 |
Производная второго порядка и её механический смысл
|
|
|
|
Геометрический и механический смысл производной
· 1. Геометрический смысл производной
· 2. Механический смысл производной
· 3. Производная второго порядка и её механический смысл
· 4. Приложения производной к решению физический задач
Геометрический смысл производной
Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII в. Лейбницем, состоит в следующем: значение производной функции 
в точке 
равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в той же точке 
(см. рис. 99), т.е.
. (1)
Таким образом, если функция в точке имеет производную, то график этой функции в точке с абсциссой имеет касательную, и, наоборот, если в некоторой точке с абсциссой существует касательная к графику, то при этом значении существует производная. Иначе говоря, существование касательной к кривой в некоторой точке с абсциссой необходимо и достаточно для существования производной 
в точке .
Геометрический смысл производной, выраженный равенством (1), дает наглядное представление о производной, позволяет проследить за ее изменением при движении точки М по кривой и дает возможность геометрически определить значение производной при данном значении .
Из равенства (1) следует, что для нахождения углового коэффициента касательной к кривой 
в точке 
нужно найти производную 
и подставить в неё вместо абсциссу точки касания: 
.
Пусть дана непрерывная функция . Тогда в любой точке 
, принадлежащей графику этой функции (рис. 102), можно провести касательную 
и нормаль 
(прямую, перпендикулярную касательной в точке касания). Уравнение касательной, как всякой прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, имеет вид 
, где 
– текущие координаты. Но 
и уравнение касательной запишется так:
|
|
|
. (2)
Уравнение нормали запишется в виде
. (3)
Механический смысл производной
Механическое истолкование производной было впервые дано И.Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути во времени, т.е.
.
Таким образом, если закон движения материальной точки задан уравнением 
, то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производную 
и подставить в неё соответствующее значение t. Для определённости будем считать, что путь измеряется в метрах, а время – в секундах.
Производная второго порядка и её механический смысл
Производную от данной функции часто называют первой производной (или производной первого порядка). Очевидно, что производная также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно взять производную, которую называют второй производной (или производной второго порядка) и обозначают 
, 
.
Производной третьего порядка (или третьей производной) называют производную от второй производной. Её обозначают 
.
Например, для функции 
имеем 
, 
, 
.
Вообще производной n-го порядка от функции 
) называется производная от производной 
-го порядка. Её обозначают: 
, 
, 
. Таким образом, производную -го порядка можно найти последовательным дифференцированием данной функции.
Рассмотрим механический смысл производной второго порядка.
Пусть тело движется прямолинейно по закону . Как известно, скорость 
движения тела в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е. 
.
Если тело движется неравномерно, то скорость с течением времени изменяется и за промежуток времени 
получает приращение 
. В этом случае величина отношения 
, показывающая изменение скорости в единицу времени, называется средним ускорением в промежутке времени от 
.
|
|
|
Пусть 
; тогда 
а среднее ускорение стремится к величине, которая называется ускорением в данный момент времени t. Следовательно, ускорение движущегося тела представляет собой скорость изменения его скорости.
Обозначив ускорение через 
, получим:
Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.
В этом и заключается механический смысл второй производной.
|
|
|
