Графический способ решения матричных игр

Решение матричной игры, платежная матрица которой имеет размер­ность 2x2 (9.11), может быть представлено графически. В координатных осях XOY рис. 9.1 по оси абсцисс откладывается единичный отрезок, ле­вый конец которого (точка х = 0) соответствует стратегии A₁ а правый (точка х = 1) — стратегии А₂.. Промежуточные точки х_i соответствуют ве­роятностям смешанных стратегий игрока I, то есть X = (x₁, x₂). На осях Y и откладываются выигрыши при стратегиях А₁ и А₂ соответственно.

 

Рис. 9.1

Если игрок II принимает стратегию В₁ то выигрыш игрока I при ис­пользовании чистых стратегий А₁ и А составляет а₁₁ и a₂₁ соответственно. Соединим точки отрезком (рис. 9.1), который называется стратегией В₁ игрока II.

На этом же графике отмечаются значения а₁₂ на оси Yи a₂₂ на оси , которые соответствуют стратегии В₂ игрока II. Ординаты точек отрезка соответствуют среднему выигрышу игрока I при применении им чистых стратегий А₁ и А₂ с соответствующими вероятностями х₁ и х₂. Точка пересечения отрезков и является точкой максимина (точка К рис. 9.1). Отрезок КМ соответствует цене игры, равной V, кото­рую выигрывает игрок I. Ломанная определяет нижнюю границу игры.

Пусть платежная матрица имеет вид:

 

Определить вероятности игроков x_v х₂ и, у₁ у₂ цену игры V; Для определения вероятности х_х и х₂ игрока I измеряем отрезки и ОМ, учитывая масштаб построения графика. Вероятности игрока II определяем из условий:

(9.21)

На рис. 9.1 указаны верхняя и нижняя цены игры и а выигрыш игрока I составляет V = КМ в соответствующем масштабе.

Решение игры 2x2 Пример 9.5

Найти оптимальные стратегии игроков и цену игры, если платежная матрица С имеет размерность 2x2, то есть

(9.22)

Решение

1. Определяем нижнюю и верхнюю цены игры, применяя максималь­ную и минимаксную стратегии:

Так как то седловая точка отсутствует и решение определяем в смешанных стратегиях, вычисляя вероятности соответствующих стра­тегий.

2. Задачу решаем графически в координатных осях XOY с позиции игрока I, откладывая значения стратегий В₁ и В₂ на осях Y и (рис. 9.2).

Рис. 9.2

Соединим точки с ординатами 9 и 3 отрезком , а точки 4 и 6 отрез­ком расположенные на координатных осях Yи соответственно. Точка пересечения к этих отрезков определяет решение задачи. Проекти­руя точку k на координатные оси х и определяем искомые вероятности X и Y для игроков I и II. Для этого измеряем отрезки МА₂ = x₁, A₁M = х₂ и КМ = V — цена игры.

Вероятности у₁ и у₂ определяем по формулам:

3. Составляем системы уравнений для определения вероятностей смешанных стратегий и цену игры для игроков I и II на основании пла­тежной матрицы:

(9.23)

игрок I

(9.24)

игрок II

(9.25)

Решая системы (9.24) и (9.25), определяем вероятности X и Y и цену игры V:

Смешанные стратегии имеют вид:

или

Ответ:

Решение игры с матрицей 2хn

Пример 9.6.

В ходе деловой игры возникла конфликтная ситуация двух юридиче­ских лиц. У одного из них имеется четыре стратегии. У другого — пять. Платежная матрица имеет вид:

 

(9.26)

Определить оптимальные стратегии игроков и цену игры.

Решение

1. Находим нижнюю и верхнюю цены игры, применяя максиминную и минимаксную стратегии игроков I и II:

Так как то седловой точки нет. Задачу решаем в смешанных стра­тегиях. Цена игры находится в пределах

2. Сокращаем размерность матрицы А, исключая дублирующую (чет­вертую строку — А₄) и доминируемую (третью строку — А₃) стратегии игрока I.

Расчетная матрица С принимает вид:

(9.27)

3. Находим нижнюю границу игры графическим способом в коорди­натных осях XOY для расчетной матрицы С (9.27) (рис. 9.3). Для этого на оси абсцисс строим отрезок [0, 1], через концы которого проводим две перпендикулярные оси у и На оси у откладываем в масштабе выигры­ши игрока I (стратегия А{) на оси — элементы стратегии А₂, соответст­вующие различным сочетаниям игроков I и II, то есть рассматриваем решение с позиции игрока I, у которого две активные стратегии.

Ломанная определяет нижнюю границу игры, а точка К соответствует максиминной стратегии игрока I и указывает две активные стратегии В₁ и В₃ игрока II (точка К пересечение двух отрезков и рис. 9.3). Выделяя в матрице С активные стратегии В₁ и В₃ игрока II, по­лучаем матрицу 2x2 в виде:

 

Рис. 9.3

Составляем системы для определения вероятностей x₁ х₂, у₁ и у₂ и цену игры V:

игрок I

(9.28)

игрок II

(9.29)

Решая системы (9.28) и (9.29), определяем:

 

Ответ:

Решение игры с матрицей тх2

Пример 9.7.

Найти решение игры, т.е. определить оптимальные стратегии игроков I и II и цену игры V, если платежная матрица А имеет вид:

Решение

1.Определяем нижнюю и верхнюю цены игры, применяя максималь­ную и минимальную стратегии, т.е. Седловой точки нет, и цена игры ограничена

2.Решаем задачу в смешанных стратегиях. Сокращаем размерность матрицы А, исключая дублирующую (третий столбец) В₃ и доминирую­щую (четвертый столбец) B₄ стратегии игрока II. Получаем расчетную матрицу С, размерность которой 5x2.

3.Находим верхнюю границу игры графическим способом в коорди­натных осях YOX. Решение ведем с позиции минимаксной стратегии иг­рока II, у которого имеется две активные стратегии В₁ и В₂.

4.Определяем активные стратегии игрока I. На оси OY откладываем отрезок, равный 1, т.е. [0; 1]. Через концы этого отрезка проводим две перпендикулярные оси X и (рис. 9.4).

 

 

Рис. 9.4

На осях X и откладываем проигрыши игрока II, соответствующие каждой стратегии игрока I, и проведем отрезки

Верхняя граница игры выделяется ломаной линией , что соответствует минимаксной стратегии игрока П. Точка К на ломаной соответствует минимаксному проигрышу игрока II и определяется пе­ресечением отрезков и , что соответствует активным стра­тегиям игрока I. Матрица сводится к размеру 2x2, на основании кото­рой составляются системы уравнений для определения вероятностей х₁,х₂, у₁, у₂ и V.

Матрица 2x2 имеет вид:

 

Решая соответствующие системы, определяем вероятность и цену игры:

Ответ:

123	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: