 |
Сопротивление грунта продольным перемещениям трубы.
|
|
|
|
Для определения зависимостей сопротивления грунта – продольное перемещение, проводят эксперименты и строят диаграммы.
Чтобы оценить сопротивление грунта продольным перемещениям магистрального трубопровода, проводят следующие эксперименты. Сквозь изучаемый грунт перемещают отрезок трубы вдоль его оси и с помощью динамометра определяют силу сопротивления грунта.
Результаты измерений наносят на диаграмму. По оси абсцисс откладывают продольные перемещения отрезка трубы 
, как недеформируемого тела, по оси ординат – среднее значение cопротивления грунта сдвигу по поверхности трубы 
.
После того, как диаграмма полностью построена, на ней можно выделить три главных участка:
1 – между перемещением трубы и сопротивлением грунта, почти линейная зависимость. Это первая фаза напряженного состояния грунта – фаза уплотнения, когда грунт уплотняется и приобретает свойства упругого тела;
2 – нарушается пропорциональность между перемещением трубы и сопротивлением грунта, доля упругих деформаций уменьшается, остаточные деформации нарастают;
3 – почти прямая линия параллельная оси абсцисс, которая характеризует равномерное перемещение отрезка трубы. На этом участке грунт находится в стадии предельного равновесия, а между трубой и грунтом устанавливается пластическая связь, которая описывается свойством пластического тела Прандтля-Кулона.
Рисунок 32. Диаграмма сопротивления грунта продольным перемещениям.
1 – диаграмма реального грунта; 2 – билинейная диаграмма.
Для того, чтобы максимально упростить решение полученной математической модели на практике зависимость сопротивления грунта от продольного перемещения линеаризировать, т.е. заменить двумя прямолинейными участками.
|
|
|
На первом участке в области упругих деформаций эта зависимость описывается уравнением прямой
, (9.11)
где 
– обобщенный коэффициент касательного сопротивления грунта (коэффициент постели грунта при продольных перемещениях); на диаграмме 
этот коэффициент определяется углом наклона первого участка к оси абсцисс 
(рисунок 32).
Второй участок параллелен оси абсцисс и определяется уравнением прямой 
, где 
- предельное сопротивление грунта.
Для определения обобщенного коэффициента касательного сопротивления грунта при обработке диаграмм 
используют условие минимума получаемой ошибки. С этой целью ломаную линию 
(рисунок 32) проводят таким образом, чтобы площади, образованные экспериментальной кривой и ломаной линией были равны.
36. Определение продольного перемещения свободного конца трубы на участке
подземного трубопровода.
Рассмотрим прямолинейный подземный участок трубопровода, правый конец которого будем считать неподвижным
Расчетная модель-стержень кольцевого сечения
.
погонная осевая сила сопротивления грунта,
,
и с учетом (9.11)
.
Диаграмма продольных нагрузок 
Участки----:
· участок линейноупругой связи между трубой и грунтом
при 
;
· участок пластической связи между трубой и грунтом
при 
. (9.15)
Участок, где при взаимодействии трубопровода с грунтом 
, называется участком предельного равновесия, его длина равна 
(первый участок I на рисунке)
, (9.16)
где 
– вес трубопровода с продуктом;
– угол внутреннего трения грунта;
– объемный вес грунта;
– безразмерный коэффициент, учитывающий образование свода обрушения;
– коэффициент сцепления грунта, МПа (характеристика грунта, зависит от коэффициента пористости).
Коэффициента образования свода обрушения можно определить по диаграмме (рисунок 35) или с помощью рекомендуемых эмпирических формул
|
|
|
. Коэффициент образования свода обрушения.
1 – песчаный грунт; 2 – глинистый грунт.
В зависимости от нагрузок и относительной жесткости трубопровода возможны два варианта его работы:
· имеется один участок; отсутствует участок предельного равновесия грунта; между трубой и грунтом существует только упругая связь; 
;
· имеются два участка работы; существует участок предельного равновесия грунта; на первом участке взаимодействие между трубой и грунтом упругое; на втором пластическое.
продольных деформаций необходимо учитывать температурные воздействия и нагрузки от внутреннего давления
,
где 
– продольная сила в поперечных сечениях трубы;
– модуль упругости материала трубы;
– площадь кольцевого сечения трубы;
– коэффициент линейного расширения материала трубы;
– температурный перепад положительный при нагреве;
– коэффициент Пуассона;
– кольцевые напряжения.
