 |
Функциональный анализ и интегральные уравнения
|
|
|
|
1. Пусть m – мера Лебега на R. Найти
, где D – функция Дирихле, 
- характеристическая функция (индикатор) множества А, m – мера Лебега.
2. Проверить, является ли последовательность 
точек метрического пространства С[0;1] сходящейся, фундаментальной.
3. Является ли оператор 
, действующий по формуле
Ax = (x3, x4, …, xn, …), линейным, ограниченным? Если да, то найти его норму.
4. Пусть оператор действует по формуле Ax = (x1, 2x2, 5x3,0,…). Найти спектр этого оператора.
5. Найти сопряжённый к оператору
A: L 
[0;1] 
L 
[0;1], (Ax)(t) = 
.
6. Определить, при каких значениях 
L [0;1] уравнение
имеет решение в пространстве L [0;1].
Теория вероятностей и математическая статистика
1. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае вероятность вытащить неизвестный билет будет для него наименьшей, когда он будет тащить первым или вторым?
2. Среди 25 экзаменационных билетов 5 "хороших". Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятность следующих событий:
A = {первый студент взял "хороший" билет};
В = {второй студент взял "хороший" билет};
C = {оба студента взяли "хорошие" билеты}.
3. На отрезок АВ длины 3 наудачу брошено пять точек. Найти вероятность того, две точки будут находиться от точки А на расстоянии, меньшем 2, а три – на расстоянии, большем 2.
4. В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартных. На удачу отобраны 2 детали. Найти математическое ожидание и дисперсию числа нестандартных деталей среди отобранных.
5. Плотность распределения вероятностей абсолютно непрерывной случайной величины 
имеет форму
Найти константу с, функцию распределения и дисперсию .
|
|
|
Алгебра и теория чисел
1. Исследовать систему на совместимость и решить методом Крамера.
2. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
.
3. Разложить пространство R4 на прямую сумму подпространств размерности 2.
4. Докажите, что в пространстве M (2, R) система векторов 
линейно независима.
5. Найдите жорданову нормальную форму матриц: 
.
6. Исследовать, являются ли векторы
векторного пространства 
линейно зависимыми.
7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора пространства R 2, заданного в некотором базисе матрицей
.
8. Найти все значения 
, при которых вектор 
линейно выражается через векторы
9. Найти базис и размерность линейной оболочки 
векторов из 
, где
10. Докажите, что линейные пространства 
и 
изоморфны:
C над R, 
R2.
11. Найти матрицу, обратную матрице А
.
12. Вычислить: а) 
; б) 
.
13. С помощью алгоритма Евклида найти наибольший общий делитель (96,165) и выразить его через исходные числа.
14. Составить таблицы сложения и умножения в кольце классов вычетов 
.
15. Даны два базиса 
и 
пространства 
Найти матрицу перехода от базиса 
к 
.
16. Найти ранг матрицы А
Аналитическая геометрия
1. Вычислите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах 
и 
где 
и 
– единичные векторы, угол между которыми 600.
2. Вычислите площадь параллелограмма, диагонали которого определяют векторы 
и 
, если 
3.Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А (12, 6) так, чтобы площадь треугольника, образованного ею и координатными осями, была равна 150 кв. ед.
4. Найдите основание перпендикуляра, проведенного из точки А (1, 3, 5) к прямой, по которой пересекаются плоскости 2x + 2y + z – 1 = 0,
3x + y +2z – 3 = 0.
5. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми:
|
|
|
и 
6. Через прямую x = 2 + 5t, y = 3 + t, z = –1 + 2t проведите плоскость, перпендикулярную к плоскости 4x + 3y – z + 3 = 0.
7. Какая плоская фигура задана уравнением:
x2 – 4y2 + 4x + 24y – 36 = 0.
|
|
|
