 |
Прогноз и оценка его точности на основе уравнений парной и множественной линейной регрессии
|
|
|
|
Классическая и обобщенная модели множественной линейной регрессии. Условия применения метода наименьших квадратов, свойства его оценок
Экономические явления, как правило, определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. В связи с этим часто возникает задача исследования
зависимости одной зависимой переменной Y от нескольких объясняющих переменных X1, X2,…Xn.Эта задача решается с помощью множественного регрессионного анализа.
Обозначим i-е наблюдение зависимой переменной y i, а объясняющих переменных — xi1, xi2,..., хip. Тогда модель множественной линейной регрессии можно представить в виде: yi=β0+β1xi1+β2xi2+…+βpxip+εi
где i = 1,2,..., п; εi удовлетворяет приведенным выше предпосылкам
Ос н о в н ы е п р е д п о с ы л к и регрессионного анализа:
1. В модели возмущение εi (или зависимая переменная у i) есть величина случайная, а объясняющая переменная хi— величина неслучайная. ( ε – случайный вектор, Х – неслучайная (детерминированная) матрица.
2. Математическое ожидание возмущения εi равно нулю:
M( εi )=0 (M( ε )=0 n)
3. Дисперсия возмущения εi (или зависимой переменной у i) постоянна для любого i:
D(εi)=σ2
(или D(yi) = σ2 ) — условие гомоскедастичности или равноизменчивости возмущения (зависимой переменной)).
4. Возмущения εi и εj (или переменные yi и yj) не коррелированы
M( εi εj )=0(i≠ j)
5. Возмущение εi (или зависимая переменная у i) есть нормально распределенная случайная величина ( ε – нормальнораспределенный случайный вектор).
6. Векторы значений объясняющих переменных, или столбцы матрицы плана Х, должны быть линейно независимы, т.е. ранг матрицы Х – максимальный (r(X)=p+1).
Модель, удовлетворяющая приведенным выше предпосылкам 1—5 регрессионного анализа и, кроме того, предпосылке 6 о невырожденности матрицы (независимости
|
|
|
столбцов) значений объясняющих переменных, называется классической нормальной линейной моделью множественной регрессии (Classic Normal Linear Multiple Regression model). Если же среди приведенных не выполняется лишь предпосылка 5 о нормальном законе распределения вектора возмущенийε, то модель называется просто классической линейной моделью множественной регрессии.
Выборочные оценки параметров регрессии, полученные МНК являются несмещенными, состоятельными и эффективными. Несмещенные оценки означают, что математическое ожидание остатков равно нулю. Следовательно, при большом числе выборочных оценок коэффициента регрессии в найденный параметр по результатам одной выборки можно рассматривать как среднее значение из большого числа несмещенных оценок.
Оценки считаются эффективными, если они характеризуются меньшей дисперсией (то есть мы имеем минимальную вариацию выборочных оценок).
Оценки считаются состоятельными, если их точность увеличивается с увеличением объема выборки.
При моделировании реальных экономических процессов мы нередко сталкиваемся с ситуациями, в которых условия классической линейной модели регрессии оказываются нарушенными. В частности, могут не выполняться предпосылки 3 и 4 регрессионного анализа о том, что случайные возмущения (ошибки) модели имеют постоянную дисперсию и не коррелированы между собой. Например, при использовании зависимости расходов на потребление от уровня доходов семей можно ожидать, что в более обеспеченных семьях вариация расходов выше, чем в малообеспеченных, т.е. дисперсии возмущений не одинаковы. При рассмотрении временных рядов мы, как правило, сталкиваемся с ситуацией, когда наблюдаемые в данный момент значения зависимой переменной коррелируют с их значениями в предыдущие моменты времени, т.е. наблюдается корреляция между возмущениями в разные моменты.
|
|
|
Обобщенная линейная модель множественной регрессии (Generalized Linear Multiple Regression model)
Y = βX + ε
В отличие от классической, в обобщенной модели ковариации и дисперсии объясняющих переменных могут быть произвольными. Для оценки параметров модели можно применить обычный метод наименьших квадратов. Оценка b по-прежнему состоятельная, но не будет являться несмещенной. Для получения наиболее эффективной оценки нужно использовать обобщенный метод наименьших квадратов.
