 |
Арифметика в позиционных системах счисления
|
|
|
|
Основы систем счисления и измерение информации
Методические указания
к выполнению лабораторных работ
по курсу «Информатика»
для студентов специальностей 190109.65, 190110.65,
направлений 030900.62, 040100.62, 040400.62, 190600.62,
190700.62, 150700.62, 221700.62, 280700.62, 140400.62,
151900.62, 220700.62, 220400.62
Курган 2013
Кафедра: «Информатика»
Дисциплина: «Информатика»
(специальности 190109.65, 190110.65
направлений 030900.62, 040100.62, 040400.62, 190600.62, 190700.62, 150700.62, 221700.62, 280700.62, 140400.62, 151900.62, 220700.62, 220400.62)
Составили:
Старший преподаватель Л.Г. Сысолятина
Старший преподаватель М.Б. Бекишева
Утверждены на заседании кафедры «10» апреля 2013 г.
Рекомендованы методическим советом университета
«5» июня 013 г.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛОВОЙ ИНФОРМАЦИИ
Основы систем счисления
Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.
В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает.
Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
пример 1 число CCXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.
В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то их значения вычитаются.
|
|
|
Пример 2
VI = 5 + 1 = 6, а IV = 5 – 1 = 4.
Пример 3
MCMXCVIII = 1000 + (-100+ 1000) + (-10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.
В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.
Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Позиционный характер этой системы легко понять на примере любого многозначного числа. Например, в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая – три десятка, третья – три единицы.
Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n < 10 используют n первых арабских цифр, а при n ≥ 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем.
| Основание | Название | Алфавит |
| n = 2 | двоичная | 0 1 |
| n = 3 | троичная | 0 1 2 |
| n = 8 | восьмеричная | 0 1 2 3 4 5 6 7 |
| n = 16 | шестнадцатеричная | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F |
Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например:
1011012, 36728, 3B8F16.
В системе счисления с основанием q (q-ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q; q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в q-ичной системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа 0, 1, …, q-1. запись числа q в q-ичной системе счисления имеет вид 10. (Например, число 8 в восьмеричной системе (q=8) запишется как 10; 16 в шестнадцатеричной системе (q=16) тоже запишется как 10).
Развернутой формой записи числа называется запись в виде
,
где Aq – само число, q – основание системы счисления, ai – цифры данной системы счисления, n – число разрядов целой части числа, m – число разрядов дробной части числа.
|
|
|
Пример 4 получить развернутую форму десятичных чисел 32478; 26,387.
3247810 = 3 х10000 + 2 х 1000 + 4 х 100 + 7 х 10 + 8 =
= 3 х 104 + 2 х 103 + 4 х 102 + 7 х 101 + 8 х 100.
26,38710 = 2 х 101 + 6 х 100 + 3 х 10-1 + 8 х 10-2 + 7 х 10-3.
если все слагаемые в развернутой форме недесятичного числа представить в десятичной системе и вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики, то получится число в десятичной системе, равное данному. По этому принципу производится перевод из недесятичной системы в десятичную.
Пример 5 перевести в десятичную систему числа.
1123 = 1 х 32 + 1 х 31 + 2 х 30 = 9 + 3 + 2 = 1410.
1011012 = 1 х 25 + 0 х 24 + 1 х 23 + 1 х 22 + 0 х 21 +1 х 20 =
= 32+ 8 + 4 + 1 = 4510.
15FC16 = 1 х 163 + 5 х 162 + 15 х 161+ 12 =
= 4096 + 1280 + 240 + 12 = 562810.
101,112 = 1 х 22 + 0 х 21 +1 х 20 + 1 х 2-1 +12 х 2-2=
=4 + 1 + 1/2 + 1/4 = 5 + 0,5 + 0,25 = 5,7510.
Варианты самостоятельной работы
Перевести числа в десятичную систему счисления.
Вариант 1
а) 110,012 б) 10,178 в) 2А316
Вариант 2
а) 101,112 б) 2668 в) 15FC16
Вариант 3
а) 111,0112 б) 52,078 в) 10,816
Вариант 4
а) 101,012 б) 151,78 в) 3FF,416
Вариант 5
а) 101,1012 б) 740,38 в) FF,216
Перевод десятичных чисел в другие системы счисления
Перевод целых чисел
1 основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления.
2 последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основании новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя (т.е. основания новой системы счисления).
3 полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
4 составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного до первого остатка включительно.
Пример 1 перевести число 3710 в двоичную систему, т.е. 3710 ® А2.
Для обозначения цифр в записи числа используем символику: a5a4a3a2a1a0
_ 37 ½ 2
36 _18 ½2 Отсюда: 3710 = 1001012
a0 = 1 18 _9 ½ 2
a1 = 0 8 _4 ½2
a2 = 1 4 _2 ½2
a3 = 0 2 1 = a5
a4 = 0
пример 2 перевести десятичное число 315 в восьмеричную и в шестнадцатеричную системы; т.е. 31510 ® А8, 31510 ® А16:
_315 ½8 _315 ½16
312 _39 ½ 8304 _19 ½16
3 32 4 11 16 1
7 3
отсюда следует: 31510 = 4738 = 13B16.
|
|
|
Напомним, что 1110 = B16.
Перевод дробных чисел
1 Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе и все последующие действия производить в десятичной системе счисления.
2 Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления.
3 Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
4 Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения до последнего включительно.
Пример 3 перевести десятичную дробь 0,1875 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы; т.е. 0,187510 ® А2 ® А8 ® А16.
0½1875 0½1875 0½1875
½ х 2 ½ х 8 ½ х 16
0 ½3750 1 ½5000 1½1250
½ х 2 ½ х 8 + 1½ 875
0 ½7500 4 ½0000 3 ½0000
½ х 2
1 ½5000
½ х 2
1 ½0000
здесь вертикальная черта отделяет целые части чисел от дробных частей, целые части выделены жирным шрифтом.
Отсюда: 0,187510 = 0,00112 = 0,148 = 0,316.
Перевод смешанных чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся отдельно по соответствующим алгоритмам. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).
Пример 4. перевести десятичное число 315,1875 в восьмеричную и в шестнадцатеричную системы счисления, т.е. 315,187510 ® А8 ® А16..
Из рассмотренных выше примеров следует:
315,187510 = 473,148 =13В,316.
Варианты самостоятельной работы
Перевести числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, оставив 5 знаков в дробной части.
1) 349,24
2) 432,48
3) 549,23
4) 453,16
5) 635,32
системы счисления, используемые в ЭВМ (с основанием 2n). общие сведения
от того, какая система счисления будет использована в ЭВМ, зависят скорость вычислений, емкость памяти, сложность алгоритмов выполнения арифметических операций.
|
|
|
Десятичная система счисления, привычная для нас, не является наилучшей для использования в ЭВМ. Для изображения любого числа в десятичной системе счисления требуется десять различных символов. При реализации в ЭВМ этой системы счисления необходимы функциональные элементы, имеющие ровно десять устойчивых состояний, каждое из которых ставится в соответствие определенной цифре. Создание таких элементов затруднено. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются так называемые двухпозиционные элементы, способные находиться в одном из двух устойчивых состояний, например:
- электромагнитное реле замкнуто или разомкнуто;
- ферромагнитная поверхность намагничена или размагничена и т. д.
Одно из этих устойчивых состояний может представляться цифрой 0, другое – цифрой 1. В двоичной системе предельно просто выполняются арифметические действия и возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации.
Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ. Широкое применение в ЭВМ нашли также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.
Перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, восьмеричную и обратно
для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2n (4, 8, 16 и т.д.), нужно:
1) данное двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой;
2) если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов;
3) рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2n.
Для того чтобы дробное двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2n, нужно:
1) данное двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой;
2) если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов;
3) рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления q = 2n.
Для того чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2n, нужно:
1) данное двоичное число разбить слева и справа (целую и дробную части) на группы по n цифр в каждой;
2) если в последних правой и левой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить справа и слева нулями до нужного числа разрядов;
3) рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2n.
|
|
|
Для того чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q = 2n, перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления.
Применительно к компьютерной информации часто используются системы с основанием 8 (восьмеричная) и 16 (шестнадцатеричная).
Пример 1
Перевести число 15FC16 в двоичную систему.
Для решения задачи воспользуемся приведенной ниже двоично-шестнадцатеричной таблицей.
Двоично-шестнадцатеричная таблица
| A | |||
| B | |||
| C | |||
| D | |||
| E | |||
| F |
В одном столбце таблицы помещены шестнадцатеричные цифры, напротив, в соседнем столбце – равные им двоичные числа. Причем все двоичные числа записаны в четырехзначном виде – тетрадах (там, где знаков меньше четырех, слева добавлены нули).
А теперь проделаем следующее: каждую цифру в шестнадцатеричном числе 15FC заменим на соответствующую ей четверку двоичных знаков из таблицы. Иначе говоря, перекодируем число 15FC по таблице в двоичную форму. Получается 0001 0101 1111 1100.
Если отбросить нули слева (в любой системе счисления они не влияют на значение целого числа), то получим искомое двоичное число. Таким образом:
15FC16 =10101111111002.
В справедливости этого равенства можно убедиться, производя тот же перевод через десятичную систему.
Пример 2 Перевести двоичное число 11011110111011112 в шестнадцатеричную систему.
Решение
Разделим данное число на группы по четыре цифры, начиная справа. Если в крайней левой группе окажется меньше четырех цифр, то дополним ее нулями.
0011 0111 1010 1110 1111.
А теперь, глядя на двоично-шестнадцатеричную таблицу, заменим каждую двоичную группу из четырех цифр на соответствующую ей шестнадцатеричную цифру.
3 7 A E F
следовательно,
11011110111011112 = 37AEF16.
Пример 3 Перевести смешанное число 1011101,101112 в шестнадцатеричную систему.
Решение
Перевод дробных чисел производится аналогично. Группы по четыре двоичных знака выделяются от запятой как влево, так и вправо.
Поэтому
1011101,101112 Þ 0101 1101, 1011 1000 Þ 5D,B816.
Связь между двоичной и восьмеричной системами устанавливается аналогично. В этом случае используется двоично-восьмеричная таблица, приведенная ниже. Каждой восьмеричной цифре соответствует тройка двоичных цифр (триада).
Двоично-восьмеричная таблица
Пример 4 перевести смешанное число 1011101,101112 в восьмеричную систему.
Решение
Группы по три двоичных знака выделяются от запятой как влево так и вправо. Затем производится перекодировка по таблице
1011101,101112 Þ 001 011 101, 101 110 Þ 135,568.
Варианты самостоятельной работы
Перевести числа из двоичной системы счисления в восьмеричную, затем в шестнадцатеричную, а далее в десятичную системы счисления.
1) 11110,1110
2) 101111,10
3) 11110,001
4) 10110,0111
5) 111011,01
6) 1110,1011
7) 1101,1011
8) 1010,00100101
9) 1110,01010001
10) 1000,1111001
арифметика в позиционных системах счисления
любая позиционная система счисления определяется основанием системы, алфавитом и правилами выполнения арифметических операций.
| + | ||
Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании следующих таблиц сложения и умножения цифр:
| х | ||
Сложение. Таблица двоичного сложения предельно проста. Так как 12 + 12 = 102, то 0 остается в данном разряде, а 1 переносится в следующий разряд.
Например,
10012 111112 1010011,1112
+ 1010 2 + 1 2 + 11001,110 2
100112 1000002 1101101,1012
вычитание. При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и ставится соответствующий знак.
Например,
_10111001,12 _1101101012
10001101,1 2 101011111 2
10101100,02 10101102
Умножение. Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.
Например,
110012 11001,012
х 1101 2 х 11,01 2
11001 1100101
+ 11001 + 1100101
11001 1100101
1010001012 1010010,00012
Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.
Например,
1010001012 | 11012
- 1101 11012
- 1101
- 1101
ниже приведены таблицы сложения в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.
|
|
|
