 |
Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности
|
|
|
|
Проверка соответствия результатов измерения закону нормального распределения является важным моментом предварительной обработки данных. Можно предположить, что значение случайной величины изменяется под влиянием большого числа факторов, примерно равнозначных по силе. Поэтому можно предположить, что распределение случайной величины является нормальным. Если эта гипотеза неприемлема, то следует определить, какому закону распределения подчиняются опытные данные и, если это возможно, преобразовать данное распределение к нормальному. Только после выполнения перечисленных выше операций можно перейти к построению эмпирических формул, применяя, например, метод наименьших квадратов.
Проверка по оценке среднего линейного отклонения
Для не очень больших выборок (n < 120) проверку гипотезы нормальности распределения можно провести по среднему линейному отклонению. Для выборки, имеющей приближенно нормальный закон распределения, должно быть справедливо выражение
|
Проверка по оценкам асимметрии и эксцесса
Некоторое представление о близости эмпирического распределения к нормальному может дать анализ показателей асимметрии и эксцесса.
Критерием нормальности распределения случайной величины является равенство нулю асимметрии и эксцесса. Если выполняются условия
|
то гипотеза нормальности распределения может быть принята.
Проверка по правилу трех сигм
Проверку гипотезы нормальности распределения можно провести по правилу трех сигм, согласно которому при нормальном распределении признака
|
5.4 Проверка по критерию согласия Пирсона (критерий c2)
|
|
|
Нормализуем случайную величину Х, т.е. перейдем к случайной величине:
(5.1)
Вычислим концы интервалов
, 
, i = 1,…, k, (5.2)
где ɛi – границы интервалов, причем значение z1 полагаем равным -∞, а наибольшее значение zk+1 полагаем равным +∞ (k – число интервалов).
Вычислим теоретические частоты:
, (5.3)
где n – объем выборки, Pi = Ф(zi+1) - Ф(zi), Ф(z) – функция Лапласа:
(5.4)
Вычислим наблюдаемое значение критерии Пирсона:
. (5.5)
По таблице критических точек распределения χ2, по уровню значимости α и числу степеней свободы υ = k – 3 находим критическую точку правосторонней критической области.
(5.6)
Здесь 
– квантиль распределения Пирсона на уровне q c υ степенями свободы.
Если 
– принимаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности Х.
Пример выполнения индивидуального задания
Задание
Типичное задание для самостоятельной работы состоит в следующем. По заданному варианту экспериментальных данных следует:
1. Составить вариационный ряд для статистической обработки результатов наблюдений.
2. Для полученного вариационного ряда определить следующие точечные оценки параметров распределения:
(a) Меры центральной тенденции.
(b) Абсолютные и средние показатели вариации данных.
(c) Показатели относительного рассеивания.
3. Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности с надежностью р = 0.95.
4. Построить полигон, гистограмму (эмпирическую плотность распределения) и кумуляту (эмпирическую функцию распределения).
5. Проверить гипотезу о том, что случайная величина распределена по нормальному закону, используя точечные оценки.
6. Проверить гипотезу о том, что случайная величина распределена по нормальному закону, используя критерий согласия c2 Пирсона при уровне значимости α = 0.05. Построить на одном чертеже гистограмму и соответствующую нормальную кривую. Построить на одном чертеже кумуляту и соответствующую теоретическую кривую.
|
|
|
Выборочные данные приведены в табл. 2, объем выборки 30.
Таблица 2 - Выборочные данные
| 25 26 23 15 14 42 33 23 36 47 31 27 25 33 23 23 33 26 19 24 26 43 41 12 16 18 29 32 39 31 |
Решение
Для данной выборки построим вариационный ряд xi, i = 1, …, n, для чего выборочные значения расположим в порядке возрастания. Получим вариационный ряд, представленный в табл.3.
Таблица 6.1 - Вариационный ряд
| 12 14 15 16 18 19 23 23 23 23 24 25 25 26 26 26 27 29 31 31 32 33 33 33 36 39 41 42 43 47 |
|
|
|
