Метод математической индукции.
Принцип математической индукции.
Пусть некоторое А является подмножеством 1. 2. если Доказательство: Предположим, что утверждение теоремы не имеет место, т.е. теорема
Пример: докажем, что Доказательство: пусть Если
Так же предлагаем более доступный вариант объяснения Метода Математической индукции. ПОНЯТИЕ ПОЛНОЙ И НЕПОЛНОЙ ИНДУКЦИИ. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. 1. Индукцией называется метод рассуждений, ведущий от частных примеров к некоторому общему выводу (индукция – латинское слово Inductio, означающее «наведение»). При доказательстве математических предложений различают неполную индукцию, полную индукцию и математическую индукцию. 2. Неполной индукцией называется метод рассуждений, при котором общий вывод делается на основе рассмотрения достаточно большого числа примеров, которые не охватывают всехвозможныхслучаев. Метод неполной индукции (нельзя признать методом строго доказательства) позволяет сформулировать гипотезу (гипотеза от греческого hypöthesis – основание, предположение), которую можно доказать или опровергнуть с помощью других методов доказательства.
3. Полной индукцией называется метод рассуждений, при котором общий вывод делается на основании разбора всех частных случаев. Этот метод применим лишь для конечного числа случаев, причем он целесообразен для не слишком большого их числа. Пример1: Доказать, что при Решение: При доказательстве надо учитывать, что данное высказывание образованно с помощью логической операции «или» (меньше или равно), а такое высказывание истинно, если истинно хотя бы одно из высказываний Рассмотрим все возможные случаи: 1) Числа 2) Числа 3) Одно из чисел Пусть
Аналогично с помощью полной индукции доказывается теорема «площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту». Таким образом, метод полной индукции приводит к общему выводу после рассмотрения каждого из конечного числа возможных случаев. Этот метод рассуждений вполне надёжен.
4. Принцип математической индукции. 1) Если предложение 2) Доказательство методом математической индукции состоит из двух частей, основанных на указанном выше принципе: a) В первой части доказывают (проверяют) истинность высказывания b) Во второй части предполагают, что
Если обе части доказательства проведены, то на основании принципа математической индукции можно заключить, что предложение Символически формулировка метода математической индукции записывается так:
Примеры доказательств методом математической индукции Пример 1. Доказать, что при
Доказательство: Обозначим данное высказывание через a) Высказывание b) Предположим, что Докажем, что
Пример 2. Методом математической индукции доказать, что Доказательство: a) b) Предположим, что Замечание. Может случиться, что некоторые утверждения относительно натурального « Пусть о некотором утверждении I. Утверждение II. Каким бы ни было натуральное Тогда Можно показать, что это предположение эквивалентно принципу (аксиоме) мат. индукции. Тогда метод математической индукции имеет вид:
Пример 1. Найти все Решение: Имеем
Однако п ри Докажем, что при Для это установим, что при
это неравенство эквивалентно неравенству Допустим, что при некотором
Перемножаем формулы (
Ответ: Пример 2. Доказать неравенство Бернулли: Доказательство: a) При b) Нужно доказать, что при Если неравенство
Таким образом, при
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|