 |
Законы распределения случайных величин.
|
|
|
|
В теории телетрафика часто используется предположение о пуассоновском законе распределения случайных величин. Такое предположение, например, было подтверждено экспериментально для потока вызовов, поступающих от абонентов телефонной станции. Для математического ожидания 𝜆 (интенсивность потока вызовов) плотность вероятности – p(x) определяется следующим образом[11,12]:
. (1.20)
Переменную «x» можно рассматривать как число вызовов, поступающих в течение интервала времени фиксированной длины. Функция распределения этого потока вызовов – F(x) равна нулю для x≤0. Для x>0 она определяется таким соотношением:
. (1.21)
Основные характеристики пуассоновского распределения приведены в таблице1.1 [12]
Таблица 1.1 - Основные характеристики пуассоновского распределения.
| Математическое ожидание | Дисперсия | Асимметрия | Эксцесс |
| 𝜆 | 𝜆 | 
| 
|
На рисунке1.6 показаны два примера функции f(t). В левой части рисунка 𝜆=1, а в правой –𝜆=3 [12].
Рисунок 1.6 - Два примера распределения Пуассона.
Второй интересный пример – дискретное равномерное распределение, приведенное на рисунке 1.7 [12]. Буквой «b» обозначена левая граница области изменения случайной величины. Допустим, что рассматриваемая случайная величина принимает n значений.
Рисунок 1.7 - Дискретное равномерное распределение.
Основные характеристики дискретного равномерного распределения приведены в таблице 1.2. [12]
Таблица 1.2 - Основные характеристики дискретного равномерного распределения.
| Математическое ожидание | Дисперсия | Асимметрия | Эксцесс |
| 
| 
|
Для обоих примеров ФР будет ступенчатой. Это утверждение справедливо для всех законов распределения дискретных случайных величин.
|
|
|
В теории телетрафика часто используется экспоненциальное распределение, для которого функции f(t) и F(t) определяются такими формулами [11,12]:
. (1.22)
. (1.23)
Основные характеристики экспоненциального распределения будут приведены после следующего примера. Рассмотрим распределение Эрланга k-го порядка. Функции f(t) и F(t) для этого распределения вычисляются следующим образом[11,12]:
(1.24)
. (1.25)
Очевидно, что при k=1 мы получаем экспоненциальное распределение. Несложно убедиться, что при k→∞ эта формула определяет детерминированное (вырожденное) распределение. Это свойство позволяет эффективно использовать распределение Эрланга k-го порядка для многих моделей телетрафика. Численные характеристики последних распределений приведены в таблице 1.3. [12]
Таблица 1.3 - Численные характеристики экспоненциального распределения и распределения эрланга k-го порядка.
| Название распределения | Математическое ожидание | Дисперсия | Асимметрия | Эксцесс |
| Экспоненциальное |
| 
| ||
| Эрланга k-го порядка | 
| 
| 
| 
|
На рисунке 1.8 показано семейство распределения Эрланга k-го порядка [12]. Приведены три кривые f(t) для различных значений k. Для всех трех кривых принято, что математическое ожидание равно единице.
Рисунок 1.8 - Семейство распределений Эрланга k-го порядка.
Последний пример связан с распределением случайной величины на ограниченном интервале. Речь идет о равномерном распределении на отрезке времени[a,b]. В этом интервале функции f(t) и F(t) определяются следующим образом[12]:
, (1.26)
. (1.27)
На рисунке 1.9 показаны функции f(t) и F(t). Основные характеристики этого распределения представлены в таблице.
Рисунок 1.9 - Равномерное распределение на интервале [a,b].
Основные характеристики равномерного распределения приведены в таблице1.4.[12]
|
|
|
Таблица 1.4 - Основные характеристики равномерного распределения.
| Математическое ожидание | Дисперсия | Асимметрия | Эксцесс |
| 
| –1,2 |
Общие сведения о системах массового обслуживания.
|
|
|
