Способы представления цифровлй модели рельефа

Известно, что топографическая поверхность в общем случае может Г)ыть представлена как в аналоговой форме, так и в цифровой. В пер-иом случае имеют в виду изображение поверхности горизонталями или отмывками, а во втором - каталог координат определенным обра­зом упорядоченных точек, описание связей между ними и алгоритм определения высот точек в заоисимости от их местоположения. С уче­том этого можно дать следующее определение цифровой модели рель­ефа (поверхности):

Цифровая модель рельефа (ЦМР) представляет собой математи­ческое описание земной поверхности как совокупности расположен­ных па ней точек, связей меэюду ними, а такэюе метода определения высот произвольных точек, принадлежащих области моделирования, по их плановым координатам.

Применяемые в настоящее время способы построения цифровой модели рельефа, в зависимости от принятой схемы размещения точек и типа математической модели, можно условно разделить на две группы.

Первая группа объединяет способы, основанные на нелиней­ной интерполяции высот с использованием полиномов, сплайнов, кор­реляционных функций и т. п., различающиеся видом используемой функции, способом отбора исходных пунктов и пр.

Параметры применяемой математической модели вычисляют по опорным точкам, а затем используют для интерполяции высот произ­вольных точек области моделирования по их плановым координатам.

Полиномиальные способы предполагают представление модели­руемой поверхности полиномом второй - пятой степени вида

А, = Z_k = а₀ + a_lX_i + a₂Y_i + а₃Х,У; + а₄Х? + a₅Y_L² +.... (14.14)

Для отыскания неизвестных коэффициентов полинома для каждой опорной точки составляют одно уравнение поправок, неизвестными в котором являются коэффициенты полинома а^...а^\ коэффициенты при неизвестных определяют как функции координат в соответствии с уравнением (14.14), а свободные члены находят как разности между отметками опорных точек и их вычисленными значениями при на­чальных значениях неизвестных. Полученную систему решают по­следовательными приближениями, в каждом из которых неизвестные находят методом наименьших квадратов, под условием \pv²] = min. Найденные таким образом коэффициенты ао-.-Яб используют для ин­терполяции высот произвольных точек области моделирования в соот­ветствии с уравнением (14.14).

Кусочно-полиномиальные способы предполагают деление области моделирования на участки, подбор для каждого участка своего ло­кального полинома вида (14.14) и последующую связь локальных по­линомов с помощью переходных уравнений. Во всех случаях возни­кают переопределенные системы, решение которых выполняют методом наименьших квадратов, под условием минимума суммы квадратов рас­хождений высот точек реальной и аппроксимирующей поверхностей.

Сходные по характеру решения используют способы, основанные на применении рядов Фурье (разложений по сферическим гармони­кам), различного рода сплайнов (кубических, бикубических, на много­образиях и др.) и т. и.

Вторая группа объединяет способы, основанные на построе­нии геометрически упорядоченной (регулярной или нерегулярной) модели, элементами которой являются либо определенным образом упорядоченные линии, либо поверхности различных многогранников (треугольников, четырехугольников или иных фигур). Во втором слу­чае поверхность задается точками в вершинах геометрических фигур (треугольников, квадратов и др.) исходя из предположения, что огра­ничиваемая ими поверхность имеет одинаковый и однообразный ук­лон.

Различия между способами связаны со схемой расположения исход­ных точек и характером связей между ними и иллюстрируются на рис. 14.15-14.17, где перечисленные модели наложены на изображение рельефа горизонталями.

Структурная модель местности представляется отметками точек* размещенных в характерных точках рельефа - на линиях водоразде­лов, тальвегов, урезов вод в точках локального экстремума и др.< (рис. 14.15) Такая модель наиболее точно отражает поверхность ми­нимальным числом точек, однако ее использование затруднено из-за сложности интерполяции высот определяемых точек.

Цифровая модель рельефа на треугольниках произвольной формы (рис. 14.16), покрывающих всю область моделирования, представляет

рельеф наиболее точно, поскольку обеспе­чивает плотное «прилегание» треугольников к моделируемой поверхности. В силу этого такая модель применяется очень широко и известна как модель TIN (Triangulated Irregu­lar Network), или модель на нерегулярной сетке.

Построение цифровой модели рельефа с использованием модели данных TIN сводит­ся к созданию оптимальной сети треугольников, элементы которой «стремятся» быть как можно ближе к равносторонним. При этом лю­бая точка двумерного пространства обладает только одной высотной координатой. Следовательно, в модели TIN не могут быть представле­ны отрицательные уклоны поверхности, такие, как нависающие уте­сы, гроты, полости и др.

Использование модели TIN для получения высот новых точек не совсем удобно, поскольку для этого необходимо не только определить принадлежность определяемой точки конкретному треугольнику, но и, что особенно важно, выполнить линейную интерполяцию высот по отметкам его вершин.

Более удобна для практического использования модель на регуляр­ной сетке со сторонами, параллельными координатным осям X и У системы местности (рис. 14.17). Такая модель называется регулярной и известна как модель DEM (Digital Elevation Model), или матрица вы- сот. Эта модель не может быть построена непосредственно по точкам с известными отметками, и для этого используют либо полиномиаль­ные методы, либо предварительно созданные на основе опорных точек другие модели - TIN, горизонтали и др. В первом случае отметки уз­лов регулярной сетки находят по известным параметром полиноми­альной функции, а во втором - линейной интерполяцией высот по ближайшим точкам сети треугольников или горизонталей.