Прогноз и оценка его точности на основе уравнений парной и множественной линейной регрессии
Важным направлением использования уравнений связи является их применение для прогнозирования ожидаемых результатов при заданном уровне факторов для целей управления исследуемой совокупностью. Использование регрессионной модели для прогнозирования состоит в подстановке в уравнение регрессии ожидаемых значений факторных признаков для расчета точечного прогноза результативного признака и его доверительного интервала с заданной вероятностью.
Поскольку не все значения результативного признака лежат на линии регрессии, то использование уравнения регрессии для прогнозирования приведет к некоторой погрешности (ошибке) в оценке анализируемого показателя. Можно назвать два источника возникновения этой погрешности. Во-первых, решенное по выборочным данным уравнение регрессии является всего лишь одним из множества возможных по воле случая подобных уравнений. Каждое из них является лучшим или худшим приближением к истинной (генеральной) линии связи. Во-вторых, уравнение регрессии не воспроизводит общую вариацию результативного признака в полном объеме; остаточная вариация вносит свой вклад в величину погрешности (ошибки) прогноза.
Ошибка точечного прогноза или ошибка положения линии регрессии 
покажет, на какую величину в среднем точечные прогнозы 
по всем возможным выборочным линиям регрессии будут отличаться от прогнозного значения результативного признака, определенного по истинной (генеральной) линии связи.
|
|
|
Чтобы понять, как строится формула ошибки, обратимся к уравнению линейной регрессии: 
. Учитывая, что 
, уравнение примет вид: 
. Отсюда вытекает, что стандартная ошибка зависит от ошибки выборочной средней 
и ошибки коэффициента регрессии: 
. Из теории выборки известно, что 
. Используя в качестве оценки σ2у остаточную дисперсию s2ост. и учитывая вышеприведенную формулу стандартной ошибки коэффициента регрессии (п.3.3), имеем выражение:
= 
.
Из данной формулы видно, что ошибка положения линии регрессии в прогнозной точке зависит от ошибок отдельных параметров уравнения и от того, как сильно значение признака-фактора отклоняется от его среднего значения. Прогноз по уравнению регрессии представляет определение неизвестных значений зависимой переменной Y по уравнению регрессии, на основе заданных значений X. Прогноз будет тем более точный, чем ближе заданное значение X к Xср. Экстраполяция кривой регрессии, т.е. ее использование вне пределов обследованного диапазона значений объясняющей переменной может привести к значительным погрешностям.
Чем больше разность 
, тем больше ошибка , с которой предсказывается значение для заданного значения х.
Доверительные интервалы положения линии регрессии при заданном х определяются выражением
где а – уровень значимости. На рисунке 3.1. доверительные границы для представлены гиперболами, расположенными по обе стороны от выборочной линии регрессии.
Однако фактические значения yi отклоняются от уравнения регрессии на величину случайной ошибки 
, дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы s2ост. Поэтому ошибка прогноза индивидуального значения yi должна учитывать не только ошибку положения линии регрессии, но и остаточную вариацию. Средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения результативного признака yi(х) составит
Доверительный интервал индивидуального прогноза 
дает возможность в каждом отдельном случае с определенной вероятностью указать, что величина результативного признака окажется в определенном интервале относительно значения, вычисленного по уравнению связи.
|
|
|
Доверительный интервал для прогнозного значения по уравнению множественной регрессии определяется аналогично
Например, y=-3,54+0,854x1+0,367x2 X`0 (1 8 6), т.е. при x1=8, x2=6
= 
|
|
|
