Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Задание 6.4. Исследовать сходимость числового ряда




.

Решение. Воспользуемся предельным признаком сравнения.

Сравним данный ряд и ряд , который расходится. , .

. Значит, исследуемый ряд расходится, так же как и ряд .

Задание 6.5. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. . Ряд расходится, т.к.

не выполняется необходимый признак сходимости рядов .

Задание 6.6. Исследовать на сходимость, абсолютную и условную знакочередующийся ряд .

Решение. Данный знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница,

т.к. и . Этот ряд сходится абсолютно, т.к. ряд из абсолютных величин его членов  сходится по признаку Коши, т.к. .

Задание 6.7. Исследовать на сходимость, условную или абсолютную сходимость знакочередующийся ряд .

Решение. Представим данный ряд в виде суммы двух рядов . Для ряда  выполняется

признак Лейбница  и , т.е. ряд сходится. Т.к. ряд , составленный из абсолютных величин ряда , есть гармонический ряд (расходящийся), то ряд  сходится условно. Исходный ряд  как сумма сходящегося условно ряда и расходящегося ряда , расходится.

Задание 6.8. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Для данного степенного ряда вида , , .

Радиус сходимости . Следовательно, ряд сходится в интервале (-3; 3). Исследуем сходимость ряда на концах интервала. Положим сначала x = 3.

Получим числовой ряд , который расходится (сравним с гармоническим рядом ). Возьмем теперь x = -3. Получим знакочередующийся ряд , который сходится условно по признаку Лейбница

 (см. решение примера 6.7.). Таким образом, область сходимости ряда - полуинтервал .

Задание 6.9. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Для данного степенного ряда вида , , , x0 = -2. Определим радиус сходимости ряда . Таким образом, ряд сходится в интервале (x0 - R, x0 + R), т.е. (-2-5;-2+5) или (-7;3). Исследуем сходимость ряда на концах интервала. Возьмем x=3. Получим числовой ряд .

Предел общего члена этого ряда , следовательно, ряд расходится. При x = -7 получим знакочередующийся ряд , для которого не выполняется признак сходимости Лейбница . Значит, и при x = -7 данный степенной ряд расходится. Таким образом, исходный степенной ряд сходится в интервале .

Замечание. Область сходимости степенного ряда можно находить и как для произвольного функционального ряда . В этом примере . По признаку Д'аламбера

. Отсюда . Далее, как и выше, последует сходимость в точках  и .

 

Задание 6.10. Разложить в ряд Тейлора функцию  в окрестности точки . Найти область сходимости полученного ряда.

 

Решение. Искомое разложение можно найти с помощью формулы

 ,

положив в ней  и вычислив значения производных функции  при . Но проще получить разложение, используя известное разложение для функции

,

 в котором ряд справа сходится к функции  в интервале (-1,1).

Представим . Применяя указанное разложение, получим

.

Так как, ряд, который использовали для разложения, сходится для , то данный ряд сходится для , отсюда . Таким образом, полученный степенной ряд является рядом Тейлора функции  в окрестности точки и его областью сходимости является интервал (-6,0).

 

Задание 6.11. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить определенный интеграл  с точностью до 0.001.

Решение. Воспользуемся рядом Маклорена для , тогда .

 Почленно интегрируя этот ряд в промежутке [0;0.5], получим

Полученный числовой ряд есть ряд Лейбница. Погрешность, происходящая от отбрасывания всех членов ряда, начиная с четвертого , поэтому, чтобы достичь требуемой точности достаточно взять три первых слагаемых

 

Задание 6.12. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом  функцию

                              =

 

Решение. Вычислим коэффициенты Фурье:

 

Ряд Фурье для данной функции запишется в виде

 

 

Задание 6.13. Разложить в ряд Фурье функцию  заданную в интервале (0; ), продолжив (доопределив) ее четным и нечетным образом. Построить графики для каждого продолжения.

 

Решение. Продолжим данную функцию четным образом. Тогда:

Найдем неопределенный интеграл  выполнив дважды интегрирование по частям:

Вычислим коэффициенты :

Следовательно, разложение данной функции по косинусам имеет вид:

Теперь продолжим данную функцию нечетным образом. Тогда:

 

 

Следовательно, разложение данной функции по синусам имеет вид:

 

Задание 6.14. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию

                   

Решение. Вычисляем коэффициенты

 

В итоге получаем следующий ряд Фурье:

 

 

Задание 6.15. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию

                                       

на отрезке [0;2] и найти сумму ряда

Решение. Продолжим функцию четным образом и вычислим коэффициенты Фурье:

Следовательно,

Полагая  получаем:

 

Таким образом, с помощью ряда Фурье мы нашли сумму числового ряда.

 

Решение типового варианта

Контрольной работы № 7

Задание 7.1. Для доставки экстренного сообщения отправлены различными маршрутами два курьера. Вероятности своевременной доставки сообщения курьерами равны 0,8 и 0,6 соответственно. Найти вероятности того, что:

а) своевременно успеют оба курьера; б) только один курьер;

в) хотя бы один курьер; г) оба курьера опоздают.

 

Решение. Обозначим через A, B случайные события, наступающие в случаях, когда успевают первый или второй курьеры соответственно, р(А)=0,8, р(В)=0,6. Введем также события: С - успевают оба курьера, D - только один курьер, Е - хотя бы один курьер, F - оба курьера опоздают.

а) Представим событие в виде С=А·В. Применяя теорему умножения вероятностей и учитывая очевидную из условия независимость событий А, В находим

               Р(С) = Р(А · В) = Р(А) · Р(В) = 0,8 · 0,6

б) Согласно условию D=А· + ·В (чертой обозначены противоположные события). По теореме сложения вероятностей с учетом несовместности слагаемых имеем

               Р(D) = P(А· + ·В) = P(А· ) + P( ·В)

 

Вновь применяя теорему умножения при независимых сомножителях находим

P(D) = P(A)·P() + P()·P(B) = P(A) · (1- P(B)) + (1- P(A)) · P(B) =

= 0,8(1-0,6) + (1-0,8) = 0,28.

в) Здесь D = A + B. Слагаемые А, В совместны, поэтому теорема сложения запишется

P(D) = P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A·B) = P(A) + (B) - P(A) · P(B) = 0,8+0,6-0,8·0,6 = 0,92.

г) По условию F = · , откуда P(F) = P( · ) = P() · P() = (1-P(A))(1-P(B)) =0,2 · 0,4 = 0,08.

Заметим также, что события D + F является достоверным, поэтому P(D + F) = 1. Поскольку D, F несовместны, то P(D + F) = P(D) + P(F), откуда можно также найти вероятность P(F) = 1- P(D) = 0,08.

 

Задание 7.2.  На сборку телевизоров поступают однотипные кинескопы от двух заводов, поставляющих соответственно 60% и 40% кинескопов. Вероятность для кинескопа оказаться нестандартным равна: 0,1 - на первом заводе, 0,2 - на втором. Найти вероятность того, что: 

а) очередной на сборке кинескоп будет нестандартным;

б) оказавшийся нестандартным кинескоп изготовлен вторым заводом.

 

Решение. Обозначим через Нi (i = 1,2) гипотезу - кинескоп изготовлен i-тым заводом. Очевидно, что Н1, Н2 несовместны и Н1 + Н2 = I - достоверное событие. Из условия видно также, что Р(Н1) = 0,6, Р(Н2) = 0,4. Обозначим через А событие: очередной кинескоп окажется нестандартным.

а) По формуле полной вероятности имеем: Р(А) = Р(А / Н1) · Р(Н1) + Р(А / Н2) · Р(Н2).

Согласно условию Р(А / Н1) = 0,1, Р(А / Н2) = 0,2,

поэтому  Р(А) = 0,1·0,6 + 0,2·0,4 = 0,14.                             

б) Для вычисления искомой вероятности Р(Н2 / А) используем формулу Байеса

 

                  

 

Задание 7.3. Построить ряд распределения, функцию распределения и её график, и найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х - числа наступлений случайного события А в указанный ниже серии независимых испытаний:

поступила партия из 3 изделий, каждое из которых может оказаться бракованным (событие А, Р(А) = 0,4).

 

Решение. Случайная величина (СВ)Х - число бракованных изделий - может принимать значения 0, 1, 2, 3. Вероятности этих значений вычисляются по формуле Бернулли при р = 0,4, q = 1- 0,4 = 0,6.

,           ,

,             

Ряд распределения СВ Х имеет вид:

        

x i   0   1   2   3
pi 0,216 0,432 0,288 0,064

 

Функция распределения по определению равна F(x) = P(X < x) и запишется:

 

                        

 

График показан на рисунке.

                                                                                                 

                                    F(x)

 

                            1                                                                        


                         0,8


                         0,6

 

             0,4      

 

             0,2 

                                                                                                                        x

                                                                                                                

                                               1         2        3

 

Вычисляем математическое ожидание и дисперсию:

D[ x ] = 2,16 - (1,2)2 = 0,72.

 

Задание 7.4. По заданной функции распределения F(x) CB X найти плотность распределения и построить её график. Вычислить вероятность Р(а ≤ Х ≤ в) попадания значения СВ в заданный интервал, математическое ожидание и дисперсию.

                                 

а = -3;        в = 5.

 

Решение. Плотность распределения определяется по формуле

                           

и показана на рисунке

 

                                f (x)     

 

 

                            0,75

      


 

                                                                                                                    

                                   0         2                         6                  x

 

Искомая вероятность равна:

Математическое ожидание и дисперсия запишутся:

 

Задание 7.5. Найти вероятность попадания в заданный интервал значения нормаль-

ного распределённой СВ Х, если известно её математическое ожидание М[ x ] и дис-

персия D[x]. 

                      M[ x ] = 4;      D[ x ] = 25;      a = -7;        в = 9.         

 

Решение. Искомая вероятность вычисляется по формуле

          

Среднеквадратическое отклонение  поэтому

Здесь учтена нечётность вспомогательной функции

Берём её значение из таблицы: Ф(1) =         , Ф(2,2) =         ,

откуда Р =        .

 

Задание 7.6. В партии из n деталей каждая может оказаться стандартной с вероятностью р. С помощью локальной и интегральной формул Муавра-Лапласа вычислить вероятность того, что число стандартных деталей в партии будет:

а) равно m; б) заключено между m 1 и m 2.

p =0,4; n = 350; m = 146;  m 1 = 135; m 2 = 152.

 

Решение. а) Искомая вероятность при n >> 1, np >> 1 вычисляется по локальной формуле (q = 1 - p)       

где вспомогательная функция имеет вид: .

Для х = 0,66 имеем после вычислений р1 = 0,03.

 

б) Вероятность вычисляется с помощью интегральной формулы

откуда с помощью таблицы для Ф(х) и имеем Р2 =            +            =

 

Задание 7.7. Двумерная случайная величина (X,Y) имеет плотность распределения

        

Найти вероятность попаданий значения (X,Y) в область х 1хх 2, y 1yy 2, вероятность попадания значения Х в интервал х 1хх 2, математическое ожидание

М[ x ] и условное математическое ожидание M[Y/X = x ].

a = 2,  в = 5, х 1 = 1,  х 2 = 9, у 1 = - 4,  у 2 = 3.              

 

Решение. Найдём вероятность попадания в область S(х 1хх 2, y 1yy 2) по формуле Р(х 1 ≤ X ≤ х 2, y 1 ≤ Y ≤ y 2) =  

При вычислении интеграла учитывается та часть области S, где f ≠ 0,

т.е. 1 ≤ х ≤ 2, 0 ≤ у ≤ 3:

Плотность вероятности для составляющей Х имеет вид: .

Если х < 0 или х > 2, то f (x, y) = 0 и f 1(x) = 0. При 0 ≤ х ≤ 2 находим

                             

Таким образом плотность имеет вид:  

                                                    (1)

Тогда

 

Условное математическое ожидание М[Y/X = x ] определяется с помощью услов-ной плотности распределения f 2(y / x) составляющей Y (т.е. плотности СВ Y при условии, что СВ Х приняла известное значение х):

                                                                                (2)

Согласно (1) СВ Х может принимать лишь значения 0 ≤ х ≤ 2, поэтому из (2), (1) и условия задачи получаем  

                       

Искомое математическое ожидание равно

     (3)

Полученная зависимость называется уравнением регрессии Y на Х.

 

Задание 7.8. СВ Х имеет плотность распределения. Для СВ Y = φ(Х) найти её плотность распределения g (y), вероятность P(а ≤ Y ≤ в), математическое ожидание

M[Y] и дисперсию D[Y].

 

 

Решение. Плотность распределения СВ Y = φ(x) даётся формулой

 

                             g (y) = f (ψ(y))/ψ'(y)/                                                       (1)

 

где х = ψ(у) - функция, обратная к у = φ(х). В данном случае у = φ(х) = 2 х - 3,

х = ψ(у) = (у + 3)/2. Согласно и условию задачи находим

                

Остальные величины можно вычислить с помощью  g (y) или непосредственно через f (x) по формулам

 

 

 

Задание 7.9. Задана матрица перехода системы из состояния i (i = 1, 2) в состояние j (j = 1, 2) за один шаг:

                                               

Найти матрицу перехода из состояния i в состояние j за два шага.

               а = 0,3, в = 0,7, с = 0,8, d = 0,2

 

Решение. Заданная матрица имеет вид:

 

Матрица перехода ij за n шагов равна Аn и для n = 2 запишется

                 

                     

 

Решение типового варианта

Контрольной работы №8.

 

Задача 8.1.

 

Из генеральной совокупности извлечена выборка, представленная в виде статистического ряда (в первой строке указаны выборочные значения xi, во второй - соответствующие им частоты ni). Требуется вычислить выборочное среднее , выборочную дисперсию Dв, исправленную выборочную дисперсию S2 и среднеквадратическое отклонение S, эмпирическую функцию распределения.

 

xi 2 3 5 6 8 9 10
ni 4 10 21 30 20 10 5

  

Решение. Объём выборки равен . Выборочные среднее и дисперсия вычисляются по формулам

Исправленная выборочная дисперсия равна

Тогда "исправленное" выборочное среднеквадратическое отклонение будет

Согласно определению эмпирической функции распределения её значение при лю-бом x равно F*(x) = nx⁄100, где nx - количество элементов xi выборки, меньших, чем x. Например, при x=-1.3 имеем nx= 0, F*(-1.3) = 0; при x = 2.7 nx=4, F*(2.7)=4/100=0.04; при x=3.2 nx=4+10=14, F*(3.2)=0.14; при x =5.8 nx=4+10+21=35, F*(5.8)=0.35 и т.д. Тогда

     

Задача 8.2.

 

  По заданным выборочному среднему  и исправленному среднеквадратическому отклонению s найти с доверительной вероятностью g доверительный интервал для математического ожидания M [Х] нормально распределённой СВ X, если: а) s[X] известно (принять s[X]=s); б) s[X] неизвестно. Построить доверительный интервал для s[X]. Число степеней свободы принять равным трём.

=24.3; s =8.2; n = 150; g =0.95.

   

  Решение. а) В случае, когда среднеквадратическое отклонение (СКО) известно

(s [X]=8.2), доверительный интервал для математического ожидания можно запи-сать

где корень уравнения Φ(t) = g/2 = 0.475 отыскивается из таблицы значений функ-ции Лапласа

и равен t = 1.96. Вычисляя величину

находим доверительный интервал (22.98; 25.62).

б) Если СКО неизвестно, в качестве его оценки принимается значение s (s [X] ≈ s), причём значение t определяется из таблицы распределения Стьюдента при g = 0.95 и числе степеней свободы, равном 3 (t=3.18). Тогда доверительный интервал  имеет вид (22.17; 26.43).

  Доверительный интервал для s [X] запишется

s(1- q) < s [X] < (1 + q)

где q определяется из таблицы q = q(p, n) и для доверительной вероятности g = =0.95 и объёма выборки n=150 равно q = 0. 115. Поэтому границы интервала принимают вид

s(1-q) = 8.2(1-0.115) = 7.26, s(1+q) = 8.2(1+0.115) = 9.15,

т.е., 7.26 < s [X] < 9.15.

 

Задача 8.3.

 

 1.Выборку значений СВ Х, указанную в условии задачи 8.1 сгруппировать, разбивая отрезок [a,b] (а = min хi; b = max хi) на 5 интервалов  с границами

и подсчитать частоты интервалов.

2. Предполагая, что Х распределена по нормальному закону и принимая в качестве параметров М[X], s[X] их оценки , s  вычислить теоретические частоты интерва-лов.

3. С помощью критерия согласия Пирсона при уровне значимости α =0.1 проверить, согласуются ли выборочные данные с гипотезой о нормальном распределении величины Х. Число степеней свободы принять равным трём.

Решение. 1. Из статистического ряда задачи 8.1видно, что а=min xi = 2, в = max xi = =10, поэтому (в-а)/5=1.6 и границы интервалов будут ξ0 = 2, ξ1 = 2+1.6=3.6, ξ2 = =3.6+1.6=5.2, ξ3 = 5.2+1.6=6.8, ξ4 = 6.8+1.6= 8.4, ξ5 = 8.4+1.6=10.

Эмпирическая частота rj  интервала   (j =0,..,4) подсчитывается с помощью ряда как число наблюдений, попавших в интервал, отнесённое к объёму выборки n. Так, в первый (j =0) интервал [2;3.6] попало 4+10=14 значений, поэтому r0 = = 14/100 =0.14. Aналогично, r1= 0.21, r2=0.3, r3=0.2, r4=0.15.

2. Примем в качестве параметров нормального распределения Х вычисленные в задаче8.1 значения точечных оценок

M[X] = = 6.23, s[X] = s = 2.06

Теоретические частоты  интервалов  (j =0,1,..,4) являются вероятностями

С помощью таблиц интеграла Лапласа находим

3. Вычисляем значение

По таблице распределения χ2 Пирсона для доверительной вероятности g = 1-α = 0.9 и числа степеней свободы n = 3 находим значение . Поскольку  гипотезу о нормальном распределении СВ Х  следует считать не противоречащей выборочным данным.

 

Задание 8.4.

По заданной корреляционной таблице найти выборочные средние  среднеквадратические отклонения sΧ, sΥ, коэффициент корреляции ρΧΥ и уравнение линейной регрессии Y на X. Вычислить условные средние  по дан-ным таблицы и найти наибольшее их отклонение от значений, вычисляемых из уравнения регрессии.

 

     Y X 0 2 4 6 8 nX
1 3         3
3 2 3 5     10
5   9 8     17
7     2 6   8
9       4 1 5
11         7 7
nY   5 12 15 10 8 50

 

Решение. Вычислим выборочные средние и среднеквадратические отклонения для X,Y

Выборочный коэффициент корреляции между Х и У отыскивается по формуле

 

Согласно таблице

откуда

    

Выборочное линейное уравнение регрессии У на Х имеет вид

или, с учётом вычисленных значений,

 

                                                                                          (1)

Условное среднее при x = xi вычисляется по формуле

где - число выборочных значений yj , наблюдавшихся при данном x i. Согласно данным из таблицы находим

2)  

Значения условных средних , отыскиваемые по уравнению регрессии (1):


Отклонения значений (2), (3) будут

d1 = 0-0.45=-0.45; d2 = 2.6- 1.96 = 0.65; d3 = -0.51, d4 = 0.55; d5 = -0.05;

d6 = 0.05.

 

Наибольшее по абсолютной величине отклонение равно 0.65.

 

 

С о д е р ж а н и е

 

1.

Контрольные работы.....................................

 
  1.1. Правила оформления контрольных работ.................... 3
  1.2. Выбор варианта контрольной работы........................ 3
  1.3. Задания контрольных работ.................................  
 

К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 5..............................

4
 

К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 6..............................

18
 

К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 7..............................

37
 

К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 8..............................

59
2.

Примеры решения задач контрольных работ.......

 
  2.1. Решение типового варианта контрольной работы № 1......... 75
  2.2. Решение типового варианта контрольной работы № 2......... 85
  2.3. Решение типового варианта контрольной работы № 3......... 96
  2.4. Решение типового варианта контрольной работы № 4......... 105

 

Учебное издание

 

Высшая математика

 

Программа, методические указания и контрольные задания

для студентов-заочников инженерных и

инженерно-экономических специальностей

приборостроительного факультета

 

В 2-х частях

 

Ч а с т ь II

 

Составители: ИБРАГИМОВ Владислав Ахмедович

СТРЕЛЬЦОВ Сергей Викторович

МЕЛЕШКО Алексей Николаевич

БОКУТЬ Людмила Валентиновна

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...