 |
Логико-дидактический анализ темы «Обыкновенные дроби» на предмет развития математических способностей
|
|
|
|
Логико-математический анализ темы будем проводить по следующей схеме:
1. Цели изучения темы и требования к математической подготовке учащихся по данной теме.
2. Логико-математический анализ теоретического материала:
- Какие понятия вводятся, даются ли им определения, каковы связи между этими понятиями;
- Какие утверждения изучаются, доказываются ли они, каковы связи между ними;
Какие задачи приведены в теоретической части, какова цель их рассмотрения;
Какой может быть математическая карта темы.
3. Анализ задачного материала
- Задачи, которые соответствуют обязательным результатам обучения;
- Комплексы взаимосвязанных задач:
ü Прямые и обратные задания;
ü По единой основе решения (по определению, по формуле);
ü По единому требованию в варьировании данных задач.
4. Рекомендуемые контрольные работы и примерные варианты самостоятельных работ по этой теме.
5. Тематическое планирование.
Анализ проводился по учебнику «Математика 5 класс» Н.Я. Виленкин, Москва, Просвещение, 1990 г.
При изучении математики 5 часов в неделю в 5 классе на тему «Обыкновенные дроби» отводится 26 часов. Согласно программе данная тема включает в себя следующие разделы:
· Окружность и круг.
· Обыкновенная дробь.
· Основные задачи на дроби.
· Сравнение обыкновенных дробей.
· Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Основная цель - познакомить учащихся с понятием дроби в объеме, достаточном для введения дробей.
В данной теме изучаются сведения о дробных числах, необходимые для введения десятичных дробей. Среди формируемых умений основное внимание должно быть привлечено к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями, к выделению целой части числа. С пониманием смысла дроби связаны три основные задачи на дроби, осознанного решения которых важно добиться от учащихся.
|
|
|
Тема «Обыкновенные дроби» учебнике «Математика 5 класс» Н.Я. Виленкина изучается во второй главе «Дробные числа».
Ознакомить детей с долями - значит сформировать у них конкретные представления о долях, т.е. научить детей образовывать доли практически. Для формирования правильных представлений о долях надо использовать достаточное количество разнообразных наглядных пособий. Как показал опыт, наиболее удобными пособиями являются геометрические фигуры. В связи с этим вначале вводятся понятия: окружность, круг, центр круга и окружности, радиус, диаметр, полукруг, полуокружность, дуга, концы дуг.
Далее рассматривается задача, которая приводит к понятию долей, при этом используется наглядный рисунок (рис. 105). Также понятие доли вводится при помощи деления отрезка на 5 равных частей, изображенного на рисунке 106. Далее вводятся понятия половина доли, третья, четвертая часть доли.
Образование дробей, как и образование долей рассматривается с помощью наглядных пособий. Вводится понятие обыкновенной дроби, ее запись - записи вида 
называют обыкновенными дробями. Затем рассматриваются понятия числитель и знаменатель дроби: знаменатель показывает на сколько долей делят, а числитель - сколько таких частей взято. Числитель пишут над чертой, а знаменатель под чертой. Приводится изображение дробей на координатном луче.
Вводится перевод единиц измерения на основе перехода к дробям:
м=10 дм=100 см, то 1 см= 
.
Также приводится решения следующих задач, целью которых является изучение следующих видов задач:
Ø На нахождение части от целого (№872);
Ø На нахождение целого по его части (№876);
Ø Нахождение части от целого как первый этап решения и целого по найденной части (№881).
|
|
|
Решение данных задач сопровождается графической иллюстрацией.
На основе использования круга вводится понятие равных дробей, приводится пример их записи: 
. Приводится пример равных дробей на координатном луче. Далее формируется представления, что дроби можно сравнивать, складывать, умножать, вычитать и делить. На основе приведенной в учебнике задачи рассматривается сравнение двух дробей с равными знаменателями. После дается вывод: из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель, и больше та, у которой больше числитель.
Затем формируются представления о сравнении дробей на координатном луче. Указывается, что точка, имеющая меньшую координату, лежит слева от точки, имеющей большую координату.
Приводится правило чтения равенств и неравенств, содержащих дробные числа, оговаривается, что оно такое же, как и при чтении натуральных чисел.
Рассматривается задача, приводящая к понятиям правильной и неправильной дроби. Дается определение: дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной дробью; дробь, в которой числитель больше знаменателя, называется неправильной. Правильная дробь меньше единицы, а неправильная больше или равна единице.
На координатном луче приводятся примеры правильных и неправильных дробей.
К понятию сложения дробей с одинаковыми знаменателями учащиеся приходят на основе рассматриваемой задачи.
Ниже формулируется правило: при сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складываются, а знаменатель оставляют тот же. Затем правило сложения записывается в алгебраической форме.
Рассматривается задача, которая приводит к понятию разности дробей с одинаковыми знаменателями. Дается правило: при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителями уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют тот же. Правило вычитания записывается в алгебраической форме.
Приводится правило чтения выражений и уравнений, содержащих обыкновенные дроби.
Затем рассматривается задача, приводящая к понятию деления. Определяется, что черту дроби можно понимать как знак деления. Приводится пример: 
.
|
|
|
Дается правило: с помощью дробей можно записать результат деления двух любых натуральных чисел. Если деление выполняется нацело, то частное является натуральным числом. Если разделить нацело нельзя, то частное является дробным числом.
Приводятся примеры. Рассматриваются возможные представления числа 3 в виде дроби со знаменателем 5. Ниже делается вывод: любое натуральное число можно записать в виде дроби с любым натуральным знаменателем. Числитель этой дроби равен произведению числа на этой знаменатель. Данное правило записывается в алгебраической форме.
Приводится правило деления суммы на число с примером.
Рассматривается задача, решение которой предложено учащимся в двух вариантах. Решения сопровождаются рисунками. При решении задачи в первом случае получается в ответе неправильная дробь, во втором ответ представлен в виде суммы целой и дробной части.
Ниже рассматривается запись и правило чтения дроби, имеющей целую и дробную часть. Далее сравниваются результаты, полученные при решении задачи, и обосновывается путь перехода от одной записи к варианту ответа другой записи.
Выводится правило выделения целой части из неправильной дроби.
Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо:
1. разделить с остатком числитель на знаменатель;
2. неполное частное будет целой частью;
. остаток (если он есть) дает числитель, а делитель - знаменатель дробной части.
Затем рассматривается пример по применению правила выделения целой части из неправильной дроби. Дается определение смешанного числа: запись числа, содержащую целую и дробную части, называют смешанной.
Фиксируется факт, что смешанное число можно представить в виде неправильной дроби. Приводится пример представления смешанного числа в виде неправильной дроби. Дается правило.
Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно:
1. умножить его целую часть на знаменатель дробной части;
2. к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
. записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменения.
|
|
|
Приведение к правилу сложения и вычитания смешанных чисел основано на решении задачи, сопровождаемой рисунком. Ниже приводится правило:
При сложении (вычитании) чисел в смешанной записи целые части складывают (вычитают) отдельно, а дробные - отдельно.
Иногда при сложении смешанных чисел в их дробной части получается неправильная дробь. В этом случае из нее выделяют целую часть и добавляют ее к уже имеющейся целой части.
Приводятся примеры: 1) на сложение, если в дробной части получается неправильная дробь; 2) на вычитание, если при вычитании смешанных чисел дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого; 3) вычитание дроби или смешанного числа из натурального.
Для закрепления полученных знаний при ознакомлении с долями и обыкновенными дробями выполняются следующие упражнения: по данным иллюстрациям называют и записывают, какие дроби изображены, или же изображают дробь с помощью чертежа, рисунка (№860-864,870,871). Предлагаются задачи на нахождения числа по его дроби (№865-869), части от целого (№873-875), нахождения целого по его части (№877-880), на нахождение части от целого как первый этап решения и целого по найденной части (№882-885).
