика для физики - это не только инструмент, с помощью которого она может количественно описать явление, но и главный источник представлений и принципов, на основе которых зарождаются новые теории". Математика вырабатывает модели возможных ещё неизвестных науке состояний. Естествоиспытатель может выбирать из них и примеривать к своей области исследования. Это стимулирует научный поиск, пробуждая и будоража ученую мысль.

Когда-то И.Кант сказал: «Математика – наука, брошенная человеком на исследование мира в его возможных вариантах". Математику дано видеть мир во всех его логических вариантах. Ему разрешены построения, противоречивые физически, главное, чтобы они не были противоречивы логически. Физики говорят, каков мир, математики исследуют, каким бы он мог быть в его потенциальных версиях. Как замечает австрийский математик и писатель нашего времени Р. Музиль, «математика есть роскошь броситься вперед, очертя голову, потому математики предаются самому отважному и восхитительному авантюризму, какой доступен человеку». Раскованность и рискованность - преимущество не только собственно математика, но и любого исследователя,поскольку он мыслит математически, то есть, по выражению Г. Вейля, пытаясь дать "теоретическое изображение бытия на фоне возможного".

Но у учёного нет возможности для бескрайнего фантазирования. Истина состоит в том, что нематематические науки, сталкиваясь с запретами в проявлении какого-либо свойства, действия, не знают границ, до которых распространяется их компетенция. Это может знать только математика, которая владеет расчётами на основе количественного описания явлений. Другие науки не могут устанавливать пределы возможного - той количественной меры, которая определяет вариантность изменений. Например, биолог не знает пределы возможного для жизни и познаёт её в диапазоне наблюдаемого.

Т.к. абстракции математики отдалены от конкретных свойств, она способна проводить аналогии между качественно различными объектами, переходить от одной области реальности к другой. Д. Пойа назвал это свойство математики умением "наводить мосты над пропастью". Там, где конкретная наука останавливается, математика может переносить свои структуры на соседние, близкие и далекие, регионы природы.

Однако математическая наука лишает мир многообразия, как выразился русский математик И.Шафаревич она «убивает индивидуальность». Он пишет: «Мы имеем, скажем, яблоко, цветок, кошку, дом, солдата, студента, луну. Можно сосчитать и объявить, что их 7. Но 7 чего? Единственный ответ: "7 предметов". Различия между солдатом, луной, яблоком и т.д. исчезают. Они все потеряли свою индивидуальность и превратились в лишенные признаков "предметы"^». То есть счёт делает предметы равными.

При описании математика выявляет только одну характеристику предмета и, отслеживая её вариации, выводит закономерность. На остальные характеристики не обращается внимание, т.к. они мешают исследованию. Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — одно из главных направлений математического творчества.

Из-за того, что за одним свойством не видно других особенностей предмета или явления, Ю.Шрейдер называет математику пародией на природу. Но всё не так плохо. Математика просто не может работать по-другому, и при таком подходе есть чёткая заданность исследования, когда нужно проследить «поведение» объекта на основе определённого свойства, проследить за изменениями и развитием и отобразить информацию в уравнениях, графиках, схемах.

Другое направление, наряду с абстрагированием — обобщение. Например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений. «Пространство Rⁿ, при n > 3 является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях».[3]

Математические обобщения, которые развивались вне связи с практическими применениями, а просто для достижения логической гармонии, оказались очень удобным инструментом для осуществления грандиозной программы Эйнштейна. Отказавшись не только от представлений об абсолютности пространства и времени, но и от эвклидовой геометрии в качестве основы физики, Эйнштейн обратился к рассмотрению криволинейной четырехмерной римановой метрики. Это автоматически привело его к объяснению гравитационных эффектов и особой роли скорости света, которая представляет собой верхний предел логически последовательного применения скорости как физического понятия. Математики к этому времени уже постепенно привыкли к абстракциям такого рода, разрабатывая неэвклидову геометрию и ее различные модели.

Используя математические методы исследования науки должны учитывать возможности математики, считаясь с границами ее применимости. Имеется в виду то, что сама по себе математическая обработка содержания, его перевод на язык количественных описаний не дает прироста информации.

Итак, математика играет важную роль в качестве языка, особых методов исследования, источника представлений и концепций в естествознании.