Выбор теоретического закона распределения износов.

Прямой перенос значений износа, полученных при измерении группы деталей на данном ремонтном предприятии, на другие детали машины той же марки осуществлять нельзя. Необходимо по полученной информации определить теоретический закон распределения износов для генеральной совокупности машин, который выражает общий характер изменения износов и исключает частные отклонения, вызванные разнообразием и непостоянством факторов, влияющих на работу машин.

 

 

Рис. 1. Гистограмма (1) и полигон (2) распределение износов шлицев

 

Замена опытного закона распределения теоретическим называется сглаживанием или выравниванием статистической информации. Теоретический закон применим как к полной совокупности, так и любой частной совокупности деталей данного наименования.

 

 

Рис. 2. Кривая накопленных опытных вероятностей (1) и

интегральная функция (2) ЗНР износов шлицев

Применительно к надежности сельскохозяйственной техники используются в основном закон нормального распределения (ЗНР) и закон распределения Вейбулла (ЗРВ). Предварительный выбор теоретического закона распределения (ТЗР) осуществляется по величине коэффициента вариации V. Если V < 0,3, то распределение подчиняется ЗНР, если V > 0,5, - ЗРВ.

Если V лежит в интервале от 0,3 до 0,5 то выбирается тот закон, который лучше совпадает с опытной информацией. Точность совпадения оценивается по критерию согласия.

В нашем примере коэффициент вариации V = 0,33, поэтому подходят как ЗНР, так ЗРВ. Для окончательного решения необходимо рассчитать интегральную F (И) функцию распределения износа детали по ЗНР и ЗРВ, а затем с помощью критерия согласия выбирать ТЗР.

Значение интегральной функции F (И_кi) ЗНР в конце i -го интервала определяется по формуле

F (И_кi) = F_o ,

где F_o – так называемая центрированная интегральная функция. Она табулирована и ее значения определяют по приложению 4.

И_кi – значение износа в конце i -го интервала, конец i -го интервала статистического ряда;

- среднее значение износа;

σ – среднее квадратическое отклонение.

Необходимо помнить, что F_o (-И) = 1 – F (+И).

В нашем примере И = 0,60, σ = 0,20, конец первого интервала И_кi = 0,15. Тогда интегральная функция в конце первого интервала будет равна:

 

F₁ (0,15) = F_o =

= F_o (-2,25) = 1 – F_o (2,25) = 1 – 0,99 = 0,01 (из приложения 4 находим, что F_o (2,25) = 0,99). Аналогично определяют значения F (И) для других интервалов. Например, для седьмого интервала

 

F₇ (1,05 = F_o = F_o (2,25) = 0,99.

 

Полученные значения интегральных функций записывают в табл. 3.

Значение интегральной функции F (И_кi) ЗРВ в конце i -го интервала определяется по формуле

F (И_кi) = F_т ,

где F_т – табулированное значение интегральной функции. Принимается по приложению 6 в зависимости от и параметра b;

С – сдвиг начала рассеивания;

А – параметр ЗРВ, определяется по формуле

 

а = ,

где К_в – коэффициент ЗРВ.

Параметр b и коэффициент К_в определяют по приложению 5 в зависимости коэффициента вариации.

В рассматриваемом примере И = 0,60, С = 0, V = 0,33. По приложению 5 находим, что при V = 0,33, b = 3,30, К_св = 0,90. Тогда:

 

а = = 0,67.

В конце первого интервала

 

F_т = = F_т (0,22).

 

По приложению 6 находим, что интегральная функция в конце первого интервала при V = 0,33 и b 3,30 будет равна.

 

F₁ (0,15) = F_т (0,22) ≈ 0,01.

 

Аналогично определяют F (И) для остальных интервалов, а полученные значения записываются в таб. 3. Пользуясь приложением 6, надо иметь в виду, что если b и не точно совпадают с данными таблицы, то F_т (И) следует определять интерполированием.

Окончательный выбор теоретического закона распределения износов выполняют с помощью критерия согласия (см. [3], гл. 1.4.2). Применительно к показателям надежности сельскохозяйственной техники чаще всего используют критерий Пирсона (χ²) и критерий Колмогорова (λ). По величине критерия согласия можно определить вероятность совпадения опытных и теоретических законов и на этом основании принять или отбросить выбранный теоретический закон распределения, или обоснованно выбрать один теоретический закон из двух или нескольких.

Следует помнить, что критической вероятностью совпадения принято считать Р = 0,1. Если Р < 0,1, то выбранный для выравнивания опытной информации теоретический закон распределения следует считать недействительным.

Критерий Пирсона дает более точную оценку вероятности совпадения опытного и теоретического законов распределения, но он сложен в расчетах. Критерий Колмогорова прост в определении, но дает завышенную вероятность совпадения. Однако при выборе одного закона из двух или нескольких, когда важно оценить какой из них лучше выравнивает опытную информацию, можно пользоваться критерием Колмогорова.

Критерий согласия Колмогорова определяют по формуле

λ = D_max ,

 

где D_max – максимальная абсолютная разность между накопленной опытной вероятностью и теоретической интегральной функцией распределения, то есть:

 

D_max = _max ,

где N – общее количество информации.

Разница между опытным и теоретическим значениями функций определяют для каждого интервала и заносят в табл. 3.

Как видно из таблицы 3, для ЗНР D_max = 0,07, а для ЗРВ D_max = 0,09. Тогда расчетное значение критерия согласия будет равно:

для ЗНР λ = D_max = 0,07 = 0,49,

для ЗРВ λ = D_max = 0,09 = 0,63.

Из приложения 7 находим вероятность совпадения теоретических законов с опытным распределением:

для ЗНР Р (λ) = 0,967;

для ЗРВ Р (λ) = 0,864 (при λ = 0,6), а с учетом интерполяции, то есть при λ = 0,63 Р (λ) = 0,818.

 

 

Таблица 3 – Выбор теоретического закона распределения износов шлицев

 

Интервал, мм	0-0,15	0,15-0,30	0,30-0,45	0,45-0,60	0,60-0,75	0,75-0,90	0,90-1,05
Конец интервала, мм	0,15	0,30	0,45	0,60	0,75	0,90	1,05
Накопл. опытн. вероят. ΣРi	0,04	0,10	0,22	0,46	0,84	0,96	1,0
ЗНР		-2,25	-1,5	-0,75		0,75	1,5	2,25
F (Икi)	0,01	0,07	0,23	0,50	0,77	0,93	0,99
	0,03	0,03	0,01	0,04	0,07	0,03	0,01
ЗРВ		0,22	0,45	0,67	0,89	1,12	1,34	1,56
F (Икi)	0,01	0,08	0,20	0,51	0,75	0,92	0,99
	0,03	0,02	0,02	0,05	0,09	0,04	0,01

 

Следовательно, для выравнивания опытной информации ЗНР подходит лучше, чем ЗРВ. Выбрав окончательно в качестве теоретического закона ЗНР, наносим на график (рис. 2) значения его F (И_кi) по концам интервалов и соединяем полученные точки плавной кривой, которая будет теоретической интегральной функцией распределения износов шлицев.

Определение доверительных границ рассеивания среднего значения износа шлицев.

В результате измерения износов 50 деталей и их обработки мы нашли, что среднее значение И = 0,60 мм. Если же выполнить ту же работу для той же детали, но работавшей в других условиях (другой зоне, например), то окажется, что среднее значение износа будет отличаться от 0,60 мм. Таким образом, изменение условий эксплуатации и количества машин, за которыми ведется наблюдение, вызовет изменение количественных характеристик показателя надежности. Хотя эти изменения носят случайный характер, они происходят в определенных границах или в определенном интервале. Интервал, в котором при заданной доверительной вероятности α попадают 100α % случаев от N, называется доверительным интервалом. Границы, в которых может колебаться среднее значение (или одиночное) показателя надежности, называется нижней и верхней доверительными границами.

Для ЗНР доверительные границы рассеивания среднего значения износа определяют по формулам:

 

= - t_α ; = - t_α ,

 

где и - соответственно нижняя и верхняя доверительные границы рассеивания среднего значения износа при доверительной вероятности α;

t_α - коэффициент Стьюдента, который определяют по приложению 8 в зависимости от N и выбранной доверительной вероятности α.

 

В рассматриваемом примере:

= 0,60 σ = 0,20 N = 50.

Задавшись доверительной вероятностью α = 0,95, при N = 50 по приложению 8 находим t_α = 2,01. Тогда = 0,60 – 2,01 = 0,60 – 2,01 ∙ 0,03 = 0,54 мм;

= 0,60 + 2,01 = 0,66 мм.

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что среднее значение износа шлицев вала будет находиться в интервале от 0,54 до 0,66 мм.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: