 |
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
|
|
|
|
Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывных функций основывается на следующих свойствах этих функций:
если в некотором интервале (конечном или бесконечном) функция 
непрерывна и имеет только один экстремум и если это максимум (минимум), то он будет наибольшим (наименьшим) значением функции в этом интервале;
если функция непрерывна на некотором отрезке 
, то она обязательно имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Эти значения достигаются или в точках экстремума, лежащих внутри отрезка, или на границах этого отрезка.
Таким образом, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке следует:
1. Найти критические точки, лежащие внутри отрезка и вычислить значения функции в этих точках.
2. Вычислить значения функции на концах отрезка, т.е. 
и 
.
3. Из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
.
Решение:
1. Найдем критические точки функции 
при 
Других критических точек внутри данного отрезка нет.
2. Вычислим значения функции на концах отрезка: 
3. Сравним полученные значения: 
Таким образом, наибольшее значение функции 
а наименьшее – 
Контрольная работа №3 по теме
«Введение в анализ.
Дифференциальное исчисление функции
Одной переменной»
3.1 Найти пределы:
3.1.1а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
3.1.2 а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
3.1.3 а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
3.1.4 а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
3.1.5 а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
3.1.6 а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
3.1.7 а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
3.1.8 а) 
б) 
в) 
г) 
д) е) 
3.1.9 а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
3.1.10 а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
3.2. Найти производные
3.2.1. а) 
б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
;
3.2.2. а) 
; б) 
;
|
|
|
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
;
3.2.3. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
;
3.2.4. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
;
3.2.5. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
;
3.2.6. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
;
3.2.7. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
;
3.2.8. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
;
3.2.9. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
;
3.2.10. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
;
3.3. Найти производную
3.3.1. 
; 3.3.2. 
;
3.3.3. 
;
3.3.4. 
;
3.3.5. 
; 3.3.6. 
;
3.3.7. 
; 3.3.8. 
;
3.3.9. 
; 3.3.10. 
;
3.4. Найти производную
3.4.1. 
; 3.4.2. 
;
3.4.3. 
; 3.4.4. 
;
3.4.5. 
; 3.4.6. 
;
3.4.7. 
; 3.4.8. 
;
3.4.9. 
; 3.4.10. 
;
3.5. Найти производную
3.5.1. 
; 3.5.2. 
;
3.5.3. 
; 3.5.4. 
;
3.5.5. 
; 3.5.6. 
;
3.5.7. 
; 3.5.8. 
;
3.5.9. 
; 3.5.10. 
;
3.6.1. Записать уравнение касательной к линии 
в точке с абсциссой 
.
3.6.2. Выяснить, в какой точке кривой 
касательная параллельна прямой 
.
3.6.3. Записать уравнение нормали к линии 
в точке с абсциссой 
.
3.6.4. Выяснить, в какой точке кривой 
касательная перпендикулярна прямой 
.
3.6.5. Найти, какой угол образует с осью обсцисс касательная к параболе 
в т. 
.
3.6.6. Записать уравнение касательной к кривой 
в точке с ординатой 
.
3.6.7. Записать уравнение нормали к кривой 
в точке с ординатой 
.
3.6.8. Определить угловой коэффициент касательной к кривой 
в точке 
.
3.6.9. В какой точке кривой 
касательная перпендикулярна к прямой 
.
3.6.10.Выяснить, в какой точке кривой 
касательная составляет с осью 
угол 
.
3.7.1. Траектория движения тела – кубическая парабола 
. В каких ее точках скорость возрастания абсциссы и ординаты одинаковы?
3.7.2. Закон движения материальной точки 
. В какой момент времени скорость ее движения будет равна 2 м/с?
3.7.3. Тело движется по прямой по закону 
. Определить скорость и ускорение движения тела.
3.7.4. Тело, брошенное вверх, движется по закону 
. В какой момент времени скорость тела станет равна нулю? Найти наибольшую высоту подъема тела.
3.7.5. Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется формулой 
. Какое ускорение будет иметь тело через 4 с? После начала движения?
3.7.6. Тело массой 100 кг движется прямолинейно по закону 
. Определить кинетическую энергию 
тела через 5 с после начала движения.
|
|
|
3.7.7. Заряд, проходящий через проводник, начиная с момента времени 
, определяется формулой 
. В какие моменты времени сила тока в проводнике будет равна нулю?
3.7.8. Тело массой 6 т движется прямолинейно по закону. Требуется вычислить кинетическую энергию 
тела через 1 с после начала движения.
3.7.9. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки 
. Найти скорость и ускорение через 1 секунду после начала движения.
3.7.10.Тело движется по прямой согласно закону 
. Определить скорость и ускорение движения. В какие моменты тело меняет направление движения?
3.8. Найти дифференциал функции:
3.8.1. 
; 3.8.2. 
;
3.8.3. 
; 3.8.4. 
;
3.8.5. 
; 3.8.6. 
;
3.8.7. 
; 3.8.8. 
;
3.8.9. 
; 3.8.10. 
;
3.9. Исследовать функцию и построить график
3.9.1. 
; 3.9.2. 
;
3.9.3. 
; 3.9.4. 
;
3.9.5. 
; 3.9.6. 
;
3.9.7. 
; 3.9.8. 
;
3.9.9. 
; 3.9.10. 
;
3.10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
3.10.1. 
; 3.10.2. 
;
3.10.3. 
; 3.10.4. 
;
3.10.5. 
; 3.10.6. 
;
3.10.7. 
; 3.10.8. 
;
3.10.9. 
; 3.10.10. 
;
Контрольные вопросы к экзамену
1. Определение предела функции в точке.
2. Вычисление пределов элементарных функций в точке, принадлежащей области определения.
3. Виды неопределенностей и способы их раскрытия.
4. Первый и второй замечательные пределы.
5. Понятие бесконечно малой величины. Сравнение бесконечно малых.
6. Основные свойства пределов.
7. Применение понятия бесконечно малой для вычисления пределов.
8. Определение непрерывной функции в точке.
9. Определение производной, её геометрический и механический смысл.
10. Связь понятий непрерывности и дифференцируемости.
11. Основные правила нахождения производных. Производная сложной функции.
12. Таблицы основных производных.
13. Дифференциал функции и его геометрический смысл.
14. Производные и дифференциалы высших порядков: определения, нахождение.
15. Правило Лопиталя и его применение к вычислению пределов.
16. Применение пределов и производных к исследованию функций и построению их графиков. (Промежутки возрастания и убывания, выпуклости и вогнутости, точки экстремума, точки перегиба, асимптоты).
|
|
|
