Дополнение 1. Метод математической индукции
Сформулируем принцип полной индукции.
Если свойство, зависящее от натурального
, во-первых, верно при
и, во-вторых, из предположения, что оно верно при
, следует, что оно верно при
, то считают, что это свойство верно для любого натурального
. Продемонстрируем возможности применения метода математической индукции в процессе доказательства несколько теорем.
Теорема 1д. Если
, то для любого натурального 
.
| (1д)
|
Доказательство. Согласно принципу полной индукции, для того чтобы неравенство (1д) можно было считать верным для всех натуральных
, достаточно проверить, что выполняются следующие два утверждения:
1) неравенство (1д) справедливо для
;
2) если допустить, что для некоторого
неравенство (1д) справедливо, то есть имеет место неравенство
, то оно справедливо и для
, то есть имеет место неравенство
.
Утверждение 1 действительно выполняется, потому что, положив в неравенстве (1д)
, получим неравенство
, верное по условию. Утверждение 2 тоже выполняется, ведь если предположить верным неравенство
, то после умножения его на положительное
число
получим верное неравенство
.
Таким образом, утверждения 1 и 2 выполняются. Но тогда согласно принципу полной индукции неравенство (1д) верно для любого натурального
. Теорема 1д доказана.
Замечание. Доказательство, основанное на принципе индукции, называют доказательством по индукции или доказательством методом математической индукции.
Теорема 2д. Для любого натурального 
.
| (2д)
|
Доказательство. При
равенство (2д) очевидно. Если допустить, что равенство
доказано, то отсюда будет следовать, что
.
Тогда согласно принципу полной индукции равенство (2д) надо считать верным для любого натурального
. Теорема 2д доказана.
Теорема 3д. Если
, то для любого натурального 
.
| (3д)
|
Доказательство. Это утверждение доказывают по индукции следующим образом. При
неравенство (3д) верно, так как по условию
.
Пусть при
равенство (3д) верно, т. е.
.
| (4д)
|
Так как по условию
– положительное число, то и
– положительное число, что было доказано выше. Умножив неравенство
на
и неравенство (4д) на
, получим
и
, откуда следует, что
. Тогда согласно принципу полной индукции неравенство (3д) надо считать верным для любого натурального
. Теорема 3д доказана.
Замечание. Теорема 3д остаётся верной и в случае, если
, так как в силу теорем 1д и 2д при
имеем:
, а
, то есть и в этом случае
.
Теорема 4д. Для любых действительных чисел
и
и для любого натурального числа
справедливо равенство
.
| (5д)
|
Доказательство. Это утверждение докажем по индукции.
При
равенство (5д) верно, поскольку представляет собой известную формулу сокращенного умножения:
.
Пусть при
равенство (5д) верно, то есть
.
| (6д)
|
Умножая левую и правую часть равенства (6д) на
, получаем:
.
| (7д)
|
К левой части равенства (7д) прибавим
, а к правой части прибавим такое же слагаемое, представив его в виде
. В результате простых преобразований окончательно получаем:
.
| (8д)
|
Итак, доказаны 2 утверждения: 1) равенство (5д) справедливо при
,
2) из справедливости равенства (5д) при
следует, что оно верно и при
. В силу принципа математической индукции отсюда следует, что равенство (5д) верно для любого натурального числа
.
Теорема 4д доказана.
Теорема 5д. Если
, то для любого нечётного натурального 
,
| (9д)
|
а для любого чётного натурального 
.
| (10д)
|
Это утверждение докажем отталкиваясь от равенства (5д). Во-первых, отметим, что по условию
, поэтому
, так что первый множитель в правой части равенства (5д) является отрицательным. Во-вторых, так как
, то
. Поэтому




Отсюда следует, что


и значит, второй множитель в правой части равенства (5д) имеет тот же знак, что и
, то есть он положителен при нечётном
и отрицателен при чётном
. Окончательно из равенства (5д) с учетом неравенства
получаем, что при нечётном
и потому
, а при чётном
и, следовательно,
.
Теорема 5д доказана.
[1] Здесь использованы материалы из учебника: Алгебра, 9 / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2001. – 255 с.
Воспользуйтесь поиском по сайту: