 |
Метод математической индукции.
|
|
|
|
Принцип математической индукции.
Пусть некоторое А является подмножеством 
, которое удовлетворят следующим условиям:
1. 
2. если 
, то 
, тогда А содержит все натуральные числа, т.е. 
.
Доказательство:
Предположим, что утверждение теоремы не имеет место, т.е. теорема 
. Рассмотрим дополнение множества А относительно множества , т.е. 
.
- По условию , причём
. По предположению 
, т.е. 
. - Если
, кроме того 
, то тогда 
, а т.к. 
, т.е. 
, т.к. 
, где 
. - Пусть
, согласно условию теоремы 2, тогда 
и 
- противоречие, т.е. 
наше предположение не верно, следовательно, 
, т.е. 
и т.д.
Пример: докажем, что 
имеет место равенство 
.
Доказательство: пусть 
. Заметим, что при 
, т.е. .
Если , то 
в силу принципа математической индукции имеем, что 
, т.е. наша формула справедлива .
Так же предлагаем более доступный вариант объяснения Метода Математической индукции.
ПОНЯТИЕ ПОЛНОЙ И НЕПОЛНОЙ ИНДУКЦИИ.
МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ.
1. Индукцией называется метод рассуждений, ведущий от частных примеров к некоторому общему выводу (индукция – латинское слово Inductio, означающее «наведение»).
При доказательстве математических предложений различают неполную индукцию, полную индукцию и математическую индукцию.
2. Неполной индукцией называется метод рассуждений, при котором общий вывод делается на основе рассмотрения достаточно большого числа примеров, которые не охватывают всехвозможныхслучаев.
Метод неполной индукции (нельзя признать методом строго доказательства) позволяет сформулировать гипотезу (гипотеза от греческого hypöthesis – основание, предположение), которую можно доказать или опровергнуть с помощью других методов доказательства.
|
|
|
3. Полной индукцией называется метод рассуждений, при котором общий вывод делается на основании разбора всех частных случаев.
Этот метод применим лишь для конечного числа случаев, причем он целесообразен для не слишком большого их числа.
Пример1:
Доказать, что при 
-х 
справедливо высказывание: 
.
Решение:
При доказательстве надо учитывать, что данное высказывание образованно с помощью логической операции «или» (меньше или равно), а такое высказывание истинно, если истинно хотя бы одно из высказываний 
или 
.
Рассмотрим все возможные случаи:
1) Числа 
имеют одинаковые знаки, т.е. 
. И в том в другом случае для нахождения модуля суммы 
надо сложить модули слагаемых. Тогда высказывание справедливо, т.к. .
2) Числа имеют разные знаки, т.е. 
. В этом случае, чтобы найти модуль суммы, надо из большего модуля вычесть меньший. Пусть 
. Тогда 
; т.к. числа 
положительны, то их разность меньше суммы; значит, и, следовательно, высказывание истинно.
3) Одно из чисел 
равно нулю.
Пусть 
, 
- любое действительное число, в том числе нуль. В этом случае 
; следовательно , что доказывает справедливость данного утверждения.
Аналогично с помощью полной индукции доказывается теорема «площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту».
Таким образом, метод полной индукции приводит к общему выводу после рассмотрения каждого из конечного числа возможных случаев. Этот метод рассуждений вполне надёжен.
4. Принцип математической индукции.
1) Если предложение 
, в котором 
, истинно для 
и из того, что оно истинно для 
(где 
), следует, что оно истинно и для следующего числа 
, то предложение истинно для -го .
2) Доказательство методом математической индукции состоит из двух частей, основанных на указанном выше принципе:
a) В первой части доказывают (проверяют) истинность высказывания 
.
b) Во второй части предполагают, что верно для и доказывают справедливость предложения для , т.е. что 
.
|
|
|
Если обе части доказательства проведены, то на основании принципа математической индукции можно заключить, что предложение истинно для .
Символически формулировка метода математической индукции записывается так:
, где .
Примеры доказательств методом математической индукции
Пример 1. Доказать, что при верно равенство
(1)
Доказательство:
Обозначим данное высказывание через , где , а сумму в левой части (1) через 
.
a) Высказывание истинно, т.к. при получаем верное равенство: 
.
b) Предположим, что верно для ; тогда: 
.
Докажем, что , т.е. 
. Имеем 
т.к. истинно , то на основании принципа мат. индукции заключаем, что формула (1) справедлива для .
Пример 2. Методом математической индукции доказать, что
Доказательство:
a) истинно, т.к. при получаем верное равенство: 
.
b) Предположим, что верно для ; тогда: 
. Докажем, что , т.е. 
, т.е. , т.к. истинно и , то на основании приципа математической индукции заключаем, что истинно для 
.
Замечание. Может случиться, что некоторые утверждения относительно натурального «
» выполняются не при всех 
, а начиная с какого-либо другого значения (
). В этом случае можно пользоваться следующим видоизменением принципа индукции:
Пусть о некотором утверждении относительно натурального числа известно:
I. Утверждение выполняется при 
;
II. Каким бы ни было натуральное 
, из справедливости при вытекает, что справедливо и при , т.е. .
Тогда выполняется при натуральном .
Можно показать, что это предположение эквивалентно принципу (аксиоме) мат. индукции.
Тогда метод математической индукции имеет вид:
.
Пример 1.
Найти все для которых 
.
Решение: Имеем 
при
Однако п ри 
.
Докажем, что при выполняется неравенство: .
Для это установим, что при 
(
)
это неравенство эквивалентно неравенству 
, что справедливо при 
, и тем более при .
Допустим, что при некотором
(
).
Перемножаем формулы () и ():
.
Ответ: 
Пример 2.
Доказать неравенство Бернулли: 
, где 
, .
Доказательство:
a) При высказывание истинно: 
.
b) Нужно доказать, что при из предположения о справедливости неравенства: 
справедливость неравенства 
(). Докажем этот факт.
Если неравенство является верным, то при умножении обеих частей на 
, где 
, получим верное неравенство: 
, где 
, так как 
мы его отбросили и усилии неравенство.
|
|
|
Таким образом, при справедливо неравенство () и поэтому неравенство является верным при .
|
|
|
