Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

В какой системе координат при вычислении тройного интеграла




 

элемент объема dv =рdp dtp dz?

 

а) в декартовой; б) в цилиндрической; в) в сферической;

 

г) в полярной; д) в гармонической.

 

6.3. Как записывается уравнение сферы радиуса а с центром в начале координат в сферической системе координат?

 

а) х 1 + у2 + z 1 1; б) г2 + z =а 1; в) г=а; г) г=а 1; д) г2sin0 = а.

 

6.4. Если плотность y=x+y+z, то масса пирамиды, ограниченной коор­ динатными плоскостями и плоскостью x+y+z= 4, вычисляется по формуле:

 

4 4 4 4 4 - х 4 - х - у

 

а) | dxj d yj (х + у + z)dz 5 ^ jd x j d y | (x + у+ z)dz      
  О О О   О О О          
                      4 - х 4 - х - у
в) | xdx + 1 ydy + | zdz г) | dxj d yj 4 dz • jd x   j d y 1 4 dz
                         

 

 

6.5. В цилиндрической системе координат объем параболоида, ограни­ ченного поверхностями z =х?+у2 и z = 4, равен

 

2л 2 4 2л 2 4

 

а) | ф J р ф j* <iz 5) | ф | ф | dz
      р2         р2
            pz
в) 1 Ф J*Р Ф j* ' г) fdcpfp dp f d z
      о     -   О

 

6. 6. Укажите ВСЕ формулы, которые применяют для вычисления пло­ щади плоской фигуры в различных системах координат:

 

a) f f d p ф ; б) JJp Ф Ф; в) JJp2sincp dp ф;
D   D D
r) JJ dx dy д) JJ xy dx dy  
D   D  

 

6.7 На рисунке 6.1 заштрихована область D: x 2 +y2 < 4; у > - x; у > 0.

 

 

Рис. 6.1

 

Площадь области D (в полярной системе координат) равна

 

  З л / 4   З л / 4   З л / 4  
а) J ф | dp б) J Ф J Р Ф; в) J ф {.УФ;
             
  З л / 4   З л / 4      
г) \ М р2sincp dp д) Р2Ф; е) W р2БШф dp
  о о О -2 -1 О

 

6. 8. На рисунке 6.1 заштрихована область D: х 2 +у2 < 4; у > -х; у > 0. Если плотность плоской пластинки D задается формулой у (х,у) =у, то

 

Масса этой пластинки (в полярной системе координат) равна

 

З л / 4 2 З л / 4 2 З л / 4 2

 

a) J ф { Ф; б) J Ф J Р Ф; в) J ф { У Ф;  
               
З л / 4     З л / 4        
г) р2 sincp dp д)   Р2Ф; е) W p 2 sin ф dp  
о о   О -2 -1 О  
  х 8+ у 8          
  ЯD у dx dy ^ если областьD: у > х 2; у < 1.  
  хе  
а) 1; б) -1; в) 5; г) е; д)0.      

 

Дифференциальные уравнения

 

Дифференциальные уравнения первого порядка

 

7.1. Укажите тип дифференциального уравнения (2х + 1)у' + у = х:

 

а) с разделяющимися переменными; б) однородное;

 

в) линейное; г) Бернулли;

 

д) в полных дифференциалах; е) другой тип.

 

Укажите общее решение дифференциального уравнения

 

(2х +1 )dy + y 2dx = 0:

 

а) у = 21n| 2х + 1 | +С; б) у = In | 2х+С |; в) У= ----- —;

Z. Д-

 

^ = In | 2х + 11 +С; a)y=b i h v \ ’ e) j = 3 1 n U |,

 

Укажите частное решение дифференциального уравнения

 

у ' + = 4,удовлетворяющее начальному условию у( 0 ) = 5:

 

а) / = е-2' + 5. j = l n | C - 2 * |. в) ^ = 5 _ 2 д;;

 

г) ^ = Зе- + 2. д) / = е — + 2; е)3' = 5е2'.

 

Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите

 

уравнение с разделяющимися переменными:

 

а) 2 х у у ' - у 2 + х = 0; б) у '+ у cosx = 0; в) (1 - х){у’ + у) = е~х;

 

г) ху' =у(1+ In JC- Inу); д) ху" = у '.

 

7.5. Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите од­

 

нородное уравнение:

 

а) 2хуу' - у 2 + х = 0; б) у '+ у cosx = 0; в) (1 - х){у' + у) = е~х;

 

г) ху' =у(1+ InJC- Inу); д) ху" = у'.

 

7.6. Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите ли­

 

нейное уравнение:

 

а) 2хуу' - у 2 + х = 0; б) у' + д/уу=0; в) (1 - х)(у ' + у) = е~х;

 

г) ху' = у (1 + In JC- In у); д) ху" = у '.

 

Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите

 

уравнение с разделяющимися переменными:

 

a) ydx + (2 *Jxy - x)dy = 0; б) (х2 + у 2 + 2x)dx + 2xydy = 0;

 

в) (х - y 2)dx + 2 xydy = 0; г) (ху2 + x)dx + (х2у - y)dy = 0;

 

д) (х2 + y)dx - xdy = 0.


 

 


Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите

 

уравнение Бернулли:

 

а) (х2 + y)dx - xdy = 0; б) ( х2 +у2 + 2x)dx + Ixydy = О;

 

в) (х-у2)dx + Ixydy = О; г) (ху2 + x)dx + (х2у—y)dy = О.

 

7.9. Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение в полных дифференциалах:

 

a) ydx + (2 Jxy - x)dy =О; б) (х2 +у2 + 2x)dx + 2xydy = О;
в) (х - y 2)dx + 2xydy = О; г) (ху2 + x)dx —(х2у—y)dy = О;
д) (х2 + y)dx —xdy =О.  

 

7.10. Укажите частное решение дифференциального уравнения ху' = 1:

 

а )у= 1п|х|+С; б )у= 1п|х+С|; в =1п|х|;
г) у=еСх; д) у= 21п|х|; е) у= 1п|х+11.

 

7.11. Укажите общее решение дифференциального уравнения ху' = 1:

 

а )у= 1п|х|+С; б )у= 1п|х+С|; в =1п|х|;
г )у=еСх; д) у = 21п|х|; е )у= 1п|х+11.

 

 

Дифференциальные уравнения второго порядка

 

7.12. Среди приведенных дифференциальных уравнений укажите ВСЕ, порядок которых можно понизить подстановкой у' = z (x):

 

а )у" =у' +х; б) у " = у' + у; в) у"у'у = у 2 +1;
т) у ”у'х = х 2 +1; ц) у ' у = 2.  

 

7.13. Среди приведенных дифференциальных уравнений укажите ВСЕ, порядок которых можно понизить подстановкой у' =р(у ):

 

а )у" =у' +х; б) у " = у' + у; в) у"у'у = у 2 +1;
г) уУ'х=х2 +1; д) у'у= 2.  

 

7.14. Какое уравнение получится после понижения порядка дифферен­

 

циального уравнения у" = (у')2 +у?  
dp 2 dp у dz
         

7.15. Какое уравнение получится после понижения порядка дифферен­

 

циального уравнения у"=(у')2+х?        
  dp 2 dp у dz ,    
      5> ф = р + ^ - ’ ") л = г + *:    
  dz х dy          
r) & = z + 7; д) а = -у + 1 '        
7.16. Укажите общее решение дифференциального уравнения
у" - 4 у = 0:              
а) у=С\е2х+С2хе2х; б) у=Схе~2х + С2хе~1х; в) у = Схе2х+С2е~2х;
г) у = CiCOs2x + C2sin2x;д) у =Се2х     е) другой ответ.
7.17. Укажите общее решение дифференциального уравнения
/ + 4у = 0:              
а) у=С\е2х+С2хе2х; б) у=Схе~2х+С2хе~1х; в) у=Схе2х+С2е~2х;
г) у = CiCOs2x + C2sin2x;д) у =С\+С2е~1х;   е) другой ответ.
7.18. Укажите общее решение дифференциального уравнения
у " - 4 у ' + 4 у = 0:            
а) у=С\е2х+С2хе2х; б) у=Схе~2х+С2хе~1х; в) у=Схе2х+С2е~2х;
г) у= CiCOs2x + C2sin2x; д) у=Се2х     е) другой ответ.

