 |
Программа курса «математика»
|
|
|
|
ПРИДНЕСТРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Им. Т.Г.Шевченко
Кафедра прикладной математики
И экономико-математических методов
ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
по
МАТЕМАТИКЕ
Для студентов инженерно-технических специальностей
Заочного отделения
Часть 1
Составители:
Ст. преп. Ходакова Л.Д.
Ст. преп. Косюк Н.В.
Тирасполь, 2006г.
Студенты-заочники инженерно-технических специальностей изучают дисциплину «Математика» в течение трех семестров. Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа, которая заключает в себя изучение теоретического материала по учебникам, выполнение упражнений, решение задач с использованием учебных и методических пособий.
В соответствии с учебным планом после освоения необходимого теоретического и практического материала нужно выполнить две контрольные работы, одну индивидуальную работу, сдать зачет и два экзамена по всему курсу «Математика». В процессе всего периода обучения студент может получать у преподавателя необходимые ему устные консультации.
В настоящем пособии приводятся:
-программа курса «Математика»;
-правила выполнения и оформления контрольных работ;
-задание для контрольной работы №1;
-образец выполнения контрольной работы №1;
-список вопросов для сессионного контроля;
-литература.
Программа дисциплины составлена в соответствии с государственным стандартом РФ.
От составителя
ПРОГРАММА КУРСА «МАТЕМАТИКА»
Глава 1. Алгебра.
1. Определители второго и третьего порядка, их основные свойства и вычисления. Миноры и алгебраические дополнения. Понятие определителя n-го порядка.
|
|
|
2. Применение определителей к решению систем линейных уравнений. Правило Крамера(метод определителей).
3. Матрицы, действия над матрицами. Понятие ранга матрицы. Обратные матрицы. Решение систем линейных уравнений.
4. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса-решения систем линейных уравнений.
5. Алгебраические структуры. Векторное и линейное пространство. Ранг системы векторов. Базис векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Базис.
Глава 2. Геометрия.
1. Метод координат на плоскости. Прямоугольная декартова система координат. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости.
2. Полярная система координат. Построение кривых в полярной системе координат. Параметрически заданные кривые, их построение в прямоугольной декартовой системе координат.
3. Линии и их уравнения. Прямая линия, ее уравнение с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой, его исследование. Параметрическое уравнение прямой.
4. Уравнение прямой, проходящей через две точки плоскости. Уравнение пучка прямых. Определение угла между двумя прямыми. Условие параллельности и условие перпендикулярности двух прямых.
5. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, парабола, гипербола. Канонические уравнения этих кривых. Общее уравнение линий второго порядка и его преобразование к каноническому виду.
6. Декартова прямоугольная система координат в пространстве. Элементы векторной алгебры: векторы и скаляры. Линейные операции над векторами. Координаты вектора в пространстве.
7. Произведения векторов: скалярное, векторное, смешанное, их свойства и приложение к решению геометрических задач.
8. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве. Основные положения теории проекций в пространстве.
9. Плоскость, нормальное и общее уравнения плоскости. Исследование общего уравнения плоскости.
|
|
|
10. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку; проходящей через три точки. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями, условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Основные задачи.
11. Прямая линия в пространстве, ее канонические и параметрические уравнения. Прямая линия как пересечение двух плоскостей. Угол между прямыми, условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.
12. Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи на их сочетание.
13. Поверхности второго порядка, их уравнения и изображение.
Глава 3. Математический анализ.
1. Предмет математического анализа. Множества, действительное число, абсолютная величина действительного числа. Функция. Способы задания функций.
2. Числовые последовательности, их пределы, теоремы о пределах последовательностей. Число e.
3. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Бесконечно - большие и бесконечно - малые функции. Раскрытие неопределимости.
4. Замечательные пределы, непрерывность функции, Свойства функций, непрерывность в точке. Точки разрыва.
5. Производная, ее геометрический и механический смысл.
6. Производная: сложной функции, неявной функции, параметрически заданной функции.
7. Дифференциал: геометрический смысл дифференциала. Свойства дифференциала. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
8. Производные и дифференциалы высших порядков. Общие правила нахождения высших порядков.
9. Теоремы о среднем значении: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.
10. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
11. Формула Тейлора для многочлена и для произвольной функции. Разложение основных элементарных функций.
12. Возрастание и убывание функций. Необходимое и достаточное условия возрастания и убывания функции.
13. Экстремумы функции. Теоремы о необходимом и достаточном условии существования экстремума функции. Задачи о наибольших (наименьших) значениях функции.
14. Применение второй производной. Точки перегиба, выпуклость (вогнутость). Необходимое и достаточное условия выпуклости (вогнутости). Асимптоты.
15. Неопределенный интеграл. Понятие первообразной функции. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов.
|
|
|
16. Основные методы интегрирования. Интегрирование элементарных дробей.
17. Разложение многочлена на линейные множители. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.
18. Интегрирование тригонометрических выражений.
19. Интегрирование иррациональных функций. Дифференциальный бином. Подстановки Эйлера.
20. Определенный интеграл, его свойства, способы вычисления. Несобственный интеграл. Геометрические приложения определенного интеграла.
21. Приближенные методы вычисления определенных интегралов. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.
22. Несобственные интегралы первого и второго рода.
23. Функции нескольких переменных, геометрическое истолкование функции двух переменных. Предел функции двух переменных, непрерывность. Частные производные первого и второго порядка. Полный дифференциал функции двух переменных.
24. Дифференцирование сложных функций двух переменных; дифференцирование неявных функций одной и нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
25. Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремума. Абсолютный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных.
26. Элементы векторного анализа. Векторная функция скалярного аргумента. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.
27. Двойной интеграл, его свойства. Объем цилиндрического тела