 |
Тема 3. Классы и множества. Логические отношения между
|
|
|
|
Тема 1. Основы классической логики
Занятие 1
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Определите объем и содержание понятий:
a) Город на Неве.
b) Северный ветер.
c) Завтрашний день.
d) Паводок.
e) Река.
f) Николо-Богоявленский морской собор в г. Москве.
3. Определите виды понятий:
a) Третьяковская галерея.
b) Город.
c) Город Зеленоград.
d) Храм «Спас на Крови».
e) Храмы Санкт-Петербурга.
f) Храм Христа Спасителя в г. Москве.
g) Морской бриз.
На дом
a) Кащей Бессмертный.
b) Петр Первый.
c) Памятник архитектуры.
d) Купидон.
e) Гордыня.
4. Собирательными или разделительными являются выделенные
понятия?
a) Парламент принял указ об амнистии. Парламент обладает
законодательной функцией.
b) Народ проголосовал за Конституцию. Народы хотят мира.
c) Институт принял участие в Международном конкурсе. Институт
– высшее учебное заведение.
d) Пролетариат борется против буржуазии. Пролетарии всех стран,
соединяйтесь!
e) Хищные животные в ярости страшны для человека. Хищным
животным необходимо движение.
На дом
a) Вся группа сдала зачет. Группа приняла участие в конференции.
b) Преступный элемент – правонарушитель. Всех преступников
поймали.
5. Какие из приведенных ниже предложений являются суждениями?
a) «Пусть сильнее грянет буря!» (Лермонтов М. Ю.).
b) «Который час?»
c) Современному человеку необходимо умение пользоваться современными средствами связи.
d) Переходить улицу надо на зеленый свет светофора.
e) Курение опасно для здоровья.
На дом
a) «Какой русский не любит быстрой езды? (Гоголь Н. В.).
b) Метрополитен является источником повышенной опасности для
человека.
c) Граждане, выполняйте правила пользования метрополитеном!
|
|
|
6. Определите виды суждений, проанализируйте структуру, запишите
формулы. Выразите все простые суждения в виде категорических суждений:
a) Люди живут во всех климатических зонах.
b) В России крепостное право отменили в 1861 году.
c) У планеты Марс два естественных спутника.
d) Все нотариусы – юристы.
e) Не все Золушки становятся принцессами.
f)Осенью всегда идут дожди, а иногда и мокрый снег.
g) Распоряжения городской администрации издаются за подписью
главы администрации либо одного из его заместителей.
h) Будда, Христос, Магомед – основоположники мировых религий.
i) Если гражданин достиг 18-летнего возраста, то он становится
совершеннолетним, а если у него нет попечителей или опекунов – то он является дееспособным.
На дом
a) Миф – это больше чем сказка.
b) Ни одна кошка не умеет лаять.
c) Зима всегда холоднее лета.
d) Гладкошерстные собаки и кошки существуют.
e) Реки Ока и Кама восточнее Дублина.
Занятие 2
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Даны три предпосылки: если целое число оканчивается на 0 или на
4, то оно делится на 2; данное число делится на 2; данное число не оканчивается на 0. Вытекает ли из них логическое следствие о том, что число оканчивается 4?
3. Сделайте умозаключения из суждений:
a) Все деревья не являются травой. Всякая трава – растение.
b) Глина – это жидкость или газ. Но глина – не газ.
c) Страсти – это средневековая драматическая форма, навязанная
евангельскими текстами. У каждого человека есть страсти.
d) У всех носорогов на носу есть один или два рога. У всех носорогов
есть хвост.
e) Все планеты обращаются вокруг Солнца. Земля обращается вокруг
Солнца.
f) Некоторые люди обладают способностью к быстрому счету.
Некоторые люди – математики.
g) Преображенский полк участвовал в битве при Бородино. N состоял
в Преображенском полку.
|
|
|
h) Ртуть – жидкость. Ртуть – металл.
i) Работа, в которой нет новых идей, не может получить премию на
конкурсе. Эта работа получила премию.
На дом
a) Во всех городах за Полярным кругом бывают белые ночи.
Петербург не находится за Полярным кругом.
b) Позитрон имеет положительный заряд. Позитрон – элементарная
частица.
c) Интерес к логике облегчает ее изучение. Андрей интересуется
логикой.
4. Проверьте, являются ли приведенные ниже категорические
силлогизмы правильными, а заключение - истинным суждением:
a) Все моржи ластоногие.
Это животное ластоногое.
Это животное — морж,
b) Все полезные ископаемые — природные богатства.
Гранит — полезное ископаемое..
Гранит — природное богатство.
c) Все металлы тяжелее воды.
Натрий — металл..
Натрий — тяжелее воды.
На дом
Материя — вечна.
Ситец — материя.
Ситец — вечен.
5. Определите вид умозаключения:
a) Все, что способствует эффективному обучению детей, полезно.
Новаторство способствует эффективному обучению детей.
Новые методы обучения — новаторство.
Метод российского педагога Шаталова - новый метод обучения.
Метод российского педагога Шаталова полезен.
b) Крупные акулы опасны для человека.
Гигантская акула размером до 20 м — крупная акула.
Гигантская акула опасна для человека.
c) Все опасное для человека может принести человеку вред.
Гигантская акула опасна для человека..
Гигантская акула может принести человеку вред.
d) Если прилетели перелетные птицы, то весна наступила.
Перелетные птицы не прилетели..
Весна не наступила.
e) Если магнит нагреть, то он размагнитится.
Магнит размагнитился..
Магнит нагрели.
На дом
a) Все, что способствует прогрессу человечества, необходимо.
Образование способствует прогрессу общества.
Значит, образование необходимо.
Профессиональное образование вид образования.,
Профессиональное образование необходимо.
b) Если наступает наводнение, то уровень воды поднимается.
Если уровень воды подминается, то это может привести к
затоплению домов..
Если наступает наводнение, то это может привести к затоплению домов.
c) Если цветок кактус, то, как и все цветы, он чутко откликается на любовь человека.
Этот цветок — кактус..
Этот цветок чутко откликается на любовь человека.
|
|
|
6. Определите вид индукции (полная; неполная; популярная, через
анализ и отбор фактов; научная; математическая):
a) Все свидетели ошибаются. Все врачи ошибаются.
b) Хорошая организация дела - половина успеха.
c) «Сейчас полиция обходит дом за домом в надежде найти этого
человека или хотя бы место, где он жил» (Д. Чейз).
На дом
a) На основании определенного вида индукции судят о средней
урожайности поля, всхожести семян, составе найденных полезных ископаемых, больших партий товаров(например, консервов).
b) «-Видите ли, Джон, во все времена и у всех народов талант и
усердие всегда поощрялись» (П. Чейни).
7. Проанализируйте отрывки из детективных произведений Д. Чейза.
Найдите в каждом из приведенных текстов тезис и аргументы, объясните
прямой или косвенный способ доказательства использовали действующие
лица.
a) «Его сердечность радовала: большинство моих так называемых
друзей старались поскорее отделаться от меня, когда я заглядывал к ним, но Маршалл был славный малый, мы всегда с ним ладили».
b) «Так он приобрел здесь землю?» — «Да. Он купил Восточный Берег,
который раньше принадлежал Айре Кренли. Мальру практически все там перестроил. Место удивительное: свой причал, свой пляж, свой бассейн — все свое».
c) Я полагал, что благодаря магнитофонным пленкам я в безопасности,
но О'Рейли вынудил меня отдать их. Теперь у меня нет никаких доказательств, подтверждающих мои слова».
d) «— Мы все оставляем пальто в прихожей. Пока Эллис зубрит
учебник у себя в номере, вы забираете ее шляпу и пальто и прячете их. Вы заявляете старикам, что Элис куда-то ушла. Доказательство — ее шляпа и пальто исчезли. Позже вы вешаете их на прежнее место. Мисс Пирсон и майор Харди решат, что она вернулась. Все крайне просто».
e) «Я практически знаю, кто убил Элис, хотя у меня нет доказательств.
Истон и Шериф далеки от истины, в моих руках козырь. Если я быстро соберу доказательства, премия — моя».
f) «— Ты знаешь, кто он?
— Догадываюсь; надо только собрать доказательства, и я сделаю
|
|
|
это».
На дом
a) «Прямыми доказательствами я не располагаю, но у меня есть
косвенные улики, которых нет у Истона и Шерифа».
b) «Я не должен раскрывать свои карты, пока доказательства не
собраны».
c) «Послушай, милая, — смущенно сказал Треверс, — то, что ты не
нашла деньги, а копия отпечатана на другом «ремингтоне», ничего не доказывает. Я по-прежнему убежден, что преступник — Кэлвин. Он очень хитер, но меня ему не обмануть».
d) «— Шериф... вы ошиблись в Кэлвине. Он — тот человек, которого
мы ищем... Джонни Эйкр. У меня есть доказательства».
8. Какая логическая ошибка содержится в приведенных ниже
примерах?
a) Из-за того, что «Некоторые врачи ошибаются», говорят, что «Все
врачи ошибаются».
b) Иногда можно услышать такие фразы: «В магазине ничего нет»;
«Сейчас все болеют гриппом» и другие подобные суждения.
c) «А почему вы знаете, что вы ненормальный?» – спросила она
(Алиса). – «Начнем с собаки, – сказал Кот. – Возьмем нормальную собаку, не бешеную. Согласна?» – «Конечно!» – сказала Алиса. – «Итак, – продолжал Кот, – собака рычит, когда сердится, и виляет хвостом, когда радуется. Она, как мы условились, нормальная. А я? Я ворчу, когда мне приятно, и виляю хвостом, когда злюсь. Вывод: я – ненормальный».
На дом
В комедии А.С. Грибоедова «Горе от ума» Фамусов говорит
служанке Лизе: «Все ты лжешь». Он также считает: «По должности, по службе хлопотня, тот пристает, другой, всем дело до меня!» или «Все умудрился не по летам», «Вот то-то, все вы гордецы!» или «Не я один, все также осуждают».
Тема 2. Отношения между понятиями, суждениями. Умозаключение из суждений с отношениями
Занятие 1
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Доказать логические законы, используя таблицы истинности, и дать примеры их содержательной интерпретации
а) 
; б) (X Þ Y) Û `X Ú Y;
в) X Ú (Y Ù Z)Û (X Ú Y) Ù (X Ú Z);
На дом
а) 
; б) 
;
в) X Ù (Y Ú Z)Û (X Ù Y) Ú (X Ù Z).
3. Пусть Р означает: «число a делится на число b», Q означает: «число a делится на число c» и R означает: «число a делится на произведение чисел b и с». Сформулировать предложения, записанные в виде формул
а) PÙQ; б) PÙQÞR;
На дом
а) 
; б) 
4. Пусть R и D означают соответственно высказывания: «данный четырехугольник есть ромб» и «диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны». Записать в символической форме следующие высказывания и определить, если возможно, их значение:
а) Если данный четырехугольник есть ромб, то диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны;
б) Неверно, что если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то данный четырехугольник есть ромб.
|
|
|
На дом
а) Четырехугольник не ромб, или диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны.
Занятие 2
1. Повторение определений основных понятий темы.
2.На плоскости 
задан предикат 
, множеством истинности которого является область, граница которой состоит из прямых отрезков, соединяющих последовательно точки с координатами (0, 0), (0, 2), (2,2), (2,1), (1,1), (1,0), (0,0).
Множества истинности предикатов 
определяются множествами точек 
и 
соответственно на плоскости , где 
– действительные числа.
Используя логические операции, записать формулу предиката .
На дом
На плоскости задан предикат , множеством истинности которого является область, граница которой состоит из прямых отрезков, соединяющих последовательно точки с координатами (0, 0), (3, 0), (3,2), (2,2), (2,1), (0,1), (0,0).
Множества истинности предикатов определяются множествами точек и соответственно на плоскости , где – действительные числа.
Используя логические операции, записать формулу предиката .
3. Дано множество M={a, b}. Предикат P(x, y), где x и y Î M, задан следующей таблицей
| X | y | P(x, y) |
| A | a | |
| A | b | |
| B | a | |
| B | b |
Определить значение истинности следующих высказываний и дать пример их содержательной интерпретации.
а)$ xP(x, a) б)" y P(a, y) в)$ x " yP(x, y).
На дом
а) $ yP(a, y) б)" xP(x, a) в) " x $ yP(x, y).
4. Записать в форме высказываний, введя необходимые обозначения предикатов, следующие предложения:
а)Все пассажиры автобуса – туристы.
б)В данной группе нет слушателей старше 30 лет.
в) Не все то золото, что блестит (использовать квантор общности).
На дом
а)Все слушатели в данной группе являются гражданами России.
б)Некоторые москвичи – слушатели данной группы.
в) Не все то золото, что блестит (использовать квантор существования).
5. Пусть R(x) и D(x) – предикаты, определенные на множестве четырехугольников, означающие соответственно: «данный четырехугольник х есть ромб» и «диагонали четырехугольника х взаимно перпендикулярны». Записать в символической форме следующие высказывания
а) Если четырехугольник есть ромб, то диагонали этого четырехугольника взаимно перпендикулярны;
б) Любой четырехугольник – не ромб, или его диагонали взаимно перпендикулярны.
На дом
Неверно, что если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то этот четырехугольник есть ромб.
6. Пусть S(x, y, z) ‑ предикат сложения (z является суммой x и y), рассматриваемый на множестве Z всех целых чисел и на множестве N0 = N 
{0} целых неотрицательных чисел. Какова содержательная интерпретация следующих формул и на каком множестве (Z или N0) они истинны?
а)" y $ x S(x, y, 0) б)" z " x $ y S(x, y, z).
На дом
а)$ y " x S(x, y, x) б) $ x $ y S(x, y, -12)
Тема 3. Классы и множества. Логические отношения между
классами (множествами). Связь между бинарными отношениями и двуместными предикатами
Занятие 1
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Подберите понятия, отношения между которыми можно изобразите
кругами Эйлера следующим образом:
a)
b)
 | |||
 |
c)
на дом
a)
 | |||
 |
b)
3. Правильно ли определены отношения между понятиями?
А-четырехугольник;
В-трапеция;
С-равнобедренная трапеция;
D-квадрат.
На дом
А-река;
В-судоходная река;
С-исток реки.
4. Определите вид суждения, его субъект и предикат. Выразите
отношения с помощью кругов Эйлера.
a) Все трапеции-четырехугольники.
b) Многие люди застенчивы.
c) Некоторые спортсмены не являются олимпийскими чемпионами.
d) Все сказуемые являются главными членами предложения.
e) Константин Симонов – автор романа «Живые и мертвые».
f) Иногда люди проявляют нетерпимость.
g) Некоторые учащиеся не изучают логику.
h) Некоторые растения являются лекарственными.
На дом
a) Ни один георгин не имеет шипов.
b) Понедельник – первый день недели.
c) Юрий Гагарин – первый космонавт.
d) Некоторые летчики не являются летчиками-космонавтами.
Занятие 2
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. На плоскости задан предикат , множеством истинности которого является область, граница которой состоит из прямых отрезков, соединяющих последовательно точки с координатами (0, 0), (3, 0), (3, 2), (2, 2), (2, 1), (0, 1), (0, 0).
Множества истинности предикатов определяются множествами точек и соответственно на плоскости , где – действительные числа.
Используя операции над множествами, записать формулу получения множества истинности предиката .
На дом
На плоскости задан предикат , множеством истинности которого является область, граница которой состоит из прямых отрезков, соединяющих последовательно точки с координатами (0, 0), (0, 2), (2, 2), (2, 1), (1, 1), (1, 0), (0, 0).
Множества истинности предикатов определяются множествами точек и соответственно на плоскости , где – действительные числа.
Используя операции над множествами, записать формулу получения множества истинности предиката .
3. Даны множества: I = { 1, 2, 3, 4, 5 }, X= { 1, 5 }, Y= { 1, 2, 4 }, Z= { 2, 5 }. Найти следующие множества и начертить круги Эйлера, иллюстрирующие их построение,
а) 
б) 
На дом
а) 
б) 
4. Доказать с помощью кругов Эйлера следующие тождества
На дом
.
5. Даны множества: X ={1, 5}, Y ={1, 2, 4}, Z ={2, 5}.
Найти следующие множества и начертить координатные диаграммы, иллюстрирующие их построение,
а) 
, б) 
,
Проверить выполнение свойств коммутативности (пример а) и дистрибутивности (пример б) операции прямого произведения.
На дом
.
Занятие 3
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Выписать все элементы отношений r =<X, R> и r-1 и представить их в виде координатных диаграмм, если
а) X= { 1, 3, 5 }, R = { <x, y>: x £ y },
б) X= { 2, 4, 16, 22 }, R = { <x, y>: x являетсяделителем y },
На дом
а) 
.
3. Нарисовать графы отношений.
а) X= { 1, 3, 5 }, R = { <x, y>: x £ y },
б) X= { 2, 4, 16, 22 }, R = { <x, y>: x являетсяделителем y },
На дом
а) .
4. Исследовать свойства отношений, приведенных в п. 2, (рефлексивность, симметричность, транзитивность, антисимметричность, иррефлексивность, асимметричность, сравнимость). Определить, являются ли эти отношения а) отношением эквивалентности; б) отношением строгого порядка; в) отношением нестрогого порядка; г) отношением линейного порядка.
5. Пусть X = Y = R,где R- множество действительных чисел, а отображение j: X ® Y задается указанным ниже законом. Нарисовать график отображения и охарактеризовать отображение (всюду определенность, функциональность, отображение “на”, взаимная однозначность).
а) y = | x |, б) | y | = | x |
На дом
а) x = y2 ; б) y = tg x.
|
|
|
