Перспектива точки и отрезка прямой

Все предметы и явления окружающей нас действительности представляют собой совокупность точек, прямых, плоскостей. Точка является основным и простейшим геометрическим элементом пространства. С нее начинают изучение и построение перспективных изображений на картине.
В предметной плоскости проецирующего аппарата зададим точку А' (рис. 14, а). Требуется построить ее перспективу. Сначала направляют в точку А' луч зрения SA' и находят точку пересечения его с картиной. Для этого через высоту точки зрения Ss и проецирующий луч SA' проводят вспомогательную плоскость, соединив точку стояния s с проекцией точки а' (Л' = а') Затем строят линию пересечения вспомогательной плоскости с картиной. Для этого отмечают точку ао пересечения оснований картины и вспомогательной плоскости. Вспомогательная плоскость горизонтально-проецирующая, так как она проходит через перпендикуляр Ss и картина перпендикулярна к предметной плоскости. Следовательно, линия их пересечения будет также перпендикулярна к предметной плоскости и к основанию картины. Поэтому через точку ао проводят прямую, перпендикулярную к основанию картины. Этот перпендикуляр пересечет луч зрения SA' в точке а, которая и будет искомым перспективным изображением точки А', заданной в предметной плоскости. На картине (рис. 14, б) положение точки Л = а определяют расстоянием роао вправо от линии главного вертикала и перпендикуляром а0А к основанию картины.
На этом же проецирующем аппарате задана точка В' (см. рис. 14, а). Ее пространственное положение определяется перпендикуляром В'Ь' к предметной плоскости, т. е. проекция Ь' является основанием точки В'. Сначала строят перспективу заданной точки. Для этого проводят лучи зрения в точку В' и ее проекцию Ь' и находят точки пересечений их с картиной. Заключив лучи зрения и высоту точки зрения в горизонтально-проецирующую плоскость, соединяют точку стояния s с проекцией точки Ь'. После этого ^строят линию пересечения вспомогательной и картинной плоскостей и отмечают точку Ьо пересечения их оснований. Через полученную точку Ьо проводят в плоскости картины перпендикуляр к ее основанию Точки пересечения лучей зрения с перпендикуляром (линией

Рис. 15

пересечения плоскостей) определят перспективу точки В и ее основания Ь. Отрезок ВЬ является перспективой расстояния, на котором точка В' находится от предметной плоскости.
На картине (см. рис. 14, б) пространственное положение точки В определяют расстоянием pobo влево от линии главного вертикала и перпендикуляром ЬОВ к основанию картины.
Сопоставим положение двух заданных точек в предметном пространстве с перспективным изображением их на картине. На проецирующем аппарате точка А' расположена ближе к зрителю, чем точка В'. На картине это отражено расстоянием вторичных проекций а и Ъ точек Л и Б до основания картины а0 и b0 (aao<:bbo).
Для построения перспективы точки направляют лучи зрения в данную точку и ее проекцию на предметной плоскости и находят точки пересечения их с картиной. Для этого через высоту точки зрения и проецирующие лучи проводят вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость и строят линию пересечения ее с картиной. Точки пересечения лучей зрения с линией пересечения плоскостей определят перспективу заданной точки и ее проекции.
Заметим, что точка Л' лежит в предметной плоскости. Ее расстояние от предметной плоскости равно 0, поэтому проекция точки а' на предметную плоскость совпадает с самой точкой Л' (А' = а'). Точка В' находится в предметном пространстве на расстоянии В' от предметной плоскости.
Положение точки называется частным, если она лежит в предметной или картинной плоскости. Положение точки называется общим, если она расположена в предметном пространстве и находится на некотором расстоянии от предметной и картинной плоскостей.
На основании вышеизложенного правила по изображению на картине можно определить пространственное положение точки. Так, на картине (рис. 15) задано семь точек (А, В, С, D, E, L, М). Требуется определить взаимное их положение.
Заметим, что четыре точки (А, В, С, D) расположены в левой части картины (они находятся слева от линии главного вертикала), а три точки (Е, L, М) - в правой части.
Относительно предметной и картинной плоскостей точки А и В занимают частное положение, так как точка А лежит в предметной плоскости, а точка В - в картинной. Остальные пять точек занимают общее положение.
Относительно линии горизонта точки А, В, D, М находятся ниже ее, точка Е - на уровне линии горизонта, точки С и L - выше горизонта. Поскольку точка А лежит в предметной плоскости, то она ниже всех. Выше всех точка L, хотя она на картине находится на одном уровне с точкой С, но перспектива / ее основания более удалена, чем с.
Для определения удаленности точек от картины следует сравнить расстояния от основания картины до вторичных проекций точек на предметную плоскость, т. е. их оснований. Точка В самая ближняя, так как она лежит в плоскости картины. За ней последовательно удалены точки М, С, D. Точки Л и? удалены на одинаковое расстояние от картины, так как их основания находятся на одной горизонтальной линии. Дальше всех от картины находится точка L.
Перспектива отрезка прямой. На проецирующем аппарате перспективу прямой можно определить как совокупность точек пересечения с картинной плоскостью лучей зрения, проведенных к каждой точке данной прямой. Эти лучи зрения образуют лучевую плоскость. Из геометрии известно, что пересечение двух плоскостей (в данном случае лучевой и картины) осуществляется по прямой линии (рис. 16, а). Из этого следует, что перспектива прямой есть прямая линия. В частном случае, когда прямая совпадает с направлением проецирующего луча, ее перспективным изображением будет точка.
Для изображения на картине отрезка прямой строят перспективу двух его точек. Прямая, соединяющая найденные точки, на картине определит перспективу заданного отрезка.
Рассмотрим на проецирующем аппарате построение в перспективе заданного в пространстве прямолинейного отрезка А'В'. Вначале строят перспективу А и В двух точек. Соединив на картине точки Л и В, а также их проекции а и Ь, получают перспективное изображение заданного отрезка АВ. Расстояние от точек до их проекций Аа и ВЬ определит на картине изображение перпендикуляров, связывающих заданный отрезок с предметной плоскостью (рис. 16, б).