 |
методами линейного программирования
|
|
|
|
Запишите экономико-математическую модель для следующих задач.
1. Известно, что содержание трех питательных веществ А, В и С в рационе должно быть не менее 80, 60 и 30 единиц соответственно. Указанные питательные вещества содержат три вида продуктов. Содержание единиц питательных веществ в одном килограмме каждого из видов продуктов приведено в таблице.
| Питательные вещества | Количество единиц питательных веществ | ||
| I | II | III | |
| А | |||
| В | |||
| С | |||
| Цена 1 кг продукта |
Определите дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ, при минимальных денежных затратах.
2. Торговое предприятие реализует 4 группы товаров (А, В, С и D). Нормы затрат ресурсов на каждый тип товаров, лимиты ресурсов, а также доход на единицу каждой продукции заданы в таблице. Определить плановый объем продаж и структуру товарооборота так, чтобы доход торгового предприятия был максимален.
| Виды ресурсов | Норма затрат ресурсов на 1 ед. товара | Лимит ресурсов | |||
| Группа А | Группа В | Группа С | Группа D | ||
| Рабочее время продавцов, чел.-час. | 0,2 | 1,2 | 0,8 | ||
| Площадь торговых залов, м2 | 0,5 | 0,2 | 0,1 | 0,05 | |
| Площадь складских помещений, м2 | 0,5 | ||||
| Накладные расходы, руб. | |||||
| Доход на ед. продукции, руб. |
3. Предприятие может работать по пяти технологическим процессам (Т1, Т2, Т3, Т4 и Т5), причем количество единиц выпускаемой продукции по разным технологическим процессам за 1 ед. времени соответственно равно 300, 260, 320, 400 и 450 шт. В процессе производства учитываются следующие факторы: сырье, электроэнергия, зарплата и накладные расходы. Затрать! соответствующих факторов при работе по разным технологическим процессам в течение 1 ед. времени указаны в нижеследующей таблице.
|
|
|
| Производственные факторы | Затраты при различных технологиях | Лимит | ||||
| Т1 | Т2 | Т3 | Т4 | Т5 | ||
| Сырье | ||||||
| Электроэнергия | 0,2 | 0,3 | 0,25 | 0,15 | 0,25 | |
| Оплата труда | 16 000 | |||||
| Накладные расходы | 10 000 |
Найти программу максимального выпуска продукции.
4. Ресторан "Охотник" обслуживает обедами близлежащие коммерческие предприятия, приготавливая первые и вторые блюда.
Известны затраты на производство, доставку, накладные расходы производства и товарооборот для каждого блюда, см. таблицу. Плановый фонд ресурсов следующий: затраты на производство не должны превышать 850 чел.-час; на доставку потребителям – 1200 чел.-час; накладные расходы должны быть не более 2100 руб. и план товарооборота 5800 руб. Известна также доля дохода от каждого блюда.
Требуется найти, какое количество каждого вида блюд надо выпускать при заданных ограничениях, чтобы обеспечить максимум дохода ресторана.
| Ресурсы | Нормы затрат ресурсов на 100 блюд | ||||
| 1-е блюдо | 2-е мясное | 2-е рыбное | 2-е овощное | прочее | |
| Затраты труда на производство, чел.-час | 3,4 | 2,6 | |||
| Затраты труда на доставку, чел.-час | 2,1 | 5,2 | 5,1 | 2,8 | |
| Накладные расходы, руб. | 6,4 | 8,5 | 8,4 | 6,1 | |
| Товарооборот, руб. | |||||
| Доход, руб. | 1,5 | 3,0 | 5,4 | 0,8 | 1,2 |
5. Издательский дом "ОНИКС" издает три журнала: "Сделай сам", "Дом в деревне" и "Садовник", которые печатаются в трех типографиях: "Типография № 1", "Полиграф" и "АПН", где общее количество часов, отведенное для печати, и производительность печати одной тысячи экземпляров ограничены и представлены в таблице.
Спрос на журнал "Сделай сам" составляет 15 тыс. экз., на "Дом в деревне" – 8,5 тыс. экз., а на журнал "Садовник" – не более 18 тыс. экз. в месяц.
|
|
|
| Определите оптимальное количество издаваемых журналов, которые обеспечат максимальную выручку от продажи. Типография | Время печати 1000 экз. | Ресурс времени, отведенный типографией, час | ||
| "Сделай сам" | "Дом в деревне" | "Садовник " | ||
| Типография № 1 | ||||
| Полиграф | ||||
| АПН | ||||
| Оптовая цена, руб./шт. |
6. Для выпуска четырех видов продукции требуются затраты сырья, рабочего времени и оборудования. Исходные данные приведены в таблице.
| Тип ресурсов | Нормы затрат ресурсов на единицу продукции | Наличие ресурсов | |||
| Сырье, кг | |||||
| Рабочее время, час | |||||
| Оборудование, ед. | |||||
| Прибыль на единицу продукции, руб. |
Необходимо определить, сколько каждого вида продукции следует выпустить, чтобы общая стоимость выпускаемой продукции была максимальной.
7. Отделение налоговой инспекции хочет обновить компьютеры для своей работы. Для этого выделяются финансовые ресурсы на покупку компьютеров в размере 90 тыс. усл. ед. и увеличиваются площади для их размещения до 210 м2. Фирма "Компьютер" предлагает 4 варианта сборки компьютерного оборудования, имеющие разные стоимости, занимаемые площади и производительности (см. таблицу).
Известно, что в штате отделения работает 40 чел. и что компьютеров сборки по варианту 3 надо не более 15.
| Варианты компьютерного оборудования | ||||
| Стоимость | 12 000 | 16 000 | 24 000 | 18 000 |
| Занимаемая площадь | 0,9 | 1.1 | 0,95 | 1,2 |
| Производительность, усл. ед. |
Составить план закупки оборудования у фирмы "Компьютер" с целью максимизации производительности производственного процесса.
8. Фирма производит три вида красок: только для внутренних (В), только для наружных (Н) работ и стандартную (С) как для внешних, так и для внутренних работ. Для изготовления красок используют исходные продукты: пигмент и олифу. Расходы исходных продуктов и максимальные суточные запасы приведены в таблице.
| Исходный продукт | Расход исходных продуктов на 1 т краски | Суточный запас, т | ||
| Краска II | Краска В | Краска С | ||
| Пигмент | 2 | |||
| Олифа |
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску для внутренних работ никогда не превышает 4 ц в сутки. Цена продажи 1 ц краски для наружных работ – 30 ден. ед., для внутренних работ – 40 ден. ед., а стандартной – 35 ден. ед.
|
|
|
Какое количество краски каждого вида должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
9. Животноводческое хозяйство имеет возможность покупать от одного до четырех различных видов зерна и готовить различные виды смесей (комбикормов) для кормления животных. Различные зерновые культуры содержат разное количество питательных компонентов (ингредиентов). Допустим, что принимаются в расчет четыре компонента, данные по которым приведены в таблице. Управляющему хозяйством надо определить, какая из всех возможных смесей является самой дешевой при соблюдении минимальных требований с точки зрения ее питательности, т.е. минимизировать затраты с целью получения оптимального составления комбикормов.
| Ингредиенты | Единица веса зерна | Минимальные потребности на тонируемый период | ||
| А | ||||
| В | ||||
| С | 3. | |||
| D | 0,6 | 0,25 | ||
| Стоимость ед. веса, ден. ед. |
10. Хладокомбинат производит три типа мороженого "Эскимо", "Фунтик" и "Пломбир". Для производства 1 т "Эскимо" требуется 0,2 ч работы оборудования, для мороженого "Фунтик" – 0,3 ч, а для мороженого "Пломбир" – 0,25 ч. Расход специального ингредиента на них составляет 0,02 т, 0,03 т и 0,04 т на 1 т соответственно. Ежедневно в распоряжении комбината – 16 т специального ингредиента и 24 ч работы оборудования. Доход от продажи 1 т мороженого "Эскимо" составляет 2,5 тыс. руб., мороженого "Фунтик" – 3,5 тыс. руб., а мороженого "Пломбир" – 3,1 тыс. руб.
Определите ежедневный план производства мороженого каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от их продажи.
|
|
|
11. По предписанию врача пациенту необходимо перейти на диету и за сезон употребить определенное количество питательных веществ, содержащихся в фруктах (см. таблицу).
| Вещества | Содержание питательных веществ | Нормы потребления, г | ||
| Яблоки | Смородина | Клубника | ||
| Р1 | 2 | |||
| Р2 | 2 | |||
| Рз | ||||
| Р4 | ||||
| Р5 | ||||
| Цена, руб. за 1 кг |
Определите, какое количество фруктов каждого вида необходимо купить за сезон, чтобы выполнить предписание врача.
12. Магазин "Стройматериалы" завозит на пилораму доски толщиной 20 мм, шириной 100 мм и длиной 6,5 м – 200 шт. и длиной 4 м – 50 шт. и заказывает изготовить комплекты из трех элементов: две вагонки длиной 2 м и одна вагонка длиной 1,25 м.
Рассчитайте, как распилить доски, чтобы изготовить, а затем продать максимальное количество комплектов.
13. Бумажная фабрика обладает запасами сухого сырья и наполнителя для производства пяти типов бумаги. Размеры запасов каждой группы сырья, нормативы его расхода на каждый тип бумага и прибыль от реализации 1 т каждого типа бумаги заданы в таблице.
| Тип сырья | Тин бумаги | Запасы сухого сырья и наполнителя, тыс. т | ||||
| Типографская | Газетная | Обойная | Пачечная | Оберточная | ||
| Целлюлоза | 0,33 | 0,27 | 0,24 | 0,17 | 0,21 | |
| Древесная масса | 0,62 | 0,79 | 0,64 | 0,78 | 0,70 | |
| Макулатура | – | – | 0.10 | 0,07 | 0,09 | 0,4 |
| Каолин | 0,73 | – | 0,09 | 0,11 | 0,08 | |
| Прибыль за 1 т, руб. |
Определить размеры годовой выработки каждого типа бумага, обеспечивающие максимальную общую прибыль от ее реализации при условии, что планом предусмотрен обязательный выпуск не менее, чем 8000 т газетной бумаги и 3000 т обойной бумаги.
14. Составьте дешевый вариант 1 т кормовой смеси в соответствии с требованиями, представленными в таблице:
| Питательные вещества | Содержание вещества, % | Содержание питательных веществ, т | |||
| Люцерновая мука | Сухая барда | Рыбная мука | Соевый шрот | ||
| Белок | Не менее 35 | ||||
| Жиры | Не менее 1,5 | 0,5 | |||
| Клетчатка | Не более 8 | 6,5 | |||
| Вес, т | |||||
| Стоимость 1 т, руб. |
15. Нефтеперерабатывающий завод "НЕФТЬ" получает 4 полуфабриката: 400 тыс. л алкилата, 250 тыс. л крекинг-бензина, 350 тыс. л бензина прямой перегонки и 100 тыс. л изопентана. В результате смешивания этих четырех компонентов в разных пропорциях образуются три сорта авиационного бензина: бензин А (2: 3: 5: 2), бензин В (3: 1: 2: 1) и бензин С (2: 2: 1: 3). Стоимость 1 тыс. л бензина каждого сорта равна соответственно 12 000 руб., 10 000 руб. и 15 000 руб.
А. Определить соотношение компонентов, при котором будет достигнута максимальная стоимость всей продукции.
|
|
|
Б. Определить оптимальное соотношение, исходя из условия максимального использования компонентов.
16. Для выпуска четырех видов продукции требуются затраты сырья, рабочего времени и оборудования. Исходные данные приведены в таблице.
| Тип ресурсов | Нормы затрат ресурсов на единицу продукции | Наличие ресурсов | |||
| Сырье | |||||
| Рабочее время | |||||
| Оборудование | |||||
| Прибыль на единицу продукции |
Необходимо определить, сколько каждого вида продукции следует выпустить, чтобы общая прибыль выпускаемой продукции была максимальной.
17. На предприятие поступили две партии фанеры, причем первая партия содержит 400 листов, а вторая – 250 листов фанеры.
Из них изготавливаются комплекты, включающие: 4 детали 1-го типа, 3 детали 2-го типа и 2 детали 3-го типа. Один лист фанеры каждой партии может раскраиваться тремя способами: R1, R2 и R3. Количество деталей каждого типа, которое получается при раскрое одного листа по тому или иному способу, представлено в таблице.
| Тип детали | Количество деталей, шт. | |||||
| Первая партия | Вторая партия | |||||
| R1 | R2 | R3 | R1 | R2 | R3 | |
Требуется раскроить материал так, чтобы обеспечить изготовление максимального числа комплектов.
18. Для изготовления сплава из свинца, цинка, олова определенного состава используется сырье в виде пяти сплавов из тех же металлов, отличающихся составом и стоимостью 1 кг (см. таблицу).
| Тип сплава | Содержание металла, % | Удельная стоимость, руб./кг | ||
| Свинец | Цинк | Олово | ||
A. Определить, какое количество сплава каждого вида нужно взять, чтобы изготовить при минимальной себестоимости сплав, содержащий 20% свинца, 30% цинка и 50% олова?
Б. Решить ту же задачу при следующих ограничениях на состав сплава: содержание олова – от 40% до 60% и цинка – от 20% до 3О %.
B. Решить ту же задачу при следующих ограничениях на состав сплава: содержание олова – не более 40% и цинка – не менее 20%.
19. Детали А, В и С можно обрабатывать на трех станках (I, II, III). В таблице указаны нормы затрат времени на обработку станком соответствующей детали, стоимость 1 ч работы и предельное время работы станка.
| Станки | Норма времени обработки | Стоимость 1 ч, руб. | Время работы станка, час | ||
| А | В | С | |||
| I | 0,3 | 0.1 | 0,2 | ||
| II | 0,5 | 0,2 | 0,4 | ||
| III | 0,4 | 0,5 | 0,3 |
Предполагая, что любая деталь может обрабатываться на любом из станков, определить оптимальную производственную программу по одному из следующих критериев:
1) максимум товарной продукции (Т);
2) максимум суммарной прибыли (П);
3) минимум суммарных затрат на обработку при плане выпуска деталей А – 300 шт., В – 500 шт., С – 100 шт.;
4) максимум числа комплектов, включающих 3 детали А, 2 детали В и 1 деталь С;
5) максимум прибыли при заданном ассортименте 3:2: 1;
6) максимум прибыли при заданном количестве деталей: А- – 200 шт., В – 400 шт., С – 600 шт.;
7) максимум загрузки станков при заданном ассортименте 3:2:1;
8) максимальное число деталей А, В, С при одинаковом времени работы всех станков;
9) максимум прибыли при условии, что каждый станок обрабатывает только одну деталь и по плану предусмотрен выпуск всех трех деталей;
10) максимум суммарной производительности при условиях п. 9 и одинаковом времени работы всех станков.
20. Используя данные таблицы и предполагая, что каждая деталь последовательно обрабатывается на каждом станке, составить производственную программу по одному из следующих критериев:
1) максимум прибыли;
2) максимум товарной продукции;
3) максимум прибыли при условии, что деталей А – не менее 300 шт., деталей В – не более 200 шт.;
4) максимум товарной продукции при заданном ассортименте 3:2:1;
5) минимум суммарных затрат на обработку при заданном ассортименте 1:2:3.
| Станки | Норма времени обработки | Стоимость 1 ч, руб. | Время работы станка, час | ||
| А | В | С | |||
| I | 0,3 | 0,3 | 0,2 | ||
| II | 0,5 | 0,2 | 0,4 | ||
| III | 0,4 | 0,4 | 0,3 |
|
|
|