Объяснить с помощью рисунка равенство дробей (№915,916), отметить на координатном луче точки, определить какие совпадают, какая из точек лежит правее всех, левее всех (№917-919,923, 926,940). Приводятся также задания на сравнения дробей, расположения дробей в порядке убывания (№920, 921, 922,941). Для закрепления ранее изученного материала рассматриваются задачи на определения какую часть составляет одна фигура от другой (№927), чтения дробей (№925), нахождения целого по его части (№944).
Приводятся для решения задания на отработку понятия правильной и неправильной дробей, например, написать все правильные дроби со знаменателем равным 6 (№951,952); задачи на нахождение части по числу, при этом в ответе может получиться как правильная, так и неправильная дробь (№953-956), нахождение числа по его дроби (№957, 958). Приводятся для повторения задачи: расположить дроби в порядке возрастания, сравнить дроби. (№967-969)
Рассматриваются задачи на формирования умений учащихся складывать и вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями (№980-987, 991,992), нахождения числа по его части (989, 990,994), для закрепления предыдущего материала даются задания на сравнения дробей, нахождения значений переменной, при которых дробь будет неправильной.
Приводятся задания на закрепления понятия, что черту дроби можно понимать как знак деления (№1025,1026, 1027, 1049,1050). Учащимся предлагается задачи с использованием данного понятия (№1028-1031,1051,1052). Присутствуют задания на отработку правила: чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные частные. (№1033). Для закрепления ранее изученного материала приводятся задания на выполнения действий(№1041), нахождения части от числа (№1043,1044), расположение дробей на координатном луче (№1034).
|
|
|
Предлагаются следующие задания: представить число в виде суммы его целой и дробной части, записать в виде смешанного числа сумму, частные, выделить целую часть из дробей, записать в виде неправильной дроби числа (№10571066). Рассматриваются задачи на применение алгоритма представлять смешанное число в виде неправильной дроби (№1067-1069).
Представлены задания на выполнения действий со смешанными числами (№1090,1091,1109), учащимся предлагается решить задачи на сложение и вычитание смешанных чисел (№1088,1089, 1092,1093).
После изучения темы «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями» в качестве закрепляющей самостоятельной работы можно предложить следующие варианты:
Вариант 1.
1. Выполните сложение:
2. Выполните вычитание:
. За 2 ч электропоезд прошел 
расстояния между начальным и конечным пунктами. Причем за первый час он прошел 
этого расстояния. Какую часть всего расстояния электропоезд прошел за второй час?
Вариант 2.
1. Выполните сложение:
. Выполните вычитание:
. За два дня выпало 
месячной нормы осадков. За первый день выпало 
этой номы. Какая часть месячной нормы осадков выпало за второй день?
После изучения тем «Доли. Обыкновенные дроби», «Сравнение дробей», «Правильные и неправильные дроби» в качестве контрольной работы можно предложить следующие варианты.
Вариант 1.
. В драматическом кружке занимаются 28 человек. Девочки составляют 
всех участников кружка. Сколько девочек занимаются в драматическом кружке?
. Возле школы растут только березы и сосны. Березы составляют 
всех деревьев. Сколько деревьев возле школы, если берез 42?
. Сравните: 
. Какую часть составляют: а) 7 дм³ от кубического метра; б) 17 мин от суток; в) 5 коп. от 12 р.?
Вариант 2.
1. Длина прямоугольника 56 см. Ширина составляет 
длины. Найдите ширину прямоугольника.
. На районой олимпиаде 
числа участников получили грамоты. Сколько участников было на олимпиаде, если грамоты получили 48 человек?
. Сравните: 
. Какую часть составляют: а) 19 га от квадратного километра; б) 39 ч от недели; в) 37г от 5 кг?
|
|
|