Из полученного выражения (9.14) получаем формулу для определения продольной силы
(9.20)
С учетом соотношения Коши 
. (9.21)
Если ввести обозначение
, (9.22)
то уравнение для продольной силы будет записано в следующем виде
(9.23)
С учетом уравнения равновесия (9.2) получаются выражения для продольных перемещений W
· на первом участке
или 
(9.24)
· на втором участке
(9.25)
где 
. Таким образом, для определения перемещений поперечных сечений трубопровода получены дифференциальные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (9.17) и (9.18).
Для получения решения первого дифференциального уравнения проводим дважды интегрирование
с учетом получается выражение для продольной силы на первом участке
,
где 
– постоянные интегрирования.
Если в полученные уравнения подставить координату 
, то получим перемещение 
и продольную силу 
в начале трубы (свободного конца трубы)
,
.
Из выражения (9.25) определим постоянную интегрирования 
Для второго дифференциального уравнения (9.20) необходимо составить характеристическое уравнение
,
корни которого 
позволяют получить решение для продольных перемещений на втором участке трубопровода
где 
- гиперболический косинус;
|
|
|
- гиперболический синус для аргумента 
.
Рисунок 35. Графики гиперболических функций.
С учетом получаем уравнение для продольной силы
, (9.34)
где 
– постоянные интегрирования.
Если в уравнение (9.27) подставить условие при 
, 
, то получим
, откуда
, (9.35)
где 
- гиперболический тангенс 
.
Для решения практических задач необходимо определить постоянные 
и длину участка предельного равновесия трубопровода . С этой целью сформулируем граничные условия, кроме тех которые уже были использованы.
При 
продольные перемещения на конце первого участка и в начале второго равны 
, также как и продольные силы 
, кроме того, в этом сечении продольное перемещение становится равным предельному 
.
После реализации всех условий получаем
;
; (9.36)
; (9.37)
(9.38)
Величина определяется, в результате решения трансцендентного уравнения (9.32).
После определения вычисляются произвольные постоянные , которые позволяют определить 
.
Также определяются продольное перемещение в начале участка трубопровода и продольное усилие 
в конце участка
. (9.39)
Однако следует отметить, что для получения полного решения задачи об определении продольных перемещений подземного трубопровода ещё не известна длина участка трубопровода 
, на которой продольные перемещения станут равны нулю. При рассмотрении конкретных задач, как правило, удается решить эту проблему.
Далее рассмотрены частные случаи подземных трубопроводов. Один из наиболее распространенных случаев, когда можно считать участок трубопровода полубесконечным, т.е. длина участка трубопровода стремится к бесконечности, а гиперболический тангенс стремится к единице в соответствии с графиком (рисунок 35)
; 
Это условие позволяет определить длину участка предельного равновесия из выражения (9.32)
(9.40)
С учетом полученного выражения для , из уравнений (9.26), (9.29), (9.30), (9.31) находим постоянные интегрирования
(9.41)
(9.42)
. (9.43)
Перемещения в начале участка получается из уравнения (9.24)
(9.44)
Усилия в защемленной части трубопровода, где продольные перемещения 
, определяются из уравнения (9.33) при условии, что гиперболический косинус стремится к бесконечности
|
|
|
,
. (9.45)
Для того, чтобы оценить длину участка магистрального трубопровода необходимо ввести критерий, который будет устанавливать, когда размер участка можно считать бесконечно длинным.
Для решения практических задач достаточную точность будет обеспечивать следующее условие: перемещение правого конца участка равняется 0,01 от перемещения сечения, соответствующего концу участка предельного равновесия.
, (9.46)
где 
Из уравнения (9.27) с учетом (9.29)
.
Для , 
(рисунок 35)
. (9.47)
С учетом определения гиперболических функций
(9.48)
Подставляем (9.42) в (9.41) с учетом (9.37)
и после сокращений
или 
.
. (9.49)
Подставив вместо его значение из (9.34) и вычислив логарифм получаем окончательное выражение
. (9.50)
Однако, нужно не забывать, что полученные решения относятся к варианту, когда по длине трубопровода имеются два участка взаимодействия трубы и грунта, т.е. существует участок предельного равновесия грунта. Поэтому, чтобы выбрать правильный вариант решения, нужно иметь критерий наличия участка предельного равновесия грунта. Анализируя выражение (9.32), определим условие, когда 
.
Если 
, то и 
. С учетом этого легко получить критерий для существования участка предельного равновесия грунта
. (9.51)
Если можно считать трубопровод полубесконечным
при , условие (9.45) упрощается
.
|
|
|
