Плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины и ее свойства

Функцию распределения можно определить для систем любых случайных величин, как дискретных, так и непрерывных. Распределение системы непре­рывных величин (т. е. величин, составляющие которых непрерывны), имею­щих важное значение, обычно характеризуется плотностью распределения ве­роятностей.

Пусть имеется система двух непрерывных случайных величин (X, Y), ко­торая интерпретируется случайной точкой на плоскости ХО Y. Рассмотрим на этой плоскости прямоугольник со сторонами х и у, примыкающий к точке с координатами (х, у) (рис. 3.6).

Рис. 3.6

Вероятность попадания случайной точ­ки (X, У) в прямоугольник вычисляется по формуле (3.4):

.

Разделим вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник на площадь этого прямоугольника и перейдем к пределу при и :

= (3.7)

 

Предполагая, что непрерывная и дифференцируемая функция, и применив теорему Лагранжа к числителю правой части равенства (3.7), получим

Р((х Х< х + ) (у Y < у + у)) = ,

где точка расположена между точками и , а точка η — между и . Тогда

, (3.8)

 

так как при и а .

Определение 3.3. Функция р(х, у), равная пределу отношения вероятности попадания двумерной случайной величины (X, Y) в прямоугольник со сторонами х и у к площади этого прямоугольника, когда обе стороны прямо­угольника стремятся к нулю, называется плотностью распределения вероятно­стей.

Из выражения (3.8) следует, что во всех точках, где существует смешанная производная.

Геометрически функция z = р(х, у) - поверхность, которую называют поверхностью распределения. Если пересечь поверхность распределения плос­костью, параллельной плоскости хОу, и спроектировать полученное сечение на плоскость XOY, будем иметь кривую, в каждой точке которой плотность рас­пределения постоянна. Такие кривые называют кривыми равной плотности.

Как и в одномерном случае, введем понятие элемента вероятности. Для этого воспользуемся формулой

где при х 0, у 0, которая следует из формулы (3.8) в силу опре­деления предела.

Определение 3.4. Элементом вероятности системы двух случайных вели­чин (X, Y) называется выражение р(х, у) х у, которое определяет вероятность по­падания случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник со сторонами х, у, примыкающий к точке (х,у).

Эта вероятность равна объему элементарного параллелепипеда, ограничен­ного сверху поверхностью и опирающегося на элементарный пря­моугольник .

Вычислим теперь вероятность попадания непрерывной двумерной случай­ной величины (X, У) в произвольную область Для этого разобьем область D на элементарных прямоугольников и выберем в каждом из них точки . Как было сказано выше, вероятность попадания случайной точки (X, Y) в приближенно равна элементу вероятности Тогда вероятность попадания непрерывной двумерной случайной величины в область D приближенно равна сумме вероятностей попадания этой случайной величины в элементарные прямоугольники , т. е. . Переходя к пределу при max , max , получаем

. (3.9)

С геометрической точки зрения, вероятность попадания случайной точки (X, У) в область D численно рав­на объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = р(х,у) и опирающегося на область D.

Из формулы (3.9) получаем вероятность попадания случайной точки в прямоугольнике R: :

P((X,Y) R)= . (3.10)

Так как функция распределения есть вероятность попадания в бесконеч­ный квадрант, то, воспользовавшись выражением (3.10), получим

F(x,y) = (3.11)

 

Из формул (3.8) и (3.11) следует, что плотность вероятностей и функция распределения однозначно выражаются одна через другую. Следовательно, плотность вероятностей и функция распределения полностью определяют непрерывную случайную величину.

Сформулируем свойства плотности распределения непрерывной случайной величины.

1 °.Плотность распределения двумерной случайной величины (X, Y) есть

функция неотрицательная: р(х,у) 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, так как плотность распределе­ния — это предел отношения двух неотрицательных величин, то отрицательной она быть не может.

2 °. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от плотности вероятностей равен единице:

(x,y)dxdy= 1. (3.12)

 

Д о к а з а т е л ь с т в о. Свойство 2 ° следует из того, что интеграл (3.12) есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки (X, Y) на всю плоскость XOY, а это достоверное событие.

Пример 3.4. Двумерная случайная величина распределена с постоянной плотностью внутри квадрата R, вершины которого имеют координаты: (0; 0), (0; 2), (2; 0), (2; 2).

Найти плотность вероятностей и функцию распределения .

Р е ш е н и е. Плотность вероятностей двумерной случайной величины , соглас­но условию задачи, можно записать:

Постоянную С определим, воспользовавшись свойством 2 плотности вероятностей:

 

откуда С = . Таким образом,

 

Функцию распределения найдем по формуле (3.11):

а) пусть х 0 или 0, тогда

F(x,y)=P((X<x) (Y< y))= ,

так как (ξ, η) = 0 при (ξ, η) R;

 

б) пусть 0< 2 и 0 2, тогда

=

=

в) пусть >2 и 0< 2, тогда

=

 

г) пусть 0 < 2 и , тогда

=

 

д) пусть х > 2и у > 2, тогда

=

Таким образом, функция распределения двумерной случайной величины име­ет вид

 

 

Пример 3.5. Функция распределения двумерной случайной величины задана выражением

F(x,y) =

 

Вычислить вероятность P((0 X 1) (0 1)).

Р е ш е н и е. Искомую вероятность определим по формуле (3.9):

 

Р((0 Х 1) (0 1)) = dy (x,y)dx,

 

где плотность вероятностей (х, у) определим по формуле (3.8):

 

Тогда =

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение плотности распределения вероятностей .
2. Как вычислить плотность, если задана функция распределения?

3. Сформулируйте определение элемента вероятностей системы двух случайных величин.

1. Перечислите свойства плотности распределения вероятностей.

 

 

3.5. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТАВЛЯЮЩИХ ДВУМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

УСЛОВНЫЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И УСЛОВНЫЕ ПЛОТНОСТИ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

Зная закон распределения системы двух случайных величин, можно опре­делить законы распределения отдельных величин, входящих в систему. В § 3.1 мы показали, что если один из аргументов стремится к , а другой остается переменным, то функция распределения F(x, у) системы случайных величин (X, Y) становится функцией распределения одной из составляющих: = .

 

Если двумерная случайная величина (X, Y) - непрерывная и ее функция распределения задана плотностью вероятностей р (х, у), т. е.

F(x,y)=

то функции распределения составляющих X и Y определяются по формулам:

(3.13)

 

= . (3.14)

 

Дифференцируя выражения (3.13) и (3.14) по соответствующим перемен­ным, согласно теореме о дифференцировании определенного интеграла по пе­ременному верхнему пределу, получим выражение для плотностей распределе­ния вероятностей составляющих X и Y:

(3.15)

 

. (3.16)

 

Зная функцию распределения системы, по формулам (3.13) —(3.16) мож­но определить функции распределения отдельных величин, входящих в систе­му. Но обратную задачу в общем случае решить нельзя, т. е., зная только функции распределения отдельных случайных величин, входящих в систему, не всегда можно найти функцию распределения системы. Нужно знать также зависимость между величинами, входящими в систему. Эта зависимость мо­жет быть охарактеризована с помощью условных законов распределения.

Определение 3.5. Условным законом распределения или условным распре­делением составляющей X (), входящей в систему (X, Y), называется ее рас­пределение, вычисленное при условии, что другая случайная величина Y (X) приняла определенное значение у (х).

Определим выражение для условной функции распределения составляю­щей X () непрерывной двумерной случайной величины (X, Y):

.

 

Для этого введем в рассмотрение два события А = {X < х) и .

 

Вероятность события АВ ={(Х < х) (у Y < у + у)} на основании тео­ремы умножения двух событий А и В равна:

P((X<x) (y Y<y+ y)}=P(y Y<y+ y)P((X <x y<Y<y+ y)),

 

откуда по формуле (3.10) при условии, что Р(у Y < у + у) > 0, получим

P((X<x (y Y<y + y))=

. (3.17)

Разделив в равенстве (3.17) числитель и знаменатель правой части на у и предположив, что плотность р(х, у) непрерывна в рассматриваемой области, согласно теореме о среднем,

.

Тогда

 

или

(3.18)

где

Аналогично

F(y = (3.19)

где

 

Дифференцируя условные функции распределения F(x ) и F(y ) по х и у соответственно, получаем формулы для вычисления условных плотно­стей распределения вероятностей составляющих X и Y непрерывной двумер­ной случайной величины (X, Y):

 

 

 

откуда следует теорема умножения плотностей вероятностей.

Теорема 3.3. Плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y) равна плотности распределения одной из величин, входящих в систему, умноженной на условную плотность распределения другой величи­ны, вычисленную при условии, что первая величина приняла заданное значение:

или .

Рассмотрим дискретную двумерную случайную величину (X, Y), состав­ляющие которой определены на одном пространстве элементарных событий, и обозначим их значения:

Пусть случайная величина (X, ) приняла некоторое значение ; при этом дру­гая случайная величина X может принимать любое из значений , …

Тогда условная вероятность события А = , если наблюдалось со­бытие В = , согласно формуле Р(А | В) = , равна

P((X= ) Y = )= .

 

Обозначая эту вероятность р ( ) получаем

р ( )= .

Совокупность условных вероятностей р(х₁ ), р(х₂ ),..., р( )…, отвечающих условию Y = называют условным распределением составляю­щей X при Y = дискретной двумерной случайной величины (X, Y).

Аналогично условное распределение составляющей Y при дискрет­ной двумерной случайной величины (X, Y) — это совокупность условных вероятностей p ( отвечающих условию ,

 

где .

 

Отметим, что сумма вероятностей условного распределения равна едини­це.

Действительно,

 

Аналогично

Условная функция распределения F(x ) или F(y ) дискретной случай­ной двумерной величины, заданной табл. 3.1, имеет вид:

 

F(x ) =P((X<x) Y=y))= =

или

=

 

Пример 3.6. Случайная величина (X, Y) распределена с постоянной плотностью p(х, y) = const = С внутри квадрата R (рис. 3.7),

 

 

Рис.3.7

вершины которого имеют координаты (-2; 0), (0; 2), (2; 0) и (0; -2). Определить плотность распределения случайной величины (X, Y) и условные плотности распределения вероятностей р (х | у), р (у ) составляющих.

Р е ш е н и е. Плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины (X, У) в силу свойства

т.е. p(x,y)=

Определим плотности X и Y двумерной случайной величины (X,Y):

Аналогично

Компактнее плотности и записать в виде:

Пусть

=

 

Если , то

=

Вопросы для самопроверки

1. Укажите формулы для вычисления функций распределения и плотностей распределения вероятностей составляющих двумерной случайной величины.

2. Сформулируйте определения условных законов распределения составляющих двумерной случайной величины.

3. По каким формулам вычисляются условные функции распределения, условные законы распределения составляющих двумерной случайной величины?

123	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: