Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Появление дифференциальных уравнений при описании систем управления

Реферат

По математическим основам теории систем

На тему

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

 

Выполнил:

Группа: ПС-263

Проверил: Разнополов О. А.

 

Челябинск

2003


Содержание:

 

Содержание                                                                                                   2

1. Появление дифференциальных уравнений при описании систем управления 3

2. Элементы теории дифференциальных уравнений                                   4

2.1. Понятие дифференциального уравнения                                              4

2.2. Нормальная система дифференциальных уравнений                           4

2.3. Задача Коши                                                                                           5

2.4. Свойства дифференциальных уравнений                                              6

2.5. Ломаная Эйлера и e-приближенное решение                                       6

2.6. Непрерывная зависимость решений от начальных условий и параметров 7

2.7. Линейные дифференциальные уравнения                                             8

2.7.1. Нормальная линейная система дифференциальных уравнений        8

2.7.2. Общее решение линейной однородной системы                                9

2.7.3. Определитель Вронского. Формула Лиувилля                                 9

2.7.4. Линейная неоднородная система. Метод вариации произвольных постоянных                                                                                                                        10

2.7.5. Формула Коши                                                                                    12

2.7.6. Линейное уравнение n-го порядка                                                      13

2.7.7. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами                                                                                            14

2.7.8. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение                   15

3. Дифференциальные уравнения при описании непрерывных систем      16

3.1. Составление и линеаризация дифференциальных уравнений элементов системы                                                                                                                        16

3.2. Понятие пространства состояний                                                          18

3.3. Описание непрерывных систем с помощью системы дифференциальных уравнений                                                                                                      18

3.4. Описание систем переменными состояния                                            19

3.5. Понятие наблюдаемости системы                                                          19

3.6. Понятие управляемости системы                                                           20

3.7. Описание непрерывных систем с помощью одного дифференциального уравнения                                                                                                                        21

3.8. Переход от системы дифференциальных уравнений к одному уравнению 22

3.9. Переход от одного уравнения к системе дифференциальных уравнений 22

Список литературы                                                                                       24


Появление дифференциальных уравнений при описании систем управления

 

Любая система автоматического регулирования представляет совокупность отдельных взаимодействующих друг с другом элементов, соединенных между собой связями. Первым этапом при составлении дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования является разделение системы на отдельные элементы и составление уравнений этих элементов. Эти уравнения могут быть интегральными, линейными, трансцендентными, но чаще всего это оказываются дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения элементов и уравнения связей между отдельными элементами описывают процесс в системе, то есть изменение по времени всех координат системы.

Состояние системы, а также каждого входящего в нее элемента характеризуется некоторым числом независимых переменных. Этими переменными могут быть как электрические величины (ток, напряжение и т. д.), так и механические (скорость, угол поворота и т. д.). Обычно, чтобы характеризовать состояние системы или ее элемента, выбирают одну обобщенную координату на входе системы или элемента и одну – на выходе. Будем обозначать входную величину g(t), а выходную x(t). В ряде случаев такое представление невозможно, так как система или ее элемент могут иметь несколько входных и выходных величин. В многомерных системах можно рассматривать векторные входную и выходную величины с размерностями, совпадающими соответственно с числом входных и выходных элементов системы.

 

Рассмотрим пример: управление самолетом по углу рыскания. Предположим, что осевая линия самолета под действием порывов ветра отклонилась от заданного направления y на угол q (рис.1). Возвращение самолета на заданный курс осуществляется с помощью руля, отклонение которого равно j. Предполагается, что относительно оси, проходящей через центр тяжести ЦТ, самолет имеет момент инерции J. Восстанавливающая сила руля пропорциональна j, трением в воздухе пренебрегаем.

Уравнение движения запишется по второму закону Ньютона:

где kj(t) – восстанавливающая сила; m(t) – момент, вызванный порывами ветра. Разделив это уравнение на J и обозначив b=–k/J, x(t)=m(t)/J, а также принимая j(t) за управляющее воздействие u(t), получаем

Вводя в рассмотрение переменные состояния

к двум дифференциальным уравнениям первого порядка

которые в векторной форме запишутся так

Вводя векторно-матричные обозначения

приходим к дифференциальному уравнению:


Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...