Приложения производной к решению физических задач

Как известно, производная характеризует мгновенную скорость прямолинейного движения. Однако этим не исчерпывается использование производной. При изучении неравномерно меняющихся величин скорость их изменения всегда выражается с помощью производной.

Понятие скорости, заимствованное из физики, удобно при исследовании поведения любой функции. Какую бы зависимость ни выражала функция , отношение есть средняя скорость изменения функции относительно изменения аргумента , а – мгновенная скорость изменения функции при некотором значении .

Так как в практических приложениях нас обычно интересует не только сама функция, но и скорость её изменения, то производная, будучи характеристикой скорости изменения функции, имеет самые широкие практические применения в вопросах физика, химии, геометрии и т.д. Приведём некоторые конкретные примеры использования понятия производной при определении скорости различных процессов.

1. Предположим, что в момент времени t масса ещё не распавшегося радиоактивного вещества была равна m, а через некоторое время, в момент , асса его уменьшилась (так как часть вещества превратилась в продукт распада) и стала равна (здесь отрицательно, поскольку масса радиоактивного вещества с течением времени уменьшается). Таким образом, за время масса имевшегося радиоактивного вещества изменилась на .

Отношение представляет собой среднюю скорость распада за промежуток времени . Чем меньше этот промежуток, тем точнее указанное отношение выражает мгновенную скорость распада. Поэтому можно сказать, что мгновенная скорость распада в момент времени t равна .

2. Мгновенная мощность есть производная , где - работа, совершаемая за время .

3. Если V – объем жидкости, на который действует внешнее давление Р, то производная , дает коэффициент сжатия жидкости при данном давлении.

4. Если твердое тело вращается вокруг оси, то угол поворота есть функция от времени t. Угловая скорость вращения в данный момент t численно равно производной .

5. Сила тока есть производная , где – положительный электрический заряд, переносимый через сечение проводника за время .

6. Теплоемкость при температуре Т есть производная , где – количество теплоты, необходимое для измерения температуры на .

 

Задачи с решением

373. В какой точке касательная к кривой : а) параллельна оси ; б) образует с осью угол ?

Решение. а) Так как прямая параллельна оси , то она образует с ней угол 0 и её угловой коэффициент, равный тангенсу этого угла, равен нулю. Известно, что производная функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной к кривой в этой точке, т.е. .

Найдём производную функции ; имеем . Тогда , т.е. , откуда . Итак, касательная к данной кривой параллельна оси в точке (рис. 103).

б) Поскольку прямая образует с осью угол , её угловой коэффициент, равный тангенсу этого угла, равен единице. Ранее мы нашли производную функции в любой её точке: . Найдём значение аргумента, при котором эта производная равна 1: , т.е. . Тогда . Итак, касательная к данной кривой составляет с осью угол в точке (1/2; -3/4) (рис. 103).

374. Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой в точке .

Решение. Найдём производную функции в точке :

; .

Итак, угловой коэффициент касательной к кривой в точке равен 12 (рис. 104).

375. Кривая задана уравнением . Определить углы наклона касательных к положительному направлению оси , проведённых к кривой в точках с абсциссами и .

Решение. Найдём производную: . Обозначив угол наклона касательной в точке с абсциссой через , а в точке с абсциссой - через , получим

, ,

Откуда (или в градусной мере ), а . По таблицам тригонометрических функций можно найти и градусную меру угла .

376. На кривой найти точку, в которой касательная: а) параллельна прямой ; б) перпендикулярна прямой .

Решение. Пусть искомая точка касания есть . Тогда, как известно, угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, т.е.

.

Учитывая это, рассмотрим каждое уз условий задачи.

а) Для того чтобы касательная была параллельна прямой , их угловые коэффициенты должны совпадать, т.е. или . Решая последнее уравнение относительно , получим: ; ; . Подставляя найденное значение абсциссы искомой точки в уравнение кривой, найдём значение её ординаты: . Итак, - искомая точка.

б) Из аналитической геометрии известно, что угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Так как угловой коэффициент прямой равен ¼, то угловой коэффициент искомой касательной равен , и мы имеем уравнение , откуда , т.е. . Соответственно находим . Следовательно, точка (1/4; 7/4) – искомая.

377. Найти углы, под которыми парабола пересекает ось абсцисс (рис. 105).

Решение. Найдём абсциссы точек пересечения параболы с осью , для чего решим уравнение , откуда и . Углом кривой с осью называют угол, который касательная, проведённая в точке пересечения кривой с осью , образует с положительным направлением этой оси. Вычислим угловые коэффициенты касательных к параболе в точках и . Находим производную: , откуда и . Итак, и , т.е. и .

378. Под каким углом парабола пересекается с прямой ?

Решение. Этот вопрос может быть сформулирован иначе: под каким углом пересекаются касательные к кривой , проведённые в точках её пересечения с прямой , и сама эта прямая?

Находим точки пересечения параболы и прямой , для чего решаем систему уравнений , . Подставляя в первое уравнение, имеем или , т.е. , / Отсюда получим , (рис. 106).

Мы нашли две точки пересечения параболы и прямой : 1/2) и . Найдём производные функции в этих точках:

= ; ; .

Следовательно, угловой коэффициент касательной , проведённой к кривой в точке 1/2), равен 1, а угловой коэффициент касательной в точке равен 2. Найдём углы между этими касательными и прямой . Уравнение прямой можно записать в виде . Таким образом, .

Из аналитической геометрии известна формула для нахождения тангенса угла между двумя прямыми по заданным угловым коэффициентам этих прямых:

 

 

Итак, – угол, образованный прямой с касательной , а - угол, образованный этой прямой с касательной .

379. Составить уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой .

Решение. Определим ординату точки касания, подставив в уравнение параболы значение абсциссы ; .

Для нахождения углового коэффициента касательной, вычислим значение производной в точке касания: . Теперь, зная точку (1;-3) и угловой коэффициент , составим уравнение касательной:

.

380. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке .

Решение. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку , имеет вид . Находим угловой коэффициент касательной:

Так как нормаль и касательная, проведённые в одной точке кривой, взаимно перпендикулярны, то угловой коэффициент нормали . Подставляя полученные значения и в уравнение пучка прямых, найдём искомые уравнения касательной и нормали:

уравнение касательной: или ;

уравнение нормали: или .

381. Дана кривая . Провести к ней касательную в точке, абсцисса которой .

Решение. Найдём ординату точки касания: ; значит, – точка касания.

Уравнение любой прямой, проходящей через точку A, имеет вид . Для того чтобы прямая была касательной, необходимо и достаточно, чтобы . Найдём угловой коэффициент :

.

Итак, уравнение касательной имеет вид , т.е. .

382. В какой точке касательная к кривой параллельна прямой ?

Решение. Угловой коэффициент данной прямой . Угловой коэффициент касательной .

Из условия параллельности следует . Тогда ; ; . Следовательно, – абсцисса точки касания. Подставляя это значение в уравнение кривой, получим ординату точки касания: .

Итак, в точке (3; 10) касательная к данной кривой параллельна прямой .

383. Под каким углом пересекаются кривые и ?

Решение. Найдём точки пересечения данных кривых; решив уравнение , получим , .

Под углом между кривыми понимается угол между касательными в точке пересечения кривых. Величину угла находят, пользуясь известной формулой , где – угловые коэффициенты касательных в точке их пересечения.

Найдём , . Вычислим значения угловых коэффициентов в точках :

Итак, в точке имеем

, откуда

В точке имеем

, т.е. .

405. Путь, пройденный краном, задаётся следующей функцией времени: . Найти скорость движения крана в конце 5-й секунды.

Решение. Находим производную: ; при получим (м/с).

