Парная линейная корреляция

Простейшей системой корреляционной связи является линейная связь между двумя признаками - парная линейная корреляция. Подобные системы встречаются в тех случаях, когда среди всех действующих факторов выделяется один важнейший, который и определяет вариацию результативного признака, а нелинейные формы связей без особого ущерба могут быть преобразованы в линейные.

Зависимость , называется уравнением регрессии y по x или линейной корреляционной зависимостью между y и x.

где – среднее значение результативного признака Y при определенном значении факторного признака X;

b – свободный член уравнения;

а – коэффициент регрессии, характеризующий вариацию Y, приходящуюся на единицу вариации X.

Коэффициенты уравнения регрессии рассчитываются по методу наименьших квадратов.

Параметр a определяется из соотношения

,

где – среднее значение случайной величины x×y;

и – средние значения факторного и результативного признаков соответственно;

s_x – среднее квадратичное отклонение признака X;

x_i и y_i - индивидуальные значения соответствующих признаков.

Параметр b выражают из уравнения регрессии и вычисляют, подставляя средние значения признаков X и Y и найденное значение параметра а:

.

При парной связи ее теснота измеряется с помощью коэффициента корреляции:

Соотношение между значением модуля коэффициента корреляции и теснотой связи представлено в таблице 4.

Таблица 4

Рассматривая возможные значения коэффициента корреляции, следует учитывать, что нулевая величина этого коэффициента соответствует полному отсутствию какой-либо связи. Это возможно при полном взаимном погашении положительных и отрицательных отклонений признаков от их средних величин. Поскольку вероятность этого крайне мала для любой реальной совокупности, кроме бесконечно большой, то коэффициент корреляции для реальной совокупности отличен от нуля и при отсутствии связи!

Значение коэффициента корреляции, равное 1 (или -1) соответствует функциональной связи. Чем ближе связь к функциональной, тем ближе абсолютная величина коэффициента корреляции к единице. Отрицательное значение коэффициента корреляции свидетельствует об обратной зависимости.

Значение коэффициента корреляции можно посчитать с помощью функции КОРРЕЛ, встроенной в табличном процессоре MS Excel, это облегчит рутинные математические подсчеты. Так же в MS Excel можно построить на графике и эмпирическую ломаную, и уравнение регрессии.

Пример 4. Определение корреляции между числом преступлений, связанных с незаконным оборотом наркотиков, в Новосибирской и Омской областях (данные взяты с официального сайта Федеральной службы государственной статистики РФ www.gks.ru и приведены в таблице 11 (в ед., значение показателя за год)).

Таблица 5.

Можно изобразить графически динамические ряды данного вида преступлений в Новосибирской и Омской области (см. рис. 2).

Рис. 2. Динамика преступлений, связанных с незаконным оборотом наркотиков в Новосибирской и Омской областях

Проанализировав график, можно предположить, что эти данные будут коррелировать между собой. Рассчитав коэффициент корреляции, получаем, что , это означает, что корреляционная связь между признаками прямая и сильная. Изобразим графически эмпирические данные и построим прямую регрессии. Табличный процессор MS Excel позволяет нам автоматически строить прямую регрессии и указывать ее уравнение на диаграмме. Рис. Рис. 3. Корреляционная зависимость числа преступлений, связанных с незаконным оборотом наркотиков Новосибирской и Омской областях