 |
Косым шрифтом в учебной программе - расширенный уровень
|
|
|
|
Практика – основное применение з-нов арифметических действий – рационализация (упрощение) вычислений.
Вводятся тождества с их помощью. Вводится преобразование Раскрытие скобок (это, по сути, чтение распределит з-на в эту сторону), Вынесение общего множителя за скобки. Т.е. на базе этого закона вводятся эти понятия.
Эти з-ны принимаются без доказательства, их только можно разъяснить.
Методика изучения функций.
Термин функция, функционировать, функциональный содержательно связаны. Житейские представления о функции – взаимозависимое взаимодействие: с изменением одного параметра (переменной) изменяется другой. Такое представление формируется на этапе пропедевтики (пропедевтика – подготовка к восприятию; есть пропедевтика, есть систематическое обучение) в начальной школе и 5-6 классах на примере взаимозависимости величин: скорость, время, путь; цена, количество, стоимость; время, производительность, объем работы; длина, ширина, площадь; длина, ширина, высота, объем. Исторически первое определение функции в школьных курсах отражало именно взаимозависимость двух величин. Во время колмогоровской реформы определение функции было резко изменено на теоретикомножественное, статичное определение. Функцией было названо соответствие между элементами 2-х множеств Х и У. Соотв, при к-ром каждому эл-ту области определения соответствует не более одного элемента из области значения. Обл-ть значений – все элементы множества У.
По Колмогорову: соответствие между эл-тами мн-ва Х (область определения) и мн-ва У (обл-ть значений), при к-ром каждому эл-ту мн-ва Х соответствует не более 1-го эл-та мн-ва У. Это статичное определение вводилось уже в 6-м классе, оно было слишком обстрактным и плохо увязывалось с числовыми ф-циями, от него отказались.
|
|
|
И теперь, например, у Шнепермана: ф-ция – закон (правило), при котором каждому значению переменной х из множества Х соответствует не более \ только одно значение пременной У.
Статика: закон, правило, соответствие; динамика – то, что говорится о переменных.
Методика изучения функций в базовой школе несколько отличается от методики изучения в старших классах. Общая схема введения новых функций:
1) вводится формула (уравнение), задающая некоторую функцию, например, у = х2;
2) строится табличка значений (для х = -3; -2; -1; 0; 1…),вычисляем значения у;
3) на координатной плоскости отмечаем координаты полученных точек (показать наглядно эти точки);
4) внушаем \ навязываем вид нужной линии графика.
Методическая проблема
1) формирование правильного взгляда на «построение графика ф-ции по точкам»: в процессе изучения функции учащимися должна быть усвоена «графическая азбука» - соотвествие между уравнениями функций и общим видом графиков им соответствующих;
2) усвоение свойств функций:
В базовой школе изучаются так называемые «макросвойства» функций (рассматриваются на всей области определения), а в 10-11-м классе присоединяются некоторые «микросвойства» (рассматриваются в некоторой окрестности точки – напр, экстремум).
В базовой школе выучивается определение соответствующего свойства и формируется умение читать его по графику.
Аналитическое доказательство свойств – требование для способных учащихся.
3) место введения общефункциональной символики (D(f), е от ф), запись свойств с помощью этой символики (1) х принадлежит D(f), -х принадлежит D(f)
2) f(-x) = f(x))/
До колмогоровской реформы общая символика в школьном курсе не вводилась. Во время колмогоровской реформы эту символику изучали при введении определения в 6-м классе, а потом ее отодвигали, збывали до старших классов.
|
|
|
После колмогоровской реформы функции изучали без общей символики, в 10-11 с символикой. Аналогично в Беларуси до новых программ. По программе 2017 года та символика введена с 7-го класса.
4) формирование правильного понимания определения функции: функция задается двумя факторами: область определения, закон соответствия.
Тест:
Ф-ция задана на D уравнением у = х2.
Верно ли, что она четна, у больше либо равно 0, возрастающая, неограничена, имеет единственный ноль? Неизвестно, т.к. не известно, что такое D (мн-во натуральных чисел, мн-во рациональных, все действительные без нуля.
5) формирование верных представлений о графике функций
Различают понятие графика ф-ции как множества точек и изображения этого графика, на котором, как правило, лишь часть множ-ва тоек.
…, возможно и без соблюдения масштаба и изоборажения графика ф-ции в масщтабе. Говорить «изобразить график» - корректнее.
Формирование навыков чтения свойств функций по графику.
Лекция 06.04.
Тема: методика изучения некоторых свойств функции (четность, нечетность, периодичность, возрастание \убывание, симметричность).
Структура определения понятия четная\ нечетная функция:
1) информация о виде области определения;
2) информация о значениях функции в точках с противоположными абсциссами.
В некотороых пособиях понятие об области определения не входит в определение ф-ции (например, у колмогорова). В некоторых – входит, но там проблема (если первая ч-ть как-то сложно сформулирована): не все ученики без дополнительных разъяснений поймут первую часть без геометрической интерпритации (что область определения симметрична относительно 0).
Св-во периодичности.
Определение периодической функции содержит 3 требования:
1) период не равен 0;
2) вид области определения;
3) f(x + T) = f (x) = f(х - Т).
Опредедение: ф-ция f называется периодической, если при Т не равном нулю числа х +Т, х, х – Т принадлежат области определения и при этом выполняется равенство f(x + T) = f (x).
Сложнее всего понять, какой вид имеет область определения.
Тест: ф-ция синус х, задана на D; является ли периодической, если D:
1) От –П до 4П включая;
|
|
|
2) От -4П до 4П;
3) Действит числа без ноля;
4) Все рациональные числа
5) Х не равно Пk, k – целые числа.
Еще проблемы по функциям:
1) Применение свойств ф-ции и функциональных представлений к решению уравнений и неравенств.
Функциональный подход проявляется в рассмотрении корней ур-ния как нулей соответствующей ф-ции, а решение неравенства – как промежутка знакопостоянства соответствующей функции. Кроме того существует целый ряд приемов решения уравнений, где используются, например, свойства ограниченности ф-ции, свойства четности и нечетности, свойства монотонности. Примеры по всем этим подходам есть в учебном пособии 11-го класса Шнепермана.
|
|
|