410. Высота тела, брошенного вертикально вверх, меняется в зависимости от времени по закону . Найти скорость тела в конце 10-й секунды. Сколько секунд тело будет лететь вверх и какой наибольшей высоты оно достигает?

Решение. Скорость тела определяется выражением при имеем (м/с).

В тот момент, когда тело достигает максимальной высоты, его скорость равна нулю. Следовательно, для этого момента , откуда (с).

Подставляя это значение в уравнение движения, получим наибольшую высоту, на которую поднимается тело:

(м)

413. Тело массой 8 кг движется прямолинейно по закону . Найти кинетическую энергию тела ( через 3 с после начала движения.

Решение. Найдём скорость движения тела в любой момент времени t:

Вычислим скорость тела в момент времени :

(м/с).

Определим кинетическую энергию тела в момент времени :

900 (Дж).

433. Точка движется прямолинейно по закону . Найти скорость и ускорение точки в момент .

Решение. Для определения скорости нужно найти первую производную данной функции при . Имеем

(м/с).

Ускорение равно второй производной функции при , т.е.

Величина ускорения оказалась постоянной для любого значения t; значит, движение точки по заданному закону происходит с постоянным ускорением.

434. Трактор ДП-150 движется по закону . Найти её ускорение в конце 3-й секунды.

Решение. Находим , откуда при получим (м/ .

435. В момент времени t машина находится на расстоянии км от места отправления. Найти его ускорение через 2 ч.

Решение. Находим . При имеем (км/ ).

440. Точка движется вдоль оси абсцисс по закону , где t – время в секундах, отсчитываемое от , а - расстояние движущейся точки от начала координат в метрах. Требуется: а) определить закон изменения скорости и ускорения движения от времени t; б) найти начальную скорость и скорость в момент с; в) установить, существуют ли моменты времени, когда скорость равна нулю, и если да, то какие положения движущейся точки соответствуют этим моментам.

Решение. а) Для определения скорости движения найдём производную пути по времени:

,

а для определения ускорения движения – производную скорости по времени:

 

.

б) Если , то (м/с) (начальная скорость); если , то (м/с).

в) Условие означает, что Решая это уравнение, получим . Следовательно, значение достигается дважды: сначала – в момент 1/3 с, а затем – в момент .

Найдём абсциссы движущейся точки в эти моменты времени:

м; (м).

441. Тело, масса которого 30 кг, движется прямолинейно по закону . Доказать, что движение тела происходит под действием постоянной силы.

Решение. Имеем Следовательно, , т.е. при данном законе движения тело движется с постоянным ускорением 8 м/ . Далее, так как масса тела постоянна (30 кг), то по второму закону Ньютона действующая на него сила (H) – также постоянная величина.

448. Стороны и прямоугольника изменяются по закону см, см. С какой скоростью изменяется его площадь S в момент времени с?

Решение. Находим ,

. При получим (cм/c).

453. Маховик за время t поворачивается на угол (t – в секундах, в конце 3-й секунды. Найти момент, когда прекратится вращение.

Решение. Имеем Так как рад/с, то при получим (рад/с). Вращение прекратится в момент, когда , т.е. при t=8 c.

455. Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента времени , задаётся формулой . Найти силу тока в конце 6-й секунды.

Решение: Сила тока есть производная количества электричества по времени: следовательно, нужно найти производную функции и вычислить её значении при с. Имеем , откуда при получим (A).

460. Количество теплоты Q, получаемое некоторым веществом при нагревании его от 0 до T, определяется по формуле (Q – в джоулях, T – в кельвинах). Найти теплоёмкость этого вещества при 100 K.

Решение. Находим теплоёмкость:

.

При T = 100 K получим

(Дж/К).

461. Закон изменения температуры T тела в зависимости от времени t задан уравнением . C какой скоростью нагревается это тело в момент времени 10 с?

Решение. Скорость нагревания тела есть производная температуры T по времени t:

.

Определим скорость нагревания тела при :

(град/с).

123	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: