 |
Теперь покажем, как работает метод математической индукции при решении задач на прогрессии. Попутно приведем полезные сведения о самых прогрессиях: арифметической и геометрической.
|
|
|
|
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Последовательность, у которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа или одного и того же выражения, называемого разностью прогрессии, носит название арифметической прогрессии. Условимся обозначать её символом 
.
Таким образом, арифметическая () прогрессия – это 
заданная рекуррентно, т.е. 
, где 
, 
- разность . Обыкновенно её записывают в виде 
Пример 1.
Написать несколько первых членов , если 
и 
Решение:
По формуле находим:
; 
;
; 
;
Имеем 
Пример 2:
Написать несколько первых членов , если 
и 
.
Решение:
С помощью той же формулы определяем:
; 
;
; 
;
Т.о., 
При 
прогрессия называется возрастающей, а при 
прогрессия называется убывающей.
Случай 
, все члены прогрессии равны первому члену 
. не будет ни возрастать, ни убывать. Этот случай не рассматривается.
Из определения 
, что для 
верно:
1) 
2) Любой член , кроме первого, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов, т.е. 
, где
Доказательство:
По определению имеем:
+ 
ч.т.д.
3) Выведем формулу общего члена .
По определению имеем:
Складывая «
» равенств, получаем: 
.
Отнимая от обеих частей последнего равенства сумму 
, имеем
(
)
Т.е. 
член прогрессии равен первому члену, сложенному с произведением разности прогрессии на число членов предшествующих определяемому.
Докажем формулу () методом математической индукции:
I. При 
, 
, равенство справедливо.
II. Пусть равенство справедливо при 
, т.е. 
III. Докажем, что из этого предположения справедливость и про 
, т.е. что 
По определению 
, используя предположение, получаем 
. На основании принципа мат. индукции равенство () справедливо.
|
|
|
4) Сумма двух симметричных по отношению центра конечной прогрессии, есть величина постоянная для этой прогрессии, равная сумме крайних её членов.
Пусть дана :
Стрелками показаны симметричные (равноудалённые) члены.
Мы видим, что у двух равноудалённых членов сумма нижних значков (индексов), указывающих их порядковые номера от начала, всегда равняется (
), теперь наше утверждение можем записать в алгебраической форме.
Докажем: 
.
+ 
ч.т.д.
5) Формула для суммы «
» членов прогрессии.
Пусть дана прогрессия 
.
Обозначая сумму «» первых её членов 
, запишем два равенства:
+ 
Учитывая равенство ,
Имеем: 
, т.к. , то
, т.е. для прогрессии сумма есть квадратичная функция от переменной «».
6) Методом математической индукции доказать формулу суммы «
» первых членов 
прогрессии.
(
)
Доказательство:
I. При имеем 
, т.е. высказывание Р(1) верно.
II. Предположим, что 
- истинно при 
.
III. Покажем, что тогда 
.
Действительно, имеем 
.
()
Исключим член 
. По формуле общего члена прогрессии имеем 
, т.к. 
, то 
(или после преобразования) 
Подставляя найденное выражение в формулу () получаем:
.
Этот результат показывает, что 
находится по формуле (
), если положить , т.е. формула () верна при , и из её истинности при , что она истина при , следовательно, она верна при всех 
.
При доказательстве справедливости этой формулы для была использована формула общего члена прогрессии, справедливость которой для 
была обоснована ранее.
Существует пять в еличин, характеризующие прогрессию: 
,
а соотношений между ними только два:
§
§ 
.
Поэтому з адачи на должны содержать три известных величины из пяти.
7) Запишем ещё одну важную формулу, которая даёт возможность решать целый класс задач на . Запишем два члена прогрессии 
и вычтем их друг из друга:
.
Отсюда разность 
.
Т.е. разность прогрессии равняется разности её двух членов, делённой на разность их номеров.
|
|
|
|
|
|
