Тема №1. Событие. Пространство элементарных событий. Достоверное событие, невозможное событие. Совместные, несовместные события. Равновозможные события. Полная группа событий. Операции над событиями.
Стр 1 из 4Следующая ⇒ Событие — это явление, о котором можно сказать, что оно происходит или не происходит, в зависимости от природы самого события.
Под элементарными событиями, связанными с определенным испытанием, понимают все неразложимые результаты этого испытания. Каждое событие, которое может наступить в результате этого испытания, можно рассматривать как некоторое множество элементарных событий. Пространством элементарных событий называется произвольное множество (конечное или бесконечное). Его элементы — точки (элементарные события). Подмножества пространства элементарных событий называются событиями. Достоверным событием называется событие, которое вследствие данного испытания обязательно произойдет; (обозначается E). Невозможным событием называется такое событие, которое вследствие данного испытания не может произойти; (обозначается U). Например, появление одного из шести очков во время одного броска игрального кубика — достоверное событие, а появление 8 очков — невозможное. Два события называются совместными (совместимыми) в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого. Два события называются несовместными (несовместимыми) в данном опыте, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Несколько событий называются несовместными, если они попарно несовместны.
Начало формы Конец формы
Тема № 2. Аксиоматическое определение вероятности. Классическое, статистическое, геометрическое определение вероятности события. Свойства вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Независимые события. Условная вероятность. Вероятность наступления хотя бы одного из событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса Численная мера степени объективной возможности наступления события называется вероятностью события. Это определение, качественно отражающее понятие вероятности события, не является математическим. Чтобы оно стало таким, необходимо определить его качественно. Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев, то есть: Где P(A) – вероятность события А.
Статистическое определение вероятности: Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в Где
В отличие от «математической» вероятности
Если Геометрическое определение вероятности: Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области благоприятствующей появлению события А, к мере всех области, то есть: В одномерном случае:
А С D В
Следует оценить вероятность попадания точки на CD/ Оказывается эта вероятность не зависит от места нахождения CD на отрезке АВ, а зависит лишь от его длины. 2)На области А:
Вероятность попадания точки не зависит ни от форм, ни от месте нахождения В на А, а зависит лишь от площади данного сегмента. Условная вероятность Вероятность называется условной, если она вычисляется при определённых условиях и обозначается: Это вероятность события А. Вычисляется при условии, что событие В уже произошло. Пример. Производим испытание, извлекаем две карты из колоды: Первая вероятность является безусловной. Вычисляем вероятность извлечения туза из колоды: Вычисляем появление 2-тузув из колоды: А*В – совместное появление событий
Следствие: Теорема умножения для совместного появления То есть каждая последующая вероятность вычисляется с тем учётом, что все предыдущие условия уже произошли. Независимость события: Независимыми называются 2 события, если появление одного не противоречит появлению другого. Например, если тузы из колоды извлекаются повторно, тогда они между собой независимы. Повторно, то есть карту посмотрели и вернули обратно в колоду. Совместные и несовместные события: Совместными называются 2 события, если появление одного из них не противоречит появлению другого. Теорема сложения вероятностей совместных событий: Вероятность появления одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без их совместного появления. Для трёх совместных событий: Несовместными называются события, если никакие два из них не могут появиться одновременно в результате однократного испытания случайного эксперимента. Теорема: Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность суммы событий: Теорема сложения вероятностей: Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Следствие 1: Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна единице: Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Замечание: Следует подчеркнуть, что рассмотренная теорема сложения применима только для несовместных событий. Вероятность противоположных событий: Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу. Одно из двух противоположных событий обозначено через А, другое – через Пример: Попадание и промах при выстреле по цели – противоположные события. Если A – попадание, то Теорема: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Замечание 1: Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через p, то вероятность другого события обозначают через q Таким образом, в силу предыдущей теоремы: Замечание 2: При решении задач на отыскание вероятности события A часто выгодно сначала вычислить вероятность события Вероятность появления хотя бы одного события: Допустим, что в результате эксперимента может появиться одно, какая-то часть или ни одно событие. Теорема: Вероятность появления хотя бы одного события из совокупности Формула полной вероятности событий: Теорема: Если событие F может произойти только при условии появления одного из событий(гипотез) Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса: Она применяется, когда событие F, которое может появиться только с одной из гипотез Или с учётом теоремы умножения:
Аксиоматика Колмогорова: Аксиома 1: Каждому событию вводится в соответствие некое неотрицательное число, которое будем называть вероятностью события P(A) Аксиома 2:
Исход – в результате эксперимента возможны несколько вариантов, эти варианты будут называться элементарными событиями или исходами. Аксиома 3: Вероятность появления хотя бы одного из попарно независимых событий равна сумме вероятностей этих событий. Свойства вероятностей: 1) Неотрицательность: 2) Нормированность (сумма вероятностей элементарных исходов равна 1) 3) Вероятность события Иногда для вычисления вероятности используют правила комбинаторики: 1) Перестановка: это упорядоченная выборка 2) Сочетание: Это неупорядоченная выборка
3) Размещение: упорядоченная перестановка m элементов из n.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|