Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Непрерывность функции в точке и на промежутке. Непрерывность основных элементарных функций.

Непрерывность функции в точке

1)Функция у=f (х) называется непрерывной в точке х_о, если выполнены следующие три условия: 1)функция определена в точке х_о и её окрестности. 2)существует конечный предел функции в точке х_о. 3)этот предел равен значению функции в точке х_о, т.е. lim f(x)= f(x₀)

2) Функция у=f (х) называется непрерывной в точке х_о, если выполнены следующие условия: 1)функция определена в точке х_о и её окрестности. 2)существуют конечные односторонние пределы lim f(x)=f(x₀-0) и lim f(x)=f(x₀+0). 3)эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке х₀, т.е. lim f(x)-lim f(x)=f(x₀)

3) Функция у=f (х) называется непрерывной в точке х_о, если выполнены следующие три условия: 1)функция определена в точке х_о и её окрестности.2) бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: lim y= lim (f(x₀+x)-f(x₀))=0

Свойства:

1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х_о, то функции f(x)+-g(x), c*f(x) (с-постоянная), f(x)*g(x) и f(x)/g(x) (при условии что g(x₀) не = 0) также непрерывна в точке х_о

2. Если функция u=q (x) непрерывна в точке х_о, а функция у=f(u) непрерывна в точке u₀=q(x₀), то сложная функция у=f(q(x)) непрерывна в точке х_о

Непрерывнасть функции на отрезке

Функция у=f(x) наз-ся непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (в точке а непрерывна справа, т.е. lim f(x)=f(a), а в точке b непрерывна слева, т.е. lim f(x)=f(b))

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1.если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке (первая теорема Вейерштрасса)

2.если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке она достигает достигает своего наименьшего значения m и наибольшего значения М (вторая теорема Вейерштрасса)

3.если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на его концах принимает значения разных знаков то внутри отрезка существует хотя бы одна точка такая что функция=0 (теорема Больцано-коши).

Теорема (о непрерывности основных элементарных функций).

Основные элементарные функции непрерывны в области определения.

Аналогичная теорема имеет место для элементарных функций, то есть функций, полученных из основных элементарных с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции (функция от функции).

Теорема (о непрерывности элементарных функций).

Элементарные функции непрерывны в области определения.

Определение производной.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению еёаргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (если этот предел существует):

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой в этом интервале.

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Основные правила дифференцирования. Таблица производных.

Процесс нахождения производной называют дифференцированием функции. Пользуясь определением производной и теоремами о пределах, можно вывести правила и формулы дифференцирования основных элементарных функций.

Таблица производных.

Пусть с – постоянная,

u = u(x) и v = v(x) функции.

1. (с)’ = 0 2. (u + v)’ = u’ + v’

3. (u · v)’ = u’v + u v’, в частности (cu)’ = с · u’