Координатная плоскость. Построение параметрического семейства кривых (метод сечений).
Предположим, что уравнение или неравенство, содержащее параметр, приведено к виду
или
. Тогда уравнение
определяет на координатной плоскости
некоторую кривую, а уравнение
- семейство кривых, в котором каждому допустимому значению параметра
соответствует одна кривая. При этом в зависимости от значений параметра
кривые семейства
могут занимать различные положения относительно кривой
. Графическое исследование сечения кривой
семейством кривых
позволяет найти дальнейшее правильное аналитическое решение исходного уравнения или неравенства.
8. Найти все значения параметра
, при которых неравенство
выполняется при всех действительных значениях
.
Решение.
Перенесем слагаемые, не содержащие параметр, в правую часть неравенства:
.
Построим график функции
и найдем те значения
, при которых все точки графиков параметрического семейства функций
лежат выше этого графика.
;
.
Очевидно, что контрольным значением параметра является значение параметра
, при котором график функции
проходит через точку
. Подставим ее координаты в уравнение
, получим:
;
. Ответ:
.
9. Найти все значения параметра
, при которых неравенство
выполняется при всех действительных значениях
.
Решение. Представим неравенство как квадратное относительно
и сделаем замену
. Получим следующую систему неравенств:
.
Абсцисса вершины квадратного трехчлена
зависит от параметра:
.
Семейство парабол разделим на три группы. К первой отнесем те из них, вершины которых расположены левее промежутка
; ко второй – вершины которых расположены внутри или на границе промежутка
; к третьей - вершины которых расположены правее этого промежутка.
Необходимым и достаточным условием положительности функции в указанном промежутке является выполнение неравенства
при
. Для первой группы – это неравенство
, для второй -
, для третьей -
. Таким образом, получим совокупность трех систем неравенств:
(1),
(2),
(3).
Решим последовательно каждую из них.
(1),
.
(2). Система несовместна.
(3),
. Ответ:
,
.
10. Найдите все значения
, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza10/3298958914495.files/image380.gif)
Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда графики функций
и
имеют единственную общую точку.
Первое уравнение запишем в виде
. Это система задает верхнюю полуокружность с центром
и радиусом 2. Второе уравнение запишем в виде
. Это система задает верхнюю полуокружность с центром
и радиусом 2.
При
полуокружности совпадают.
При
,
полуокружности не имеют общих точек.
При
,
полуокружности имеют единственную общую точку.
Ответ:
,
.
11. Найти все значения параметра
, при каждом из которых система неравенств
имеет решения.
Решение
Первое неравенство задает на координатной плоскости круг радиуса
с центром в точке
. Второе неравенство задает полуплоскость с границей
. Очевидно, что центр круга при всех значениях
лежит вне заданной полуплоскости, т.к.
.
Система имеет решения, если круг и полуплоскость имеют общие точки, т.е. если радиус окружности не меньше расстояния от точки
до прямой
. Расстояние от точки
до прямой
находится по формуле
. Отсюда
;
;
.
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza10/3298958914495.files/image434.gif)
Не используя данную формулу, можно было потребовать, чтобы радиус был не меньше расстояния между параллельными прямыми
и
.
;
;
;
. Далее аналогично.
Ответ:
;
.
12. (ЕГЭ 2011). Найдите все положительные значения
, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение
Если
, то уравнение
задаёт окружность
с центром в точке
радиуса 3, а если
, то оно задаёт окружность
с центром в точке
радиуса 3.
При положительных значениях параметра
уравнение
задаёт окружность
с центром в точке
радиуса
. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения
, при каждом из которых окружность
имеет единственную общую точку с объединением окружностей
и
.
Из точки
проведем луч
и обозначим
и
точки его пересечения с окружностью
, где
лежит между
и
. Так как
, то
,
.
При
или
окружности
и
не пересекаются.
При
окружности
и
имеют две общие точки.
При
или
окружности
и
касаются.
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza10/3298958914495.files/image501.jpg)
Из точки
проведем луч
и обозначим
и
точки его пересечения с окружностью
, где
лежит между
и
. Так как
, то
,
.
При
или
окружности
и
не пересекаются.
При
окружности
и
имеют две общие точки.
При
или
окружности
и
касаются.
Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность
касается ровно с одной из окружностей
и
и не пересекается с другой.
Ответ:
;
.
13. (ЕГЭ 2011). Найдите все значения
, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение
Первое уравнение при условии
задает на плоскости две единичные окружности с центрами
и
, а второе – прямую
с угловым коэффициентом
, проходящую через точку
.
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza10/3298958914495.files/image540.gif)
Прямая
касается окружности с центром в точке
единичного радиуса тогда и только тогда, когда система
имеет единственное решение. Для этого необходимо, чтобы квадратное уравнение
имело единственное решение. Приведем уравнение к виду
и из равенства нулю дискриминанта получим:
, откуда
. Значит,
и система
имеет решения только при
.
Аналогично, прямая
касается окружности с центром в точке
единичного радиуса тогда и только тогда, когда система
имеет единственное решение. Для этого необходимо, чтобы квадратное уравнение
имело единственное решение. Приведем уравнение к виду
и из равенства нулю дискриминанта получим:
, откуда
. Значит,
и система
имеет решения только при
.
Так как
, то исходная система имеет единственное решение при
и при
.
Ответ:
;
.
- Найдите все положительные значения параметра
, при каждом из которых система
имеет ровно два решения.
Решение
Выражаем из второго уравнения
и подставляем в первое, получаем следующую систему:
. Решим уравнение
. Рассмотрим взаимное расположение графиков функций
и
в следующих трех случаях:
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza10/3298958914495.files/image599.jpg)
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza10/3298958914495.files/image603.gif)
Итак, при
графики функций
и
общих точек не имеют и, следовательно, уравнение
не имеет корней.
При
графики пересекаются в точке с абсциссой
и уравнение
имеет один корень
.
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza10/3298958914495.files/image613.gif)
При
графики пересекаются в точке с абсциссой
и уравнение
имеет один корень
.
Подставим
во второе уравнение системы:
.
;
.
Ответ: ![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza10/3298958914495.files/image613.gif)
4.2. Координатно – параметрическая плоскость. Метод областей.
При графическом исследовании задач с параметрами наряду с координатной плоскостью
целесообразно также использовать координатно – параметрическую плоскость
. Если возможно построить на координатно – параметрической плоскости множество всех точек, координаты которых
и
удовлетворяют условию задачи, то затем нетрудно поставить в соответствие каждому значению параметра
этого множества значение соответствующей координаты
. Это и будет решением задачи. Следует также указать те значения параметра, при которых задача не имеет решения. Выбор контрольных значений параметра определяется конкретным видом построенных множеств.
15. (ЕГЭ 2011). Найдите все значения
, при каждом из которых система
имеет решения.
Решение
Разложим левую часть неравенства на множители
. Это неравенство задаёт пару вертикальных углов плоскости
. Уравнение задаёт окружность с центром
радиуса 5.
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza10/3298958914495.files/image637.gif)
Решения системы – точки дуг окружности, лежащие в указанных вертикальных углах. Абсциссы концов этих дуг находим из систем
и ![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza10/3298958914495.files/image641.gif)
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza10/3298958914495.files/image645.gif)
;
.
;
.
Ответ:
;
.
16. Найдите все значения параметра
, при котором уравнение
имеет нечетное число различных корней.
Решение
Разложим левую часть уравнения на множители:
;
.
Таким образом, получили следующую совокупность двух уравнений:
.
На плоскости
построим графики функций
и ![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza10/3298958914495.files/image670.gif)
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza10/3298958914495.files/image672.gif)
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza10/3298958914495.files/image674.gif)
- точка максимума
- точка максимума
-точка минимума
- точка минимума
;
.
;
.
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza10/3298958914495.files/image688.gif)
Ответ: -27; 0; 27.
17. Найдите все значения
, при каждом из которых общие решения неравенств
и
образуют на числовой оси отрезок длины единица.
Решение.
Представим данные неравенства в виде следующей системы:
.
На плоскости
решением этой системы являются точки, лежащие не ниже параболы
и не выше параболы
.
Найдем точки пересечения этих парабол:
;
;
;
.
Отметим, что так как
, то точка пересечения парабол с координатами
лежит правее вершины параболы
, координаты которой
.
Решим относительно
уравнения
и ![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza10/3298958914495.files/image720.gif)
;
.
Таким образом, следует рассмотреть три системы:
;
;
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza10/3298958914495.files/image734.gif)
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza10/3298958914495.files/image736.jpg)
Решение системы
:
; системы
:
.
Система
несовместна, так как решение второго уравнения системы
.
Ответ:
;
.
Воспользуйтесь поиском по сайту: