 |
Функции нескольких переменных
|
|
|
|
На каком из рисунков изображена область определения функ-
1п(2 - х + у)
Ции
х + у
| * | Ч■ | i | |
| у у у |
| / | |
| V | |
| ✓ | |
| \ | |
| \ | - 2 |
| \ | |
| \ | |
| а) |
| у J | |||||
| ✓ | \ \ | ||||
| у | |||||
| л | \ | Ш У | |||
| —► | \ ---- ^------ к | ||||
| К | * | ||||
| X | |||||
| N | \ | / 9 | У | ||
| у | \ | ||||
| у |
/
( 5)
| у | р | к | ||||||||||
| N Л | ||||||||||||
| \\ | Ч' | /\\\ \1 | \ | у | -► | 2* | i | |||||
| У у: | / | |||||||||||
| \ | У | V И | ||||||||||
| \ | У | |||||||||||
| 2Ч | ||||||||||||
| \ | ||||||||||||
| \ | ||||||||||||
| / | / | X | W | 2 \ | X | |||||||
| / | \ | У | ||||||||||
| / | У | У | ||||||||||
| У | ||||||||||||
| У | ||||||||||||
| У | ||||||||||||
| в) | г) | д) |
| \ |
| \ |
| \ |
2 \ X
\
4.2. Функция нескольких переменных является дифференцируемой, ес-
ли
а) существует полное приращение функции; б) существует полный дифференциал функции; в) функция непрерывна по всем аргументам;
|
|
|
г) частная производная по одной из переменных равна нулю; д) частная производная по одной из переменных не существует.
4.3. Укажите полное приращение функции J{x; у ):
а) /х+ Д х/у)./(х;у); б) f{x;y+ky). /(х,у); в) /х+Дх/у+Ду)./(х;у); г)./(х Ах,-у Ду)
д ) f'xAx; е) f \ A y.
4.4. Укажите частное приращение функции Дх; у) по переменнойу:
| а) | /х+ Д х/у),/(х;у); | б) | )(х;у Ду),/(х;у); |
| в) | /х+Дх/у+Ду),/(х;у); | г) | /(х+Ах;у+Ау) |
| Д ) f xAx; | е) | f \ A y. |
д z
4.5. Найти дхду, если г = 1п(х+у2)
| 2у | 2у | 2 х - 2 у 2 | 2у | ||||
| б) | (х + у 2 | \ | в) | С* +/) 2 | г) 0; д) | ||
| а) У + У)2 ’ | ) | x + y z |
е) другой ответ.
4.6. Найти д 3и, если и= ze ху
дхдуд:
a) уе’Ч б) е^'+хуц9'; в) хуё^’\ г) е^; д) хе ху. е) другой ответ.
| dx л | 2* | x | найти z" | |||
| 4.7. Зная, что d z= | dxdy | j d y | ||||
| x | у | у | ^ | |||
| x | \ 1x |
e) другой ответ
4.8. Чтобы найти стационарную точку функции z =/{х,у), надо решить систему:
| 4.9. | ||||||
| Стационарной точкой функции z =х+ху+у +Зу+4 является | ||||||
| а) | (0; 0); | б) (1; 2); | в) (1; -2); | г) (2; -1); | ||
| д) | (-2; | 1); | е) (2; 1); | ж) другой ответ. | ||
| 4.10. | В | стационарной | точке Р функции | нескольких переменных |
и =flxi, ...,хи)ее полный первый дифференциал du удовлетворяет условию
a) du(P) = 0; б) du(P) > 0; в) du(P) < 0; г) du(P) не существует.
| 4.11. Если для функции Дх;у) | справедливо f ' x (х0; у0) = f 'y (х0; у0) = 0, то | |||
| можно утверждать, что | ||||
| а) | (х0; >'о) - | точка экстремума функции; | ||
| б) (х0; >'о) - | стационарная точка функции; | |||
| в) | (х0; >'о) - | точка разрыва функции; | ||
| г) | (х0; >'о) - | граничная точка функции. | ||
| 4.12. | Если | точка Мо (ху; Vo) | является точкой экстремума функции | |
| Z =flx,y), то верно что | ||||
| а )Г х (*о, У о) =Г У (*о, У о) = 0 | ; | б)/'* (х0, у 0) = f ' y (х0, у 0) = 1; | ||
| в )Г х (х0, Уо) < / ', (х0, У о) < 0 | ; | г ) f ' x (х0, у 0) >Г У (х0, У о) > 0; | ||
Д) Г х (Х о, У о) * Г у (Х о, У о).
|
|
|
4.13. Если непрерывная в замкнутой области D функция z=j\M) прини мает в точке Р наибольшее значение, но Р не является точкой максимума функции, то можно утверждать, что
а ) Р - точка экстремума функции; б) Р - внутренняя точка функции; в) Р - точка разрыва функции; г) Р - граничная точка функции.
4.14. Для отыскания условного экстремума функции нескольких пере менных можно применять... (указать ВСЕ варианты)
а) правило Лопиталя; б) метод множителей Лагранжа; в) метод Рунге-Кутта; г) метод логарифмического дифференцирования;
д) метод сведения к безусловному экстремуму (метод подстановки).
Интегральное исчисление
Неопределенный интеграл и его свойства
Среди перечисленных функций укажите ВСЕ, которые являются
| первообразными для функции У | |||||
| YTT~ • | |||||
| COS | ZX | ||||
| a) tg 2х | б) ctg 2х | в) - tg 2х | г) - ctg 2х | ||
| д) 2tg 2х | е) 2ctg 2х | ж) tg | 2х + 2 | з) 2 - ctg 2х |
5.2. Среди перечисленных функций укажите ВСЕ,которые являются
| первообразными для функции у =1пх: | |||
| а) 1/х; | б) xlnx - х; | в) xlnx + х; | |
| г) xlnx + 3; | д) 2 + xlnx | - х; | е) (1/х) + С. |
| 5.3. Если F(x) - | первообразная дляД х), то J 2f(3x)dx равен | ||
| a) 2F(3x)+C; | б) 6F(3x)+C; | в) (2/3)F(3x)+C; |
г) (3/2)F(3x)+C; д) F(6x)+C.
5.4. Среди перечисленных интегралов укажите ВСЕ, которые вычис ляются с помощью формулы интегрирования по частям:
| а) | COS3 X dx | ; | б) Jxcosx dx; | в) Jx c o sx 2 dx; | г) Jx ex dx; | |
| ; | e) | х 1пхй 6с; | ж) J —p dx | |||
| д) Jx ex dx | |||||
| \ X |
5.5. Среди перечисленных интегралов укажите ВСЕ,которые вычисляются методом «внесения под знак дифференциала»:
| а) | COS3 X dx | ; | б) Jxcosx dx; | в) Jx c o sx 2 dx; | г) Jx ex dx; | ||||||||
| д) | ; | e) JxlnxtZx; | ; | ж) | J —p dx | |||||||
| Jx ex dx | ||||||||||||
| \ X | ||||||||||||
| 5.6. | К какому виду преобразуется интеграл | r | dx | после подста- | ||||||||
| I | . | |||||||||||
| x+ V x + 6 | ||||||||||||
| новки х +6= t2? | ||||||||||||
| а) | г 2 dt | б) | Г 2t | ; | в) | г | 2 dt | ; | г) | г 2 dt | ||
| J 1 ---- i | I —2 ------- dt | I —2 ------- - | I —2— -. | |||||||||
| J r + t | J J t 2+ t - 6 | J r + t + 6 | J r + | |||||||||
| 5.7. ЕслиДх) - | первообразная для g(x), тоJ f'(x)■g'(x) dx | равен | ||||||||||
| a)./(x)g(x)+C; | б)/(х) +C; | в) (l/2)g2(x)+C; | г) g2(x)+C; д) 0. |
Определенный интеграл и его свойства
|
|
|
| z. | Z. | |
| 5.8. Зная, что | | f { x) d x =3^вычислитьJ (1- 2f { x)) d x , | |
| ч | ||
| 5.9. Зная, что | | f{x)dx - 3? | f{x)dx - 1?вычислитьJ/ | (x)dx. |
| Z. | ||
| 5.10. Зная, чтоJ f{x)dx =з и д х) _четная, вычислить| | f(x)dx | |
| -2 |
2 Л 1 - X 2 х
5.11. Вычислить 1)| | — ~ т —dx
1 X
F (2 —
о л/х + 4
з
5.12. Вычислить | W l + sin х dx #
5.13. Вычислить х dx
| и | V l - x 2, | «рм х е [-1; — 1=) | |||
| 5.14. ВычислитьJД х) dx f если/О) | л/2 | ||||
| - х, | |||||
| «рм х е [— j=; 0] | |||||
| л/ 2 | |||||
| а) л; б) -л; | в) л/2; г) -л /2; | д) л/8; | е) -л /8 | ; ж) другой ответ. | |
| л | |||||
| 5.15. Найти Ф(х), если Ф(х) = | sin(/ )d t. | |||||
| о | |||||
| a) 2xsin(x2); | б) 2xcos(x2); | в) sin(x2); | |||
| г) cos(x) | д) sin(x )dx; | е) cos(x) - | 1. |
5.16. Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из них имеет наиболь
| шее значение: | i | l | l | ||
| а) |sin xdx ■ | б) J ig xdx | • | в) J x 2dx • | г) Jxdx | |
| 1/2 | 1/2 | 1/2 | 1/2 |
Воспользуйтесь геометрическим смыслом определенного интеграла
5.17. Если на [1;4] 2 < Д х ) < 3, то выполняется неравенство
| а) 6 < j* f(x)dx< 9; | б) 2 < | f(x)dx < 3; | в) 8 < { /(* > & < 1 2; |
| г) 0 < | f(x)dx < 1 2; | д) 10 < j* f(x)dx < 15; | е) другой ответ. |
5.18. Функция Дх) непрерывна на [1;4] и на этом отрезке ее наибольшее значение / наиб = 5 и наименьшее значение / наИм = 2. Из предложенных нера венств выберите ВСЕ верные:
| a) | J f{x)dx < 1 5 | - | б) | J f{x)dx > 6 • | в) J f{x)dx < 5 • |
| г) | J f(x)dx > 20 | ; | д) | J f(x)dx > 0. |
Геометрические приложения определенного интеграла
5.19. Если на рисунке 5.1 дуга АВ - это график функции у = Д х), то площадь заштрихованной фигуры вычисляется по формуле
| a) \ f (x) d x • | б) я - |(/(х)) 2й6с; | в) jV 1 + (/*')2^; |
| а | а | а |
| tc | tc | tc |
г); д) t f j (/ (0) V (0 ^; е) J + (g ',)2 dt.
^a ^a ^a
5.20. Если на рисунке 5.1 дуга АВ - это график параметрически задан
| ной функции у | x = g(t), te[ta; tc\, то длина этой дуги вычисляется по | ||
| формуле | |||
| a) \ f (x) d x • | б) 7t \ { f { x) f dx • | в) | JV 1 + (/.')2dx ■ |
| а | а | а | |
| г) | ; д) 7i\{ f { t)) 2g \t) d t • | е) | jV c /7)2 +(g't) 2dt |
|
|
|
У
о
Рис. 5.1
Несобственные интегралы
5.21. Среди перечисленных интегралов укажите ВСЕ расходящиеся:
| с | ах | с | ах | + С О | с г | ах. | _ с | ах | |||||
| + С О | у | {? | |||||||||||
| а) | Ь | t O - Z) | „ | 5х dx б -) r) J | J- | -- --, - | - | ^ д | т); I — в | ||||
| з (* - 2) | о \ 9 —х | ' j x l n x | |||||||||||
| 5.22. | Известно, | что | j ' xdx | _ | сходится | ли | интеграл | ||||||
| \ ~ х | ’ выяснить, | ||||||||||||
| j* | ах | ||||||||||||
| СО | |||||||||||||
| J | 7 • Если, да, то вычислить его. | ||||||||||||
| -1 б | — | I |
Кратные интегралы
6.1. Укажите ВСЕ формулы, которые применяют для вычисления объ ема тела V в различных системах координат:
| a) J |J rfP б Л | р dz • | 5) | H I р | dp б | Л р б / г | • |
| V | V | |||||
| в) 4H I г sin 0 dn dQ dtp • | г) | | | | r 2 sin 0 <ir <i0 t/ф | • | |||
| V | V | |||||
| д) | dz • | e) | | | | r | 2 sin0 | соБф dr dQ dq> | |
| V | V |
|
|
|