 

7.19. Для линейного неоднородного дифференциального уравнения у" ~4 у ' = 10укажите вид его частного решения с неопределенными коэф­

 

фициентами:      
а) у=Ах+В; б) у=Ах2+ Вх + С; в) у= 10х; г) у=А;
д) у = х + 10; е) у=Ах; ж) другой ответ.  
7.20. Для линейного неоднородного дифференциального уравнения
         

 

у ” + 4 у = \0 х 2+ \ укажите вид его частного решения с неопределенными

 

коэффициентами:        
а) у=Ах+В; б) у =Ах2+ Вх + С; в) у= 10х; г) у=А;
д) у = х + 10; е) у=Ах;   ж) другой ответ.  
7.21. Для линейного неоднородного дифференциального уравнения
у" -4 у= 3cos2xукажите вид его частного решения с неопределенными
коэффициентами:        
а) у = ex(Acos2x + Ssin2x); б) у = x(^4cos2x + Ssin2x);
в) у = (Ах + В) cos2x+Csin2x; г) у = ^4cos2x+Ssin2x;  
д) у = (Ах + В) cos2x+ (Сх+ D) sin2x; е) другой ответ.  
             

 

 

7.22. Укажите вид частного решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами у" + р 1у' + р 2у = 2хех, если известны корни характеристического уравнения ki = 1;к2= 1:

 

а) у=Ах + В; б) у= (Ах + В)ех; в) у = (Ах2 + Вх + С)ех;
г) у=х(Ах+В)ех; д) у=х(Ах + В)е; е) другой ответ.

 

7.23. Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите ВСЕ линейные однородные с постоянными коэффициентами:

 

а) / + 1 0 / + 25у = 0; б) у” +ху' +у = 0; в) у ” + уу' = 5х;
г) у " = у' + 2 у; д) у" - 5 / + 6у = 20; е) у" = 10у '+ 5х.

 

7.24. Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите ВСЕ линейные неоднородные с постоянными коэффициентами:

 

а) у" + 10у' + 25у = 0; б) у" +ху' +у = 0; в) у" + уу' = 5х;
г) у " = у' + 2 у; д) у " - 5 у ' + 6у = 20; е) у" = 10у' + 5х.

 

7.25. Укажите то дифференциальное уравнение, фундаментальная сис­ тема решений которого имеет вид: у\ = е5х ,у2 = хе5х.

 

а) / + 1 0 / + 25 = 0; б) у" - 2 5у = 0; в) у " - 10у' + 26у = 0;
г) у" + 10у' + 25у = 0; д) у " + 25у = 0; е) у" + 10у' + 26у = 0.

 

7.26. Укажите то дифференциальное уравнение, фундаментальная сис­ тема решений которого имеет вид: ух = £5xsinx,у 2 = e^cosx.

 

а) / + 10У + 25 = 0; б) у " -2 5 у = 0; в) у " -10 у ' + 26у = 0;
г) у" + 10у' + 25у = 0; д)_у" + 25у = 0; е) у" + 10у' + 26у = 0.

 

7.27. Какие из следующих дифференциальных уравнений можно ре­ шить ТОЛЬКО методом вариации произвольных постоянных?

а) у ”+ У = х 2 cos3x;    
б) у " ~ 4у' =  
    е х +1 ’  
в) у" + 4 у ' + 4у = 2jccos2jc; ех  
г) у " - 2 у ' + у =  
    х + 1 ’  
  х 2 + 4 д) у " - 4 у ' + 4у = 0.  
д) У' = ---- —;  
  cos у    

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...