 |
Общие методические проблемы при изучении тождеств.
|
|
|
|
Лекция 1
Литература: «Практикум по методике выкладання математики», Новик.
Тема: Анализ урока математики.
3 Цели: образовательная (содержание), воспитательная (поведение ученика), развивающая.
Урок математики, как и любой урок, может быть проанализирован с разных позиций:
1) психологический анализ урока: наблюдение определенных психологических явлений (взаимодействие учеников, психологический климат на уроке и т.д.);
2) временной анализ (фактически, хронометраж: на что пошло время урока);
3) анализ содержательного наполнения урока;
4) комплексный анализ урока;
5)административный анализ урока (выполнение определенных нормативных документов, соблюдение нормативных требований и др.).
Схема анализа урока математики:
1. Общие сведения об уроке: класс, учебный предмет тема; тип и структура урока; его место в системе уроков по теме.
2. Начало урока, готовность учащихся к занятиям, приемы, которыми пользуется учитель для включения учащихся в работу.
Организованное начало\неорганизованное, включены ли ученики сразу, или будут полурока опаздывать, возможно, есть какие-то традиции начала урока, какими приемами пользуется учитель для включения учеников в работу.
3. Оборудование урока; применение технических средств обучения, компьютеров, наглядных пособий, правильность их использования.
4. Содержание урока: научность и доступность изложения; виды использования ППС, самостоятельных работ учащихся, их содержание; система упражнений и задач, которые раскрывают тему урока; точность формулирования определений и теорем; связь преподавания с жизнью.
5. Методическая сторона урока: обоснованность отбора учебного материала; современность применения методов обучения, их соответствие содержанию и типу урока, возрастным особенностям учащихся; методы и приемы активизации учащихся на всех этапах урока; осуществление дифференцированного подхода к учащимся; методика решения задач, доказательства теорем; способы и качество проверки и оценки знаний учащихся; методика домашнего задания, его объем и содержание.
|
|
|
Типичные ошибки по д\з: в д\з не включена теория для повторения; много одинаковых заданий; на уроке разобрали мало примеров, а задали на дом много\ разобрали много, а задали на дом мало;
Дифференцированный подход на уроке: предусмотрено оказание помощи в выполнении заданий через образцы примеров, которые решаются на доске; наличие дополнительного задания для тех, кто может работать быстрее, активность этих учеников надо стимулировать: например, желающие сдадут тетради.
6. Воспитательное значение содержания, методов и организации урока; поведение учащихся на уроке.
С разными учителями одни и те же ученики ведут себя по-разному. Как правило, действует деловая обстановка, заинтересованность учителя в том, чтоб ученики поняли материал и т.д. Требование записей в тетради и т.д.
7. Подготовленность учителя к уроку, методическое мастерство, культура, эмоциональный тон, педагогический такт.
8. Выполнение плана урока, достижение поставленной цели; приемы завершения урока.
Анализ начинается с выступления учителя, который вел урок. Он обязательно должен сказать: Целью сегодняшнего урока было… (ввести теорему Пифагора, показать примеры решения задач), план урока выполнен, я считаю, что цели урок достиг, т.к. (я видела, что ученики активно участвовали, я проходила по классу и видела в тетрадях…, по комментариям я видела, что ученики поняли..).
Бывает, что план не выполнен, но цели урок достиг: учитель ввел теорему и показал ее применение – его усвоили, но не показал еще на нескольких примерах.
|
|
|
9. Выводы и предложения.
При анализе надо уметь отметить плюсы, минусы.
Протокол анализа + в конце немного текста о достижении личной цели, например, цель – проанализировать психологическую обстановку на уроке.
Лекция 2
Тема: Дифференциация обучения математике.
Внеклассная работа по математике.
Выделяют внутреннюю (уровневую) и внешнюю дифференциацию обучения математике. Внутренняя определяется индивидуальными особенностями учащихся, требованиями стандарта и нормами оценивания учебных достижений учащихся.
Стандарт математического образования – в программе требования к усвоению той или иной темы; это требования уровень обязательных требований к учащимся (на 5-6 баллов). Достижение этого уровня позволяет усваивать курс математики.
Уровневая дифференциация выражается в требованиях 10-тибальной системы оценки знаний, в которой выделены 5 уровней усвоения:
1) распознавание
2) репродуктивный уровень
3) репродуктивно-продуктивный уровень
4) продуктивный уровень (7 – 8);
5) творческий (9 – 10).
Внутренняя дифференциация может выражаться (и должна) в определении самим учащимся своего образовательного запроса. Чтобы получить такую-то отметку, надо уметь делать это.. это.. и эти задания предъявляются. А ученик смотрит и выбирает уровень, на который он будет готовиться. При условии, не ниже уровня требований. Система заданий обязательно должна задавать уровни: обязательный,??, творческий.
Методика реализации внутренней дифференциации на уроках:
1) при отборе упражнений на урок; методика активизации учеников;
2) проведение самостоятельной работы по сырому материалу: кто понял, кто не понял (у Алейниковой) – любая работа активизирует внутреннее понимание ученика, он хотя бы поймет, что он этого не знает, даже если ему казалось, что было понятно – инструмент внутренней дифференциации;
3) в д\з дифференцирующая часть (если не все запланированные примеры в классе успели сделать, можно те задания д\з, примеры которых не успели разобрать, оставить в необязательной части).
Доказательства теорем начинаются – с продуктивного уровня.
Внешняя дифференциация обучения математике проявляется в различие учебных планов для разных типов учебных заведений.
|
|
|
Краткая история внешней дифференциации.
До революции: церковно-приходские школы, реальные училища, гимназии, кадетские корпуса. В каждом типе заведений – своя математическая программа: в церковно-приходских – только арифметика, гимназия – курс, который готовит к университету.
С 1917 г в советской школе была: единая трудовая советская школа, к\р писались по одним и тем же текстам; единая программа, один вариант учебника. Существовали кружки по математике.
1965 – 1970-е – начало колмогоровской реформы математического образования. Были впервые созданы физико-математические школы и классы, очные и заочные. 1970 г – создан журнал «Квант» - физико-математический журнал для школьников.
1992 г в РБ была разработана программа, где впервые были выделены 3 уровня обучения математике в школе:
1) базовый (4 часа в неделю) учеб баз+повыш
2) повышенный (6 часов в неделю);
3) углубленный (8 часов с факультативами); отдельный учебник
и разные программы обучения математике. При этом формулировалось в программах, что чтобы поступать в ВУЗ, где нужна математика, нужен уровень не меньше повышенного.
В 2000-е годы в 10-11 –х классах идея профильного обучения (общеобразовательный (базовая математика), гумунитарный (базовая математика), хим-био (повышенный ур мат), физ-мат (повышенный или углубленный).
В 2007 году были ликвидированы профили и повышенный и углубленный уровень обучения математике в обычных школах. Сохранились только гимназии, где работали по тем же программам + 1 час времени; сохранились факультативы. Математические школы\гимназии загоняли факультативы в расписание, выделяли по умолчанию кабинеты и т.д.
В 2015 вернули профили, в программу вставили материал, курсивом, который раньше шел как повышенный уровень обучения.
Организация внеклассной работы по математике.
Она тесно связана в том числе с проблемами дифференциации.
Можно выделить 2 направления внеклассной работы по математике:
|
|
|
1) по развитию интереса к математике (это для всех);
2) развитие математических способностей (с одаренными детьми).
Методы и формы внеклассной работы:
1. Методы и формы работы по развитию интереса: викторины, конкурсы, игры, презентации, исторические сведения, сообщение интересной информации, настенная печать, неделя математики, презентации сайтов или книг, математические бои общего уровня, математические опыты, кроссворды, спектакли, массовые олимпиады.
2. Методы и формы работы с одаренными детьми:
- проблема диагностики способностей;
- проведение кружков и факультативов (в отличие от кружков – по утвержденной программе, оплачивается, в итогу выдается документ по окончании факультатива) для подготовка к олимпиадам;
- организация исследовательской работы учащихся для подготовки их к конференции (выбор темы, цели и задачи, оформление, презентация исследования);
- подготовка к математическим боям;
- заочные физико-математические школы;
- дистанционные курсы;
- математические летние школы;
- подготовка к написанию статей, отчетов, докладов – у всех этих жанров есть свой язык, учить грамотному, полному изложению решения задач.
Подготовка учителя:
- библиотека, коллекция интересных сайтов,
- информация о возможностях, о событиях, о том, куда можно направить одаренного ребенка;
- документы, например, сроки проведения олимпиад.
Лекция 3
Тема: Исследовательская работа учащихся, учебные проекты.
Проблемы исследовательской работы:
1) выбор темы определяется математическим развитием учащихся (иногда тема может выходить за пределы программы, но это должен быть материал, доступный для учащихся), которого достаточно для усвоения и некоторых вене программных тем. Например, тема злотого сечения (отрезок разделить в золотом отношении – разделить так: Вст 1) это последовательности, алгебраическая, геометрическая – не ранее 8-го класса;
2) тема должна содержать возможность включения индивидуальных, оригинальных материалов, разработанных самими учащимися (например, самостоятельная проверка каких-то закономерностей, сбор статистического материала по результатам измерений, нахождение статистического материала регионального, узкопрофессионального характера (вы даете тему связанную со способами задания функции; графически задают функцию разные приборы, сбор этого материала по нашей местности), любая аналитическая работа по сравнению исследований, источников информации);
3) цели и задачи проекта\ исследования: задачи: обзор литературных источников по этой теме; формулирование направлений для практической деятельности в исследовании; сбор реальных иллюстративных материалов (сбор материалов, подтверждающих личную работу ученика);
|
|
|
4) составление плана выполнения проекта.
По любой исследовательской работе ученик должен уметь ответить на стандартные вопросы:
1) почему выбрали эту тему? (ответ должен обосновать актуальность этой работы или для вас лично, или для роста вашего профессионального мастерства, или для всего государства);
К фактологии пристегнули мотивы, связь с практикой.. = исследование.
2) что нового вы сделали в своем исследовании? (разработано это.., проверено на практике это.., изучен опыт работы учителей этой школы…);
3) выводы: какой основной вывод по этой работе и как он обоснован (напр, по д\з: такая форма выдачи домашнего задания чаще всего используется учителями – по результатам анкетного опроса; а учащимся больше всего запоминается такая форма…);
4) кому и где может быть полезно то, что вы сделали (напр, эта разработка поможет проходить активную практику студентам 3-го курса \ она будет использоваться учителями данной школы; т.е. кому она адресована);
5) перспективы этой работы (если изучить еще это и это – получится курсовая, какой-то материал из этого проекта для нее возьмется);
6) при групповом исследовании всегда указывается конкретный вклад каждого (кто набирал тексты, фотографировал, вел видеосъемку, проводил опыты).
Презентация: разумное сочетание компьютерной презентации, голосовой озвучки, таблиц, раздаточных материалов (например, материалы для минимального эксперимента).
Организация конференций школьников.
Конференция по результатам исследовательской деятельности учащихся по математике:
1) ограничение мероприятия по времени – не более часа, лучше 45 минут;
2) распределение докладов по секциям (например: алгебра, геометрия, история математики, математика и жизнь; по возрасту); количество докладов на секцию (на презентацию работы школьнику дается 5 минут + 5 минут на вопросы, значит, 6 докладов на секцию, подумав и о возрасте, и о тематике, и о том, чтоб были слушатели;
в любой секции есть председатель и секретарь; по конференции печатается программа: время доклада, какая секция в какой аудитории, программа доклада;
в секции должно быть вступительное слово и заключительное слово (похвалить всех хоть за что-то, т.к. цель конференции – привлечь всех учащихся к исследовательской деятельности, выделить лучшие доклады, выдать каждому хотя бы номинальный презент (хоть сертификат);
перед конференцией проводится отбор докладов;
3) протокол заседания секции (зафиксировано: кто выступал, какие вопросы были заданы);
4) обеспечить наличие зрителей
Лекция 4
Тема: Методика изучения числовых множеств.
Все содержание курса алгебры распределяется по «содержательным методическим линиям» (в учебной программе 2012 г. это содержание по линиям было прописано»).
Содержательные линии:
1. Основные:
1) числа и вычисления;
2) тождества и тождественные преобразования (выражения и их преобразования);
3) уравнения и неравенства;
4) координаты и функции;
5) комбинаторика, теория вероятности, математическая статистика (до 2007 г была выделена теперь она возвращается).
2. Второстепенные:
1) логические представления
2) теоретико-множественные представления (об операциях над множествами).
Множества.
В
А
Есть понятие множества и подмножества; дополнение множества А до множества В: В\А.
Операции математические: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, предельный переход.
Операция выполняется на множестве А – это значит, что компоненты этой операции и ее результат принадлежат множеству А (а*b = с: {a, b, c} А).
Упорядоченность (отношения порядка) – есть операции больше, меньше, больше либо равно, меньше либо равно.
Дискретность (прерывистость) - множество называется дискретным, если в множестве между двух его элементов невозможно вставить элемент из этого же множества; например, целые числа.
Полнота \ непрерывность множества. Множество называется плотным, если между любыми двумя его элементами находится\можно вставить хотя бы один элемент этого множества; например, множество действительных, рациональных.
Дискретность и полнота рассматриваются для упорядоченных множеств.
При рассмотрении числовых множеств можно выделить научную, историческую и методическую последовательность.
1. Научная последовательность: N Z Q R C …
2. Историческая: сначала появилось понятие натуральных чисел и нуля; потом – рациональных чисел, потом – целых отрицательных (т.е. целых); затем – понятие иррационального числа.
Круги Эйлера-Венна Вст 2
Правильное расширение множества А до множества В:
1) все элементы А входят во множество В;
2) все операции из А выполняются на В;
3) расширенное множество ближайшее\ минимальное (т.е. между А и В невозможно вставить множество, которое удовлетворяло бы 1 и 2 условию для А).
Расширение числовых множеств:
1) с помощью операции вычитания множество N расширяем до множества Z; в дополнении натуральных чисел до целых находятся отрицательные целые и ноль;
2) Z до Q расширяется с помощью операции деления; в дополнении Z до Q содержатся дробные числа;
3) Q до R расширяется с помощью операции предельного перехода; дополнение – иррациональные числа;
Существует теорема, что корень из 2 – иррациональное число; доказательство – методом от противного: пусть это рациональное число, тогда к2 = m \ n, где m – целое, n – натуральное, причем это несократимая дробь; m 2 \ n 2 = 2, 2 n 2 = m 2, значит, т – четное, т.е. т = 2 k, 2 n 2 = 4 k 2, n 2 = 2 k …
Мощность множества – количество элементов множества (мера эквивалентных конечных множеств).
Счетное множество – множество, которое эквивалентно множеству натуральных чисел. Т.е. можно указать операцию сопоставления его элементов натуральным числам. В нем бесконечно много элементов.
Примеры счетных множеств:
1) натуральные числа;
2) целые числа (считаем: 0, 1, -1, 2, -2,…);
3) рациональные числа (подсчитывать с помощью таблицы):
| 0\1 №1 | -1\1 №2 | 1\1 №6 | -2\1 №7 | 2\1 №15 | … |
| 0\2 №3 | -1\2 №5 | 1\2 №8 | -2\2 №14 | 2\2 №17 | … |
| 0\3 №4 | -1\3 №9 | 1\3 №13 | -2\3 №18 | 3\2 | … |
| 0\4 №10 | -1\4 №12 | 1\4 №19 | -2\4 | 2\4 | … |
| ….. | |||||
| 0\n | -1\n | 1\n | -2\n | 2\n | … |
Здесь все рациональные числа, более того, многие из них повторяются.
Множество называется не счетным, если его элементы нельзя поставить в соответствие элементам множества натуральных чисел (его элементы нельзя сосчитать).
Континуум – мощность несчетного множества. Обозначается «алеф».
Пример несчетных множеств:
1) множество всех десятичных дробей на отрезке [0; 1].
Доказывается методом от противного: допустим, множество всех десятичных дробей на этом отрезке счетно, тогда можно их посчитать:
0, а11, а12, а13, …
0, а21, а22, а23,…
…
0, а n 1, an 2, …
Покажу, что существует дробь, которой нет в списке: возьму дробь 0,в1в2в3…, такие, что в1!=а11, в2!=а22,…, в n!= ann.
Несчетное множество является непрерывным и полным, любое счетное множество является дискретным и не полным.
Если на координатной прямой в каждой точке с рациональной ординатой зажечь желтую лампочку, а в каждой точке с иррациональной ординатой зажечь зеленую, то вся прямая будет светиться зеленым (иррациональных чисел гораздо больше, чем рациональных).
Все иррациональные числа – «числа в масках» - мы не знаем, чему они точно равны в цифрах.
Лекция 5
Тема: Методика изучения тождеств и тождественных преобразований.
Весь курс алгебры можно условно разделить на 4 (5) содержательные линии.
Вычисления и тождественные преобразования – это язык всей математики. Отсюда вытекают требования: прочные вычислительные навыки,?? тождественные преобразования сформированы (хорошее знание формул, например).
Выражения: числовые и с переменными (определения, как такового не дается, дается разъяснение; авторы в большинстве случаев не дают точного определения). Даются примеры выражений и описание (или описание и примеры).
Тождества; термины: тождество, тождественно равные выражения, тождественные преобразования. В учебниках тождество и тождественно равные выражения – порядок введения может меняться. Обычно сначала вводится понятие тождества.
Как дается понятие тождества: вводится обозначение (большими латинскими буквами). Вводится понятие равенства двух выражений. Равенство двух выражений называется тождеством, если оно обращается в верное числовое равенство при всех значениях переменных, при которых имеют смысл\ определены оба выражения: А и В.
Верное числовое равенство тоже является тождеством.
Как называют эти выражения: А – левая часть тождества, В – правая.
Вводится понятие тождественно равных выражений: если равенство является тождеством, то выражения А и В называются тождественно равными.
Тождественное преобразование дается через понятие тождественно равных выражений.
И так, мы определили тождество на множестве.
В шк курсе есть 2 вида тождеств: тождество на множестве (не для всех абсолютно значений) и абсолютное тождество (когда в определении тождества отсутствует часть: «при которых имеют смысл\ определены оба выражения: А и В») (это тоже тождество на множестве).
Во многих российских учебниках понятие тождества вводится тогда, когда еще нет выражений, которые могут потерять смысл. Но потом появляются тождества, связанные с корями, логарифмами и т.д., когда уже надо говорить об области опр. И анализируя учебники, надо проследить, уточнили ли авторы формулировку тождества.
Методическая проблема: если в учебном пособии первое определение тождества (как правило, в 7 классе) дано для варианта абсолютного тождества, в дальнейшем должно появиться более общее определение тождества на множестве.
Верное числовое равенство тоже является множеством. (Анализируя учебник, можно посмотреть, дано ли это уточнение).
Любое тождество выражает какое-то свойство.
Не любое уравнение можно являть тождеством (3+5 = 8), урав яв т, только если оно обращается в верное числовое равенство при любых значениях переменной, при котором уравнение имеет смысл. Любое тождество с переменной можно назвать уравнением. Т.е. тождество – это все уравнения + все верные числовые равенства.
Например: а2 : а = а – тождество на множестве (- беск; 0) и (0; +беск), но не является абсолютным тождеством.
Группы тождеств в школьном курсе:
1) верные числовые равенства – в начальной школе;
В средней школе первая группа - законы арифметических действий (а + b = b + а) (5-6 кл)
- переместительный \коммутативных закон,
- сочетательный \ассоциативный \закон о расстановке скобок,
- распределительный закон умножения по сложению (вычитанию)\дистрибутивный.
З-ны арифм действий – аксиомы (их принимают без доказательств).
2) определение и свойства степеней с натуральным показателем (6 кл), целыми показателями (7 кл).
3) правила действий над одночленами (7 кл).
4) правила действий над многочленами (7 кл).
Для многочленов особо выделяется подгруппа формулы сокращенного умножения.
5) свойства квадратных корней 8 класс;
6) действия с алгебраическими дробями (9 кл) (По мнению Кузнецовой они должны быть раньше, 7-8 кл, т.к. их база - многочлены)
\рациональными дробями.
тождества с модулями.
7) Тригонометрические тождества (10 кл);
8) Корни n-й степени (10);
9) степени и их свойства с рациональными показателями и с действительными показателями (10 кл).
10) Определения и свойства логарифмов.
Общие методические проблемы при изучении тождеств.
1. Проблема понимания сути доказательства тождества и знания подходов к доказательству (обоснование\ доказательство (суть).
|
|
|
