Изучение затухающих и вынужденных

КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: изучить процесс электрических колебаний в колебательном контуре, определить параметры затухания и зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты.

Оборудование: плата с колебательным контуром, генератор, осциллограф АСК 2035.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

 

Собственные электрические колебания силы тока, напряжения, заряда возможны в электрической цепи, называемой колебательным контуром. Колебательный контур состоит из конденсатора C, катушки индуктивности L и резистора R (рис. 1).

С

J

R

L

Рис. 1

Если заряженный конденсатор замкнуть на катушку, то в цепи потечет ток. Cила тока возрастает постепенно, так как этому препятствует ЭДС самоиндукции катушки. В момент, когда конденсатор разрядится, ток не прекращается. Спаду тока снова препятствует ЭДС самоиндукции, и ток, продолжая течь в том же направлении, перезаряжает конденсатор. Затем процесс повторяется в обратном направлении. Возникают колебания.

 

Затухающие колебания.

В реальном контуре колебания будут затухающими. Уравнение для затухающих колебаний силы тока в контуре можно получить, решив уравнение закона Ома: сумма падений напряжений на конденсаторе и резисторе должна быть равна ЭДС самоиндукции: U_C + J R = E. Переходя к одной переменной – к заряду по соотношениям , получим уравнение

 

. (1)

Решением дифференциального уравнения является функция, превращающая его в тождество. В данном случае оно имеет вид , где q ₀ – амплитуда заряда, – циклическая частота затухающих колебаний, – коэффициент затухания.

Выражение имеет смысл амплитуды заряда. Амплитуда при затухающих колебаниях со временем уменьшается по экспоненциальному закону (рис.2). Степень затухания колебаний характеризуется, во-первых, коэффициентом затухания b. Если ввести понятие времени релаксации , в течение которого амплитуда уменьшается в е = 2,72 раза, то е ^-bt = е ^{– 1}. Тогда b = 1 /t, коэффициент затухания численно равен величине, обратной времени релаксации.

Во-вторых, логарифмический декремент, характеризующий затухание колебаний в зависимости от числа совершенных колебаний. По определению он равен логарифму отношения амплитуд двух соседних колебаний: . Если подставить сюда формулы для заряда, то получим связь между параметрами затухания . Тогда уравнение для амплитуды можно записать через число колебаний:

Рис. 3

○

○

○

L

R

С

○

○

Еген

○

○

○

Осциллограф

СН2

○

○

○

Плата

Генератор

q

qo e-βt

Рис. 2

t

. (2)

 

Экспериментальное измерение параметров затухания в колебательном контуре можно произвести по осциллограмме затухающих колебаний. Для этого контур подключается к генератору прямоугольных импульсов и осциллографу (рис. 3). В момент смены полярности напряжения конденсатора в контуре начинается колебательный разряд, наблюдаемый на экране осциллографа.

 

○

Вынужденные колебания.

Чтобы электрические колебания были незатухающими, в колебательный контур следует включить источник переменного напряжения, как на рис. 3. При этом в уравнение закона Ома (1) следует добавить ЭДС источника:

(3)

 

После включения источника в контуре возникают два вида колебаний: собственные и вынужденные колебания. Собственные колебания со временем затухают и остаются только вынужденные колебания. Поэтому частное решение уравнения (3) будем искать в виде функции тока той же частоты J =J ₀cos wt. Подставив в (3) соотношения: , , , получим

(4)

 

j

J0(ωL-1/ωC)

Рис. 4

J 0 /ωC

J 0 R

E 0

J 0 ωL

U

Для решения тригонометрического уравнения воспользуемся геометрическим методом векторных диаграмм. Проведем из полюса векторы, длины которых равны амплитудам членов уравнения (4) под углом равным начальным фазам (рис. 4). Если эти векторы поворачивать с угловой скоростью, равной циклической частоте, то проекции векторов на ось напряжений будут равны членам уравнения (4). По теореме Пифагора для заштрихованного треугольника

, откуда амплитуда силы тока равна

 

. (5)

 

Это закон Ома для цепи переменного тока.

Знаменатель следует трактовать как полное электрическое сопротивление цепи переменному току. Оно имеет три составляющих. Активное сопротивление R обусловлено сопротивлением движению электронов в кристаллической решетке проводника. Ограничение силы тока действием ЭДС самоиндукции эквивалентно индуктивному сопротивлению ωL. Емкостное сопротивление 1/(ωС) обусловлено ограничением тока процессами перезарядки.

J 0

ω

Δ ω

J max

ωрез

Рис. 5

Амплитуда силы тока согласно (5) зависит не только от ЭДС источника тока, но и от его частоты. С ростом частоты сила тока сначала возрастает, достигает максимума при частоте, близкой к частоте свободных колебаний, а потом уменьшается (рис. 5). Явление сильного возрастания амплитуды вынужденных колебаний при некоторой частоте называется резонансом. При резонансе напряжений падения напряжения на катушке индуктивности и на конденсаторе находятся в противофазе, равны друг другу и компенсируются. Сопротивление цепи равно только активному сопротивлению R. Поэтому сила тока при резонансе может достигать огромных значений J _max = E ₀ /R. Напряжения на конденсаторе и катушке могут во много раз превышать ЭДС источника.

По резонансной кривой можно определить параметры затухания. Если провести с ординатой линию (рис. 5), то полуширина резонансной кривой будет равна коэффициенту затухания .

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

 

Затухающие колебания

1. Подключите на плате проводниками выбранные резистор и конденсатор и запишите их параметры в табл. 1.

Включить генератор и осциллограф в сеть 220 В.

Выберите кнопками на панели генератора режим прямоугольных импульсов, диапазон частот 200 Гц – 2 кГц.

На панели осциллографа поворотом ручек усиления СН 2 и Horizontal получите на экране изображение сигнала затухающих колебаний. Если накладывается несколько сигналов, то ручкой Triger опустить красную линию до тех пор, пока не будет запускаться один сигнал. Расположите осциллограмму по оси экрана.

Таблица 1

Индуктивность L, мГн	0,896
Сопротивление R, Ом
Емкость С, мкФ
Частота ν, Гц

2. Для измерения амплитуд колебаний нажмите кнопку Cursor. В окне диалога выберите повторным нажатием кнопок Меню вручную, СН 2 напряжение. Отожмите кнопку Cursor. В правом углу экрана появится окно диалога. Щелчком Регулятора ввода активируйте линию курсора. Поворотом Регулятора ввода совмещайте линию курсора поочередно с каждым пиком сигнала. Значение соответствующей амплитуды напряжения спишите в окне диалога. Результаты занесите в табл.2.

Таблица 2

n
А, В
ln A

3. Произвести расчеты.

Определить значения натуральных логарифмов.

4. Построить график зависимости логарифма амплитуды от числа совершенных колебаний. Размер графика не менее половины страницы. Около точек следует провести прямую линию, потому что теоретическая зависимость линейная: ln А = ln A ₀ – d n (рис. 6).

5. Определить логарифмический декремент колебаний. Он равен угловому коэффициенту экспериментальной линии. Для этого на прямой как на гипотенузе построить прямоугольный треугольник. Среднее значение логарифмического декремента равно отношению катетов .

ln A

n 2 n

n 1

ln A 1

ln A 2

Рис. 6

6. Определите частоту колебаний контура. Нажмите Cursor. Выберите в окне диалога кнопкой Меню время вместо напряжение. Отожмите Cursor. Совместите поворотом ручки Регулятора ввода вертикальные линии с одним полным колебанием. Считайте частоту в окне диалога.

Определить среднее значение коэффициента затухания Сравнить с его теоретическим значением .

Вынужденные колебания

1. На генераторе установите режим синусоидальных колебаний. Диапазон частот 20 кГц – 2 00кГц. Проверьте, находится ли в этом диапазоне собственная частота контура, .

2. Ручками СН 2 и Horizontal получите на экране изображение синусоиды. Изменяя частоту генератора, найдите максимум амплитуды колебаний.

Выберите режим курсорных измерений. Выберите повторными нажатиями кнопок Меню в окне диалога режим вручную, СН 2, напряжение. Щелчками и поворотом ручки Регулятор ввода совмещайте линию курсора с пиками осциллограммы, считайте амплитуду колебаний в окне диалога. Запишите частоту и амплитуду в табл. 3.

Таблица 3

Частота nген, Гц
Амплитуда А, В

 

Уменьшая и увеличивая частоту генератора вблизи резонанса не менее 10 раз, измерить амплитуду вынужденных колебаний с помощью курсора. Результаты измерения частоты и амплитуды запишите в табл.3.

Выключить приборы.

3. Построить график зависимости амплитуды от частоты. Размер графика не менее половины страницы. Указать равномерный масштаб. Около точек провести плавную линию.

4. Определить по графику резонансную частоту и амплитуду при резонансе А _max. Вычислить . Провести на графике линию с этой ординатой. Определить абсциссы точек пересечения с резонансной кривой. Найти по графику полуширину резонанса Δ ν (рис. 5).

5. Определить коэффициент затухания . Сравнить результат с теоретическим значением и с результатом расчета для затухающих колебаний.

Сделать выводы.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Объясните, почему в контуре возможны собственные электрические колебания.

2. Запишите уравнение закона Ома для колебательного контура. Запишите решение уравнения для затухающих колебаний. Изобразите график затухающих колебаний.

3. Дайте определение коэффициента затухания, логарифмического декремента. Каков их физический смысл?

4. Запишите уравнение закона Ома для вынужденных колебаний. В каком виде находится его решение для силы тока?

5. Дайте определение резонанса. Чем опасен резонанс?

6. Объясните способ определения коэффициента затухания по резонансной кривой. Докажите, что коэффициент затухания равен полуширине резонансной кривой.

 

Работа 24 б

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: