 |
Появление дифференциальных уравнений при описании систем управления
|
|
|
|
Реферат
По математическим основам теории систем
На тему
Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем
Выполнил:
Группа: ПС-263
Проверил: Разнополов О. А.
Челябинск
2003
Содержание:
Содержание 2
1. Появление дифференциальных уравнений при описании систем управления 3
2. Элементы теории дифференциальных уравнений 4
2.1. Понятие дифференциального уравнения 4
2.2. Нормальная система дифференциальных уравнений 4
2.3. Задача Коши 5
2.4. Свойства дифференциальных уравнений 6
2.5. Ломаная Эйлера и e-приближенное решение 6
2.6. Непрерывная зависимость решений от начальных условий и параметров 7
2.7. Линейные дифференциальные уравнения 8
2.7.1. Нормальная линейная система дифференциальных уравнений 8
2.7.2. Общее решение линейной однородной системы 9
2.7.3. Определитель Вронского. Формула Лиувилля 9
2.7.4. Линейная неоднородная система. Метод вариации произвольных постоянных 10
2.7.5. Формула Коши 12
|
|
|
2.7.6. Линейное уравнение n-го порядка 13
2.7.7. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 14
2.7.8. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 15
3. Дифференциальные уравнения при описании непрерывных систем 16
3.1. Составление и линеаризация дифференциальных уравнений элементов системы 16
3.2. Понятие пространства состояний 18
3.3. Описание непрерывных систем с помощью системы дифференциальных уравнений 18
3.4. Описание систем переменными состояния 19
3.5. Понятие наблюдаемости системы 19
3.6. Понятие управляемости системы 20
3.7. Описание непрерывных систем с помощью одного дифференциального уравнения 21
3.8. Переход от системы дифференциальных уравнений к одному уравнению 22
3.9. Переход от одного уравнения к системе дифференциальных уравнений 22
Список литературы 24
Появление дифференциальных уравнений при описании систем управления
Любая система автоматического регулирования представляет совокупность отдельных взаимодействующих друг с другом элементов, соединенных между собой связями. Первым этапом при составлении дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования является разделение системы на отдельные элементы и составление уравнений этих элементов. Эти уравнения могут быть интегральными, линейными, трансцендентными, но чаще всего это оказываются дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения элементов и уравнения связей между отдельными элементами описывают процесс в системе, то есть изменение по времени всех координат системы.
|
|
|
Состояние системы, а также каждого входящего в нее элемента характеризуется некоторым числом независимых переменных. Этими переменными могут быть как электрические величины (ток, напряжение и т. д.), так и механические (скорость, угол поворота и т. д.). Обычно, чтобы характеризовать состояние системы или ее элемента, выбирают одну обобщенную координату на входе системы или элемента и одну – на выходе. Будем обозначать входную величину g(t), а выходную x(t). В ряде случаев такое представление невозможно, так как система или ее элемент могут иметь несколько входных и выходных величин. В многомерных системах можно рассматривать векторные входную и выходную величины с размерностями, совпадающими соответственно с числом входных и выходных элементов системы.
Рассмотрим пример: управление самолетом по углу рыскания. Предположим, что осевая линия самолета под действием порывов ветра отклонилась от заданного направления y на угол q (рис.1). Возвращение самолета на заданный курс осуществляется с помощью руля, отклонение которого равно j. Предполагается, что относительно оси, проходящей через центр тяжести ЦТ, самолет имеет момент инерции J. Восстанавливающая сила руля пропорциональна j, трением в воздухе пренебрегаем.
Уравнение движения запишется по второму закону Ньютона:
где kj(t) – восстанавливающая сила; m(t) – момент, вызванный порывами ветра. Разделив это уравнение на J и обозначив b=–k/J, x(t)=m(t)/J, а также принимая j(t) за управляющее воздействие u(t), получаем 
Вводя в рассмотрение переменные состояния
к двум дифференциальным уравнениям первого порядка
|
|
|
которые в векторной форме запишутся так
Вводя векторно-матричные обозначения
приходим к дифференциальному уравнению:
|
|
|
