Функциональный подход к решению уравнений и неравенств.
Для решения уравнений и неравенств, содержащих различные типы элементарных функций, достаточно часто приходится использовать общие методы исследования свойств функций, такие как область определения и множество значений, четность, монотонность, экстремумы и т.д.
18. Найти все значения
, при которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Решение. Рассмотрим уравнение
, где
. Здесь
- кусочно-линейная функция, графиком которой является ломаная линия, имеющая своими звеньями отрезки прямых и два луча.
Любое звено этой ломаной при
- часть некоторой прямой с угловым коэффициентом
Для
любое из звеньев имеет угловой коэффициент
Отсюда следует возрастание
при
и ее убывание при
. Таким образом,
.
Условие существования корня данного уравнения имеет вид:
.
,
,
,
. Ответ:
.
19. Найти все значения параметра
, при которых неравенство
выполняется для любого значения
.
Решение.
Найдем область изменения функции, стоящей под знаком модуля.
, где
- дополнительный аргумент.
.
Таким образом, получаем следующую систему
. Ответ:
.
20. (ЕГЭ 2012). Найдите все значения параметра
, при каждом из которых неравенство
выполняется для всех
.
Решение. Рассмотрим функцию
=
.
Эта функция возрастает на промежутке
и убывает на промежутке
.
;
.
Отрезок
не должен лежать на участке монотонности, иначе
.
Следовательно,
;
.
Наибольшее значение
достигается либо при
, либо при
.
Наименьшее значение
достигается при
. Итак, имеем систему:

Ответ:
.
21. (ЕГЭ 2013). Найдите все значения параметра
, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Решение. Рассмотрим две функции:
и
. Так как
, то
.
Функция
является кусочно-линейной.
При
угловой коэффициент либо 4, либо 12.,
при
угловой коэффициент либо -4, либо -12.
Значит,
возрастает при
и убывает при
, поэтому
.
Исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда
.

или 

Ответ: -5;
;.
22. (ЕГЭ 2012).
Найдите все значения параметра
, при каждом из которых уравнение
имеет более трех различных решений.
Решение. Перепишем уравнение в виде
или
, где
.
, следовательно,
- монотонно возрастающая функция.
.
; 
- два решения при
;
- два решения при
, отличных от решений первого уравнения.
Ответ:
.
.
23. Найдите все значения параметра
, при каждом из которых уравнение
не имеет действительных решений.
Решение. Обозначим
,
, тогда
.
В результате указанной замены исходное уравнение примет следующий вид:
.
Введем функцию
и запишем уравнение в виде
или с учетом нечетности
: 
Так как
, то
-монотонно возрастающая функции, то
.
Отсюда имеем
;
;
;
.
24. Найдите наибольшее целое значение
, при котором уравнение 
имеет ровно два различных решения.
Решение
Преобразуем правую часть уравнения по формуле
.
Получим
.
Левую часть уравнения преобразуем следующим образом:
.
Обозначим
;
, тогда уравнение примет вид:
или 
Введем функцию
.
Так как
, то
-монотонно возрастающая функция.
Следовательно,
.
Отсюда имеем 
;
;
;
.
Ответ:
.
25. Найти все значения параметра
, при каждом из которых уравнение
имеет по крайней мере два корня, один из которых неотрицателен, а другой не превосходит
-1.
Решение. Найдем ОДЗ:
.




.
Ответ:
;
;
.
26. При каких значениях параметра
неравенство
справедливо для всех значений
из отрезка
?
Решение.
Обозначим
, тогда неравенство будет иметь вид 



;
;
- монотонно возрастающая функция;
;
;
.

Ответ;
.
27. (ЕГЭ 2014).
Найдите все значения параметра
, при которых для любого действительного
выполнено неравенство 
Решение. Пусть
, тогда неравенство запишется в виде
. Поскольку
, нам требуется найти все значения
, при которых неравенство выполнено при
.
Рассмотрим функции
и
. Функция
- кусочно-линейная. Угловой коэффициент ее звеньев не превосходит 10. Функция
- линейная функция с угловым коэффициентом 11. Значит, функция
возрастающая. Свое наименьшее значение на промежутке
она принимает при
. Таким образом, если неравенство
выполнено при
, то оно выполняется и при
.
При
неравенство принимает вид
;
.
при
.
.
Таким образом,
при
;
.
Ответ:
;
.
28. (ЕГЭ 2014). Найдите все значения параметра
, при которых уравнение
имеет ровно два решения.
Решение. Пусть
, тогда уравнение имеет вид
;
.
;
;
.
При
решений нет.
ОДЗ:
;
;
.
.
- монотонно убывающая функция.
При
;
.
Таким образом, при
выражение
принимает по одному разу все значения из промежутка
.
При
;
.
При
выражение
принимает по одному разу все значения из промежутка
. При
имеем одно решение
.
;
;
.
Ответ:
;
;
.
Содержание критерия
| Баллы
|
Обоснованно получен правильный ответ
|
|
С помощью верного рассуждения получено множество значений , отличающееся от искомого только включением точек и/или
|
|
С помощью верного рассуждения получен один из промежутков множества : или ; возможно, с включением граничных точек и/или исключением точки
|
|
Верно найдена хотя бы одна из граничных точек множества значений или ; ИЛИ получено хотя бы одно из уравнений
|
|
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
|
|
Максимальный балл
|
|
29. Найдите все значения
, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решение. Пусть
,
.
Если
, тогда
,
и
.
Если
, тогда
;
.
Обозначим
.
Исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда уравнение
имеет единственный корень, больший 1, или два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1.
Уравнение имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю:
;
;
или
.
При
уравнение
имеет единственный корень
. В этом случае исходное уравнение имеет единственный корень
.
При
уравнение
имеет единственный корень
. В этом случае исходное уравнение имеет два корня.
Графиком функции
является парабола, ветви которой направлены вверх. Для того, чтобы уравнение
имело два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
;
;
;
.
Ответ: -170; (-2; 5).
30. Найти все значения параметра
, при каждом из которых множество значений функции
содержит отрезок
.
Решение. Перепишем заданную функцию так:
.
Для того, чтобы множество значений функции содержало отрезок
, необходимо, чтобы уравнения
(1) и
(2) имели корни, т.е. нашлись такие значения переменной
, при которых выполняются равенства (1) и (2). Тогда в силу свойства функции, непрерывной на некотором отрезке, функция будет принимать все промежуточные значения между 0 и 1.
Рассмотрим уравнение (1):

Таким образом, уравнение (1) имеет решение при любых значениях
, кроме
.
Рассмотрим уравнение (2):

.
;
;
.
Ответ:
.
31. (ЕГЭ – 04.06.15). Найдите все значения
, при каждом из которых система уравнений
имеет более двух решений.
Решение.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим два случая:
1) Если
, то уравнение имеет вид
;
;
.
Полученное уравнение задает окружность с центром
и радиусом 5.
2) Если
, то уравнение имеет вид
;
;
.
Полученное уравнение задает окружность с центром
и радиусом 5.
Полученные окружности пересекаются в точках
и
, лежащих на прямой
. Найдем эти точки:
;
;
;
.
Таким образом, искомое множество состоит из двух дуг
и
с концами в точках
и
.
Второе уравнение системы задает семейство параллельных прямых
с угловым коэффициентом
. Заметим, что эти прямые перпендикулярны прямой
и прямая
принадлежит этому семейству (при
).
Найдем, при каких значениях параметра прямые
проходят соответственно через точки
и
, то есть система имеет три решения:
;
.
.
Найдем, при каких значениях
прямые
касаются дуг
и
.





Следовательно, дуги
и
имеют общие касательные. Прямые
касаются дуг
и
при
, то есть при этих значениях параметра система имеет два решения.

Ответ:
;
.
32. (ЕГЭ – 27.09.15). Найдите все значения
, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение. Запишем первое уравнение в следующем виде
;
.
;
.
При
уравнение
принимает вид
, откуда при
получаем
. С учетом условия
получаем, что при
и
решений нет, а при
имеется одно решение.
При
уравнение
принимает вид
;
.
Дискриминант данного квадратного уравнения
.
Таким образом, уравнение
не имеет решений при
, имеет единственное решение при
и при
, имеет два решения при
и при
. При
.
Таким образом, при
корни уравнения
больше 2, поскольку
, а минимум квадратичной функции
достигается при
; при
корни уравнения
не превосходят 2, поскольку
, а минимум квадратичной функции
достигается при
; при
только один из двух корней уравнения
не превосходит 2, поскольку
.
Определим значения
, при которых возможны совпадения решений из двух разобранных выше случаев. Имеем:
, откуда
или
. Случай
не рассматривается, поскольку
. Значит,
.
Таким образом, исходная система не имеет решений при
, имеет единственное решение при
;
;
и
, имеет два решения при
;
и
.
Ответ:
;
;
;
.
Содержание критерия
| Баллы
|
Обоснованно получен правильный ответ
|
|
С помощью верного рассуждения получено множество значений , отличающееся от искомого только включением /исключением точек , , и/или
|
|
С помощью верного рассуждения получен один из промежутков множества : или ; возможно, с включением граничных точек
|
|
Верно найдено хотя бы одно из значений : , или ; или получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения
|
|
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
|
|
Максимальный балл
|
|
Воспользуйтесь поиском по сайту: