 |
Основные понятия классической теории поля
|
|
|
|
Основная задача теории поля
Основной задачей классической теории поля является определение пространственного распределения векторных и (или) скалярных полей по заданному распределению источников поля в этом пространстве ("прямая" задача).
Так же возможна постановка и "обратной" задачи, т.е. задачи определения распределения источников поля в пространстве по заданному распределению векторного поля и (или) поля скалярного потенциала в этом пространстве.
Таким образом, постановка задачи об определении распределения поля в пространстве без учета распределения источников поля бессмысленна с позиции классической теории поля в рамках основной задачи теории поля.
Определение вектора поля в общем виде
Из классической теории поля следует существование трех видов полей:
1) градиентное поле - вектор поля является градиентом скалярного потенциала,
2) вихревое поле - вектор поля является ротором векторного потенциала,
3) смешанное поле - вектор поля является суммой градиента скалярного потенциала и ротора векторного потенциала, что сформулировано в основной теореме классической теории поля - теореме Гельмгольца [2(а;б;в;г)].
Теорема Гельмгольца
Всякое однозначное и непрерывное векторное поле F, обращающееся в ноль в бесконечности, может быть представлено, и притом единственным образом, в виде суммы градиента некоторой скалярной функции j и ротора некоторой векторной функции A, дивергенция которой равна нулю:
F = grad j + rot A,
div A = 0,
где:
j. скалярный потенциал поля F,
A. векторный потенциал поля F,
при условии что:
и эти интегралы предполагаются существующими [2, г].
Тогда, согласно основной задаче теории поля, для отыскания распределения поля вектора F в пространстве необходимо задать распределение в этом пространстве источников (возбудителей) поля вектора F, т.е. значения функций div(gradj) и rot(rot A), составляя дифференциальные уравнения в частных производных, решением которых с соответствующими краевыми, и начальными условиями и будет поле искомого вектора F.
|
|
|
Очевидно, что задача однородного распределения источников поля в бесконечном пространстве, т.е. удовлетворяющая след. соотношению:
не рассматривается, как не имеющая физического смысла и приводящая к математическим парадоксам.
При решении различных прикладных задач часто используется широко распространенное заблуждение об условности разделения полей на градиентные и вихревые, основанное на неверной интерпретации суперпозиции вихревого и градиентного полей, имеющей место в определении вектора поля в общем виде (теорема Гельмгольца). Рассмотрим возможность подобной интерпретации. Пусть мы имеем некоторое поле вектора F, удовлетворяющее следующему условию:
Подействуем оператором " rot " на данный вектор,
Т.к. ротор градиента j тождественно равен нулю, ротор ротора A тоже равен нулю по всему пространству существования вектора A.
Подействуем оператором "div" на вектор F,
но, дивергенция ротора тождественно равна нулю, следовательно, дивергенция градиента j тоже равна нулю по всему пространству существования поля градиента j.
Из полученных соотношений видно, что, если разделение полей на градиентные и вихревые условно, то отвечающее этому условию векторное поле не имеет источников в пространстве существования поля и, следовательно, не является объектом классической теории поля, как не отвечающее основной задаче теории поля. Условность разделения полей на градиентные и вихревые, выполняется также при тождественном равенстве нулю поля F.
|
|
|
Таким образом, в рамках основной задачи классической теории поля не существует отличных от нуля полей, для которых выполнялась бы условность разделения полей на градиентные и вихревые, и, следовательно,разделение полей на градиентные и вихревые не условно, а фундаментально.
|
|
|
