Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Определение векторного пространства

Метод приведения к треугольному виду (метод Гаусса)

Напомним свойство 6 из элементарных свойств определителя: величина определителя не изменится если прибавить к любой его строке любую другую строку, умноженную на произвольную константу. Этот факт можно использовать для того, чтобы «сделать» в определителе побольше элементов равных нулю, т.к. содержащие эти элементы слагаемые выпадут из полного разложения определителя. Еще одно элементарное свойство — свойство 2, утверждает, что перестановка строк изменит знак определителя, но не изменит его абсолютную величину. Пользуясь этими двумя преобразованиями, можем поставить целью привести определитель к треугольному виду, т.е. к виду

Формализовать приведение определителя к треугольному виду возможно с помощью используюшегося при решении систем линейных уравнений метода Гаусса. Так, первый шаг преобразования определителя

будет состоять в «обнулении» элементов первого столбца: из второй строки вычитается первая, домноженная на , из третьей строки — первая, домноженная на и т.д. Все эти операции не изменяют величины определителя, но преобразуют его к виду

(при условии ). Теперь можно разложить по первому столбцу и свести задачу к вычислению определителя порядка .

Перемножая элементы главной диагонали, получим определитель матрицы

Ссылка 1.2

Операции над векторами

Определение

Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Сложение и вычитание векторов

Определение

Сложение векторов и осуществляется по правилу треугольника.

Суммой двух векторов и называют такой третий вектор , начало которого совпадает с началом , а конец - с концом при условии, что конец вектора и начало вектора совпадают (рис. 1).

Для сложения векторов применяется также правило параллелограмма.

Определение

Правило параллелограмма - если два неколлинеарных вектора и привести к общему началу, то вектор совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 2). Причем начало вектора совпадает с началом заданных векторов.

Вектор называется противоположным вектором к вектору , если он коллинеарен вектору , равен ему по длине, но направлен в противоположную сторону вектору .

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

1. - коммутативность

2. - ассоциативность

Определение

Разностью векторов и называется вектор такой, что выполняется условие: (рис. 3).

Умножение вектора на число

Определение

Произведением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий условиям:

3. , если , , если .

Свойства умножения вектора на число:

Здесь и - произвольные векторы, , - произвольные числа.

Векторное пространство

Определение вектора

Вектором называется упорядоченное множество из элементов поля, обозначаемое как . Величины называются компонентами (координатами) вектора. Число компонентов вектора называется длиной вектора. Векторы считаются равными, если равны их соответствующие компоненты. Число ненулевых компонентов вектора называют весом вектора Сложение двух векторов длины определяется следующим образом:

Умножение элемента поля на вектор производится покомпонентно:

причем сложение и умножение компонентов векторов происходит по правилам сложения и умножения в поле .

Для векторов введено понятие нормы [25, 33], которая для вектора определяется как , где символ означает суммирование в поле действительных чисел. Если компоненты вектора принадлежат двоичному полю, тонорма вектора совпадает с числом его ненулевых компонентов, т.е. с его весом.

Вектор , где – элементы поля, называют линейной комбинацией векторов . Векторы называются линейно зависимыми, если в существуют такие элементы , по крайней мере один из которых не равен нулю, такие что и линейно независимыми в противном случае. Если векторы линейно зависимы, то любой из них может быть выражен через линейную комбинацию остальных.

Определение векторного пространства

Множество называется векторным пространством, если для него выполняются следующие аксиомы:

V. 1. Множество является аддитивной абелевой группой.

V.2. Для любого вектора и любого скаляра – элемента поля определено произведение , являющееся вектором. Это произведение определено так, что , где – единичный элемент поля .