 |
Дифференциальная геометрия и топология
|
|
|
|
П Р О Г Р А М М А
ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА
Для выпускников специальности 1-31 03 01 «Математика»
(срок обучения: 5 лет)
Программа утверждена Советом
математического факультета
Протокол № 6
от “ 23 “ января 2017 г.
Декан математического факультета
___________ С.П.ЖОГАЛЬ
Гомель 2017
На государственном экзамене выпускник должен продемонстрировать умение систематизировать информационные сведения программы экзамена, знание основных теорем и понятий, понимание взаимосвязей между ними, умение ими пользоваться.
С учетом этих требований экзаменующийся по каждому вопросу билета должен сделать обзор материала, соответствующего формулировке вопросов, сопровождая ответ доказательством отдельных теорем.
Математический анализ
1. Числа натуральные, рациональные и действительные. Полнота множества действительных чисел.
2. Последовательности и их сходимость (сходящиеся последовательности в метрическом пространстве; сходящиеся последовательности действительных чисел; теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности; свойства последовательностей действительных чисел, связанные с арифметическими операциями над последовательностями).
3. Числовые ряды (сходимость числовых рядов; сходимость рядов с неотрицательными членами, признаки их сходимости; абсолютно сходящиеся ряды, их свойства; условно сходящиеся ряды).
4. Производная функции в точке. Дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков.
5. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Формула Тейлора.
6. Непрерывные функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
|
|
|
7. Интеграл Римана (определение, существование, свойства; дифференцируемость интеграла Римана по верхнему пределу). Существование первообразной у непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
8. Дифференцируемость функций нескольких переменных (частные производные и дифференциалы функций многих переменных; необходимые условия дифференцируемости функций многих переменных; достаточные условия дифференцируемости).
9. Производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Необходимые условия локального экстремума функции многих переменных.
10. Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Достаточные условия локального экстремума.
11. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов (критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов; признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда).
12. Двойной интеграл Римана (сведение двойного интеграла к повторному; замена переменных в двойном интеграле) кратные интегралы.
13. Криволинейные интегралы (формула Грина; условия независимости криволинейного интеграла от формы пути).
14. Криволинейные и поверхностные интегралы. Формула Остроградского-Гаусса. Формула Стокса.
Функциональный анализ и интегральные уравнения
1. Мера. Мера Лебега на прямой. Интеграл Лебега: определение и свойства.
2. Метрические пространства. Непрерывные функции. Свойства функций, непрерывных на компакте.
3. Нормированные пространства (банаховы пространства; гильбертовы пространства; ортогональные системы; ряды Фурье; равенство Парсеваля; неравенство Бесселя).
4. Линейные функционалы и операторы (норма оператора; связь непрерывности линейного оператора с его ограниченностью; теорема Банаха-Штейнгауза (принцип равномерной ограниченности); теорема Банаха об обратном операторе, линейные функционалы; теорема Хана-Банаха).
|
|
|
5. Компактные операторы. Альтернатива Фредгольма.
Теория функций комплексного переменного
1. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность. Степенной ряд, круг его сходимости. Ряд Тейлора.
2. Интегральная теорема Коши. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора. Интегральная формула Коши.
3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычет. Применения теории вычетов. Теорема о разложении аналитической функции в ряд Лорана.
Теория вероятностей и математическая статистика
1. Аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Схема Бернулли.
2. Функция распределения, плотность вероятности, их свойства. Закон распределения случайной величины.
3. Выборка и генеральная совокупность. Несмещенность, эффективность и состоятельность оценок. Критерий согласия 
.
Алгебра и теория чисел
1. Основные алгебраические структуры (аддитивная и мультипликативная группы, кольца, поля: определения и примеры).
2. Делимость в кольце целых чисел (определение делимости; теорема о делении с остатком; алгоритм Евклида; нахождение наибольшего общего делителя двух целых чисел с помощью алгоритма Евклида; связь наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух натуральных чисел; разложение натурального числа на простые множители и его единственность (основная теорема арифметики)).
3. Кольцо классов вычетов (определение сравнимости двух целых чисел по натуральному модулю; свойства сравнений; классы вычетов; операции на классах вычетов; кольцо классов вычетов).
4. Поле комплексных чисел (операции над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах; формула Муавра; извлечение квадратного корня из комплексного числа в алгебраической форме; извлечение корня n-ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме).
5. Определители (формула определителя квадратной матрицы; вычисление определителей малых порядков; вычисление определителя разложением по строке (столбцу); теорема об определителе произведения матриц; обратимые матрицы; вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений).
|
|
|
6. Системы линейных уравнений (совместные, несовместные и равносильные системы; критерий совместности системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли); крамеровская система; правило Крамера и матричный метод решения крамеровских систем; однородная система линейных уравнений; условия существования ненулевого решения однородной системы линейных уравнений).
7. Кольцо многочленов от одной переменной (теорема о делении с остатком, алгоритм Евклида и нахождение наибольшего общего делителя двух многочленов с его помощью; корни многочленов; теорема Безу).
8. Основная теорема алгебры комплексных чисел (теорема Гаусса) и её следствия; комплексные корни многочленов с действительными коэффициентами.
9. Векторное пространство над полем, примеры (понятие подпространства; линейная зависимость векторов; базис векторного пространства; понятие размерности; координаты вектора; евклидовы и унитарные пространства; длина вектора; теорема Коши-Буняковского; ортонормированные базисы).
10. Линейные отображения (ядро и образ линейного отображения; ранг и дефект линейного оператора, примеры; матрица линейного оператора; собственные векторы и собственные значения линейных операторов; ортогональные и самосопряженные линейные операторы; теорема об ортогональных и самосопряженных линейных операторах).
Аналитическая геометрия
1. Различные виды уравнений прямой на плоскости (общее; по двум точкам; по угловому коэффициенту и точке; каноническое; параметрические; в отрезках по осям).
2. Плоскость и ее уравнения. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
3. Кривые второго порядка (упрощение общего уравнения линии второго порядка с помощью преобразования системы координат; канонические уравнения кривых второго порядка).
Дифференциальная геометрия и топология
1. Кривые в пространстве (способы задания кривых; плоские кривые; касательная и нормаль; кривизна; пространственные кривые; кривизна и кручение; сопровождающий трехгранник Френе; формулы Френе).
|
|
|
2. Поверхность и её уравнения (различные способы задания поверхностей; касательная плоскость и нормаль к поверхности; классификация точек поверхности).
3. Понятие топологического пространства (замыкание, внутренность и граница; метрические пространства как пример топологических пространств).
4. Непрерывные отображения топологических пространств (гомеоморфизм; понятие топологического свойства: связность, компактность; критерии компактности в метрических пространствах (в R; в C [a,b])).
Основания геометрии
1. Аксиоматический метод. Аксиоматическое построение евклидовой геометрии (системы аксиом Гильберта и Вейля). Геометрия Лобачевского. Модель Кэли-Клейна.
|
|
|
