Критерий устойчивости Найквиста.

На практике более широкое по сравнению с критерием Михайлова применение нашел частотный критерий Найквиста, который позволяет судить об устойчивости системы по частотным характеристикам разомкнутой системы. Рассмотрим случай, когда разомкнутая система устойчива и не содержит интегрирующих звеньев. Введем вектор

F(jw) = 1 + W(jw) = , (5.13)

где - частотная передаточная функция разомкнутой системы.

Числитель (5.13) является характеристическим вектором замкнутой системы, а знаменатель - характеристическим вектором разомкнутой системы. Определим изменение аргумента вектора F(jw) при изменении частоты w от 0 до +¥ для случая, когда замкнутая система устойчива:

D arg F(jw) = D arg [L(jw)+N(jw)] - D arg L(jw) = 0 при 0£w£+¥.

Таким образом, если разомкнутая и замкнутая системы устойчивы, то изменение аргумента вектора F(jw) равно нулю, следовательно, его годограф не охватывает начала координат. В противном случае, когда годограф F(jw) охватывает начало координат, изменение его аргумента не равно нулю и система в замкнутом состоянии неустойчива. Очевидно, что об изменении аргумента вектора F(jw) удобнее судить по годографу частотной характеристики разомкнутой системы, т.е. по ее амплитудно-фазовой частотной характеристике. Действительно, изменение аргумента вектора F(jw) будет равно нулю, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1, j0).

Если система содержит r интегрирующих звеньев, число r которых определяет степень астатизма системы, то начальное значение фазовой частотной характеристики равно -r , а амплитудной частотной - бесконечности, система в разомкнутом состоянии нейтральна. В таких астатических системах для удобства оценки устойчивости АФЧХ разомкнутой системы дополняют дугой бесконечного радиуса, начинающейся на положительной вещественной полуоси комплексной плоскости. Формулировка критерия устойчивости при этом не изменяется.

Если АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку с координатами (-1, j0), то система в замкнутом состоянии находится на границе устойчивости.

Аналогичным образом доказывается критерий Найквиста и для случая, когда разомкнутая система неустойчива.

Формулировка критерия.

1. Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы не охватывала точку с координатами (-1, j0).

2. Если разомкнутая система неустойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы охватывала точку с координатами (-1, j0) и при изменении частоты от 0 до ¥ оборачивалась вокруг нее против часовой стрелки m раз, где m - число полюсов разомкнутой системы с положительной вещественной частью.

а) б)

Рис.5.10. АФЧХ статических разомкнутых систем

 

Графики на рис.5.10,а соответствуют абсолютно устойчивой, нейтральной и неустойчивой системам. Система, АФЧХ разомкнутой цепи которой пересекает вещественную ось только справа от точки с координатами (-1, j0), называется абсолютно устойчивой. В таких системах неустойчивость может наступить только при увеличении общего коэффициента передачи разомкнутой цепи.

Если АФЧХ разомкнутой системы (рис.5.10,б) пересекает вещественную ось и слева от точки с координатами (-1, j0), но при этом число положительных (сверху вниз) переходов характеристики через ось абсцисс левее точки (-1) равняется числу отрицательных переходов (снизу вверх), то систему называют условно устойчивой. Неустойчивой такая система может быть как при увеличении, так и при уменьшении общего коэффициента передачи разомкнутой цепи.

Если передаточная функция разомкнутой системы содержит в своем составе интегрирующие звенья, то АФЧХ начинается в бесконечности (рис.5.11).

Рис.5.11. АФЧХ астатических разомкнутых систем

 

Графики на рис.5.11 соответствуют устойчивым системам с первой, второй и третьей степенями астатизма.

 

Запасы устойчивости

 

В процессе работы системы ее параметры (коэффициенты передачи и постоянные времени) из-за изменений внешних условий, колебаний напряжений источников энергии и других причин отличаются от расчетных значений. Если не принять определенных мер, то система может стать неустойчивой. Для исключения этого явления при проектировании следует обеспечить определенные запасы устойчивости системы, которые характеризуют близость амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы к точке с координатами (-1, j0).

Запасы устойчивости определяют на двух частотах: частоте среза w_с и критической частоте w_кр. На частоте среза АЧХ разомкнутой системы равна единице, на критической частоте ФЧХ принимает значение, равное -p.

Различают запас устойчивости по амплитуде (модулю) и запас устойчивости по фазе.

Запас устойчивости по амплитуде задается некоторой величиной h (рис.5.12,а), на которую должен отличаться модуль АФЧХ разомкнутой системы от единицы на частоте, при которой фаза равняется -180⁰, т.е.

. (5.14)

а) б)

Рис. 5.12. АФЧХ разомкнутой системы

 

Запас устойчивости по фазе задается некоторым углом m (рис.5.12,б), на который должна отличаться фаза АФЧХ разомкнутой системы от -180⁰ на частоте, при которой модуль равняется единице, т.е.

. (5.15)

В хорошо демпфированных системах запас устойчивости по амплитуде составляет примерно 6¸20 дб, что составляет 2¸10 в линейном масштабе, а запас по фазе - 30¸60⁰.

Чтобы спроектировать систему с заданными запасами устойчивости по модулю h_з и фазе m_з, строят запретную область вокруг точки с координатами (-1, j0), в которую не должна заходить АФЧХ разомкнутой системы (рис.5.13).

Рис. 5.13. Запретная область для АФЧХ разомкнутой системы

 

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: