Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

n прямоуг трапеции параболы

100 1.069589 1.069624 1.069561

аналитическое решение tr = 1.069561

Ошибка метода прямоуг трапеции параболы

Абсолютная 0.000032 0.000064 0.000000

Относительная 0.000030 0.000060 0.000000

Отлаженную программу необходимо «запомнить» под своим оригинальным именем на своем компьютере и, что очень желательно (во избежание затирания программы другим пользователем), на дискете или на «флэшке».

Четвертый этап выполнения работы состоит в аналитическом

расчете значения заданного определенного интеграла и его первообразной в рабочей тетради. Данный этап может быть выполнен дома.

Например, пусть заданный интеграл имеет вид .

Mathcad выдал следующий результат:

Аналитические расчеты: .

Под знаком интеграла стоит рациональная дробь. Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей

= + + + .

Тогда

x ⁴ + 1 = A (x ² + 1) + B x (x ² + 1) + C x ²(x ² + 1) + (D x + E) x ³,

т.е. x ⁴ + 1 = (C + D) x ⁴ + (B + E) x ³ + (A + C) x ² + B x + A.

Отсюда

Решение системы имеет вид: A = 1, B = 0, C = –1, D = 2, E = 0. Т.о.,

= – + .

Следовательно,

= = – + =

= = =

= – + – ln2 + ln1+ ln5 – ln2 = ln + .

Пятый этап работы заключается в записи в отлаженную

программу (в раздел описания функций) описания «своей» подынтегральной функции (в предложенной выше программе это pif) и «своей» первообразной (в программе это prv):

function pif(x: real): real; {подынтегральная функция}

Begin

pif:=(sqr(x)*sqr(x)+1)/(sqr(x)*x*(sqr(x)+1))

end;

function prv(x: real): real; {первообразная функции}

Begin

prv:= –1/(2*x*x) –ln(x)+ln(x*x+1)

end;

При записи функций следует обратить внимание на операцию деления. Например, правильная запись дроби может иметь вид sqr(a)*a*b*c/(r*t*sqr(s)), или sqr(a)*a*b*c/ r / t / sqr(s), или a*a*a*b*c/(r*t*s*s), или какой-либо другой, но обязательно знаменатель должен быть в скобках или его множители должны быть отделены друг от друга операцией / (деление). Числитель брать в скобки нужно в случае, если это многочлен.

Другая особенность данного этапа состоит в ограниченности библиотеки встроенных функций PASCALя. Для записи встречающихся в заданиях функций используются функции

sin(x), cos(x), sqr t(x) (), sqr(x) (x ²), atan(x) (arctg x), ln(x), abs(x) (| x|), а также постоянная pi (π).

Для записи других функций следует пользоваться тождественными формулами:

tg x = , arcsin x = arctg ,

arcctg x = – arctg x, arccos x = arcctg .

Еще два замечания:

1) Так как встроенная функция sqr(x) выполняется значительно дольше, чем операция * (умножение), то при возведении в целую степень при небольших значениях показателя степени желательно использовать операцию умножения.

2) Если в выражении функции некоторая степень встречается несколько раз, ее желательно вычислить один раз и в дальнейшем использовать вычисленное значение. Например, функцию y = x ⁵ + sin(x ⁵ + x ⁴ – x ³) можно описать так:

function primer (x: real): real;

y: real;

Begin

y:= x*x*x*x*x;

primer:= y+sin(y+y/x–y/x/x)

end;

Шестой этап представляет собой защиту работы.

Программа пропускается со значениями n, равными 5, 10, 25, 100,1000. При этом необходимо:

1. Знать теоретические основы методов численного интегрирования.

2. Уметь объяснять полученные результаты, как-то, как и почему влияет на оценку интеграла число разбиений отрезка интегрирования, какой из методов «лучше», т.е. какой из методов быстрее сходится по n к точному значению.

3. Уметь объяснять функциональное назначение отдельных операторов и мест в программе.

4. Показать результаты аналитических расчетов в рабочей тетради.

5. Уметь выполнить интегрирование в Mathcad.

6. Одним из методов при небольшом значении n вручную получить приближенное значение какого-нибудь простого определенного интеграла, предложенного преподавателем. Для этого может быть использован список таких заданий, предложенный в приложении 2. При выполнении этого задания можно пользоваться калькулятором.

Пример выполнения такого задания представлен ниже.

Примеры выполнения задания ручного счета.

1. Вычислить приближенно значение интеграла

методом прямоугольников, разбив отрезок интегрирования на n = 4 частичных отрезка и выбрав точки ξ_k в концах частичных отрезков.

Задача состоит в вычислении суммы четырех

прямоугольников с основаниями Δ х = (4 – 0)/4 = 1

и высотами, равными значению подынтегральной

функции y = в точках х =1,2,3,4.

Составим таблицу

x	y	Δ S= Δ x× y

	1,25	1,25

	3,25	3,25

Искомый интеграл приближенно равен площади ступенчатой фигуры, изображенной на рисунке.

≈ S = 1 + 1,25 + 2 + 3,25 = 7,5.

Непосредственное применение формулы (2) дает тот же результат:

≈ (1 + 1,25 + 2 + 3,25) = 7,5.

Проверка: = = + 4 + = 6 .

2. Вычислить приближенно значение интеграла

методом прямоугольников, разбив отрезок интегрирования на n = 4 частичных отрезка и выбрав точки ξ_k в серединах частичных отрезков.

Задача состоит в вычислении суммы четырех

прямоугольников с основаниями Δ х = (4 – 0)/4 = 1

и высотами, равными значению подынтегральной

функции y = в точках х = 0.5, 1.5, 2.5, 3.5.

Составим таблицу

x	y	Δ S =Δ x × y
	0,5	1,063
	1,5	1,063
	2,5	1,563
	3, 5	2, 563

Т.о., ≈ 1,063 + 1, 063 + 1,563 + 2,563 = 6,252.

Непосредственное применение формулы (3) дает тот же результат:

≈ (1,063 + 1, 063 + 1,563 + 2,563) = 6,252.

3. Вычислить приближенно значение интеграла

методом Симпсона, разбив отрезок интегрирования на m = 4 частичных отрезка.

Воспользуемся формулой трапеций (7). В нашем примере 2 n = m = 4. Следовательно, n = 2. Задача состоит в вычислении суммы площадей двух криволинейных трапеций с высотами, равными 2 и ограниченных сверху параболами, первая из которых проходит точки y ₀ = y (0), y ₁ = y (1), y ₂ = y (2), а вторая – через точки y ₂ = y (2), y ₃ = y (3),