 |
Мультипликативная и аддитивная модели временных рядов, прогнозирование на их основе
|
|
|
|
Как нам уже известно из курса статистики, временной ряд (он же ряд динамики) – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Показателя временного ряда называются уровнями ряда динамики. Каждый уровень ряда динамики формируется под воздействием целого комплекса факторов.
Во-первых, большинство временных рядов имеет тенденцию. Тенденция может быть возрастающей или убывающей. Она отражает совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Очевидно, что факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на результат, однако их совокупное воздействие, их равнодействующая, формирует положительную или отрицательную тенденцию.
Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, то есть изменяться по временам года (цены на овощи ниже летом и осенью, а зимой и весной выше; интенсивность использования техники и трудовых ресурсов в сельском хозяйстве выше в весеннее – летний период). Циклические колебания могут носить и долговременный характер. Так, советский ученый-экономист 20-ых годов с мировым именем Кондратьев Н.Д. исследовал природу кризисов в капиталистическом (рыночном) производстве. Он доказал, что кризис представляет собой лишь одну фазу целого капиталистического цикла (подъем – кризис – депрессия), то есть капиталистическая экономика развивается волнообразно и, зная закон этого развития, можно предсказывать кризисные периоды в экономике. Его капитальные исследования в области закономерностей экономической динамики принесли Кондратьеву мировую известность и, и во всем мире эти циклы известны под именем «циклы Кондратьева». Понятно, что для выявления таких закономерностей требовалась информация за очень длительный период времени.
|
|
|
Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а их уровни образуются как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты.
Очевидно, что реальные данные временного ряда могут складываться при одновременном влиянии всех трех перечисленных компонент. Итак, факторы уровней временного ряда по характеру воздействия можно условно разбить на три группы:
1) факторы, формирующие тенденцию ряда (Т);
2) факторы, формирующие циклические колебания ряда (S);
3) случайные факторы (E).
В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма компонент, называется аддитивной. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной.
Прогнозирование заключается в определнии сезонной (S) и трендовой (T) компонент и тогда y=T+S или y=T*S
S на основе выравнивания по средней скользящей: Si=y-y’; ΣSi=0 (для аддитивной), ΠSi=1 (для мультипликативной)
Лаб.раб.11
1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
а) просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала, каждый раз сдвигая период осреднения на один квартал, и определим условные годовые объемы производства (табл.2, графа 4);
б) разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние
(графа 5). Отметим, что найденные таким образом средние уровни уже не содержат сезонной компоненты;
в) средние уровни в рядах динамики должны относиться к середине периода осреднения (между вторым и третьим кварталом, между третьим и четвертым и т.п.), поэтому приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени. Для этого найдем средние из двух соседних скользящих средних – центрированные скользящие средние (графа 6).
|
|
|
Таблица 2. Расчет оценок сезонной компоненты
| № года | № квартала | Уt, млн. шт. | Скользящая сумма за 4 квартала | Средняя скользящая | Центрированная средняя скользящая ( )
| Оценка сезонной компоненты (Si) |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 1 | I | 7,51 | - | - | - | - |
| II | 9,12 | - | - | - | - | |
| 33,28 | 8,32 | |||||
| III | 9,13 | 8,41 | 0.72 | |||
| 34,03 | 8,51 | |||||
| IV | 7,52 | 8,63 | -1.11 | |||
| 34,94 | 8,74 | |||||
| 2 | I | 8,26 | 8,85 | -0.59 | ||
| 35,85 | 8,96 | |||||
| II | 10,03 | 9,06 | 0.97 | |||
| 36,60 | 9,15 | |||||
| III | 10,04 | 9,22 | 0.82 | |||
| 37,18 | 9,29 | |||||
| IV | 8,27 | 9,38 | -1.11 | |||
| 37,88 | 9,47 | |||||
| 3 | I | 8,84 | 9,56 | -0.72 | ||
| 38,61 | 9,65 | |||||
| II | 10,73 | 9,73 | 1.00 | |||
| 39,19 | 9,80 | |||||
| III | 10,77 | 9,88 | 0.89 | |||
| 39,89 | 9,97 | |||||
| IV | 8,85 | 10,05 | -1.2 | |||
| 40,54 | 10,14 | |||||
| 4 | I | 9,54 | 10,25 | -0.71 | ||
| 41,45 | 10,36 | |||||
| II | 11,38 | 10,44 | 0.94 | |||
| 42,06 | 10,52 | |||||
| III | 11,63 | - | - | - | - | |
| IV | 9,51 | - | - | - | - | |
2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (табл.2, графа 6). Используем эти оценки для расчета сезонной компоненты S в аддитивной модели (табл.3). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты Si. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются, то есть сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.
Таблица 3. Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели
| Показатели | Год | № квартала | |||
| I | II | III | IV | ||
| 1 | - | - | 0,72 | -1.11 | |
| 2 | -0,59 | 0,97 | 0,82 | -1,11 | |
| 3 | -0,72 | 1,00 | 0,89 | -1,20 | |
| 4 | -0,71 | 0,94 | - | - | |
| Итого за i-ый квартал (за все годы) | Х | -2,02 | 2,91 | 2,43 | -3,42 |
Средняя оценка сезонной компоненты за все годы, 
| Х | -0,67 | 0,97 | 0,81 | -1,14 |
| Скорректированная сезонная компонента S | Х | -0,66 | 0,98 | 0,82 | -1,14 |
|
|
|
Для данной модели имеем:
-0,67 + 0,97 + 0,81 – 1,14 = - 0,03.
Определим корректирующий коэффициент:
k = - 0.03 / 4 = - 0,008.
Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:
S = - k.
Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:
-0,66+0,98+0,82-1,14=0.
Занесем полученные значения S в таблицу 4 (графа 3) для соответствующих кварталов каждого года.
3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины Т +Е= уt – S (гр.4). Эти значения рассчитываются для каждого периода времени (квартала) и содержат только тенденцию и случайную составляющую.
Таблица 4. Расчет выравненных значений 
и ошибок Е в аддитивной модели
| t | yt=T+S+E | S | Т +Е = = уt – S | T | =T+S
| E= yt – -(T+S) | E2 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 1 | 7,51 | -0,66 | 8,17 | 8,15 | 7,49 | 0,018 | 0,0003 |
| 2 | 9,12 | 0,98 | 8,14 | 8,34 | 9,32 | -0,202 | 0,0407 |
| 3 | 9,13 | 0,82 | 8,31 | 8,53 | 9,35 | -0,220 | 0,0485 |
| 4 | 7,52 | -1,14 | 8,66 | 8,72 | 7,58 | -0,059 | 0,0035 |
| 5 | 8,26 | -0,66 | 8,92 | 8,91 | 8,25 | 0,012 | 0,0002 |
| 6 | 10,03 | 0,98 | 9,05 | 9,10 | 10,08 | -0,046 | 0,0022 |
| 7 | 10,04 | 0,82 | 9,22 | 9,29 | 10,11 | -0,065 | 0,0042 |
| 8 | 8,27 | -1,14 | 9,41 | 9,47 | 8,33 | -0,064 | 0,0041 |
| 9 | 8,84 | -0,66 | 9,50 | 9,66 | 9,00 | -0,162 | 0,0264 |
| 10 | 10,73 | 0,98 | 11,71 | 9,85 | 10,83 | -0,101 | 0,0102 |
| 11 | 10,77 | 0,82 | 9,95 | 10,04 | 10,86 | -0,090 | 0,0081 |
| 12 | 8,85 | -1,14 | 9,99 | 10,23 | 9,09 | -0,238 | 0,0569 |
| 13 | 9,54 | -0,66 | 10,2 | 10,42 | 9,76 | -0,217 | 0,0472 |
| 14 | 11,38 | 0,98 | 10,4 | 10,61 | 11,59 | -0,206 | 0,0424 |
| 15 | 11,63 | 0,82 | 10,81 | 10,79 | 11,61 | 0,0154 | 0,0002 |
| 16 | 9,51 | -1,14 | 10,65 | 10,98 | 9,84 | -0,333 | 0,1111 |
| Сумма | 0,4061 |
4. Определим трендовую компоненту Т в данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (Т+Е) с помощью линейного тренда (методика рассмотрена ранее). Результаты аналитического выравнивания следующие:
константа 7,964
коэффициент регрессии 0,188
R-квадрат 0,758
|
|
|
число наблюдений 16
Таким образом, линейный тренд имеет вид:
Т = 7,964 + 0,188 t
Подставляя в это уравнение порядковые номера кварталов (t = 1, … 16), мы найдем значение трендовой компоненты для каждого периода времени.
Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели 
=T+S. Для этого прибавим к уровням Т значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов
|
|
|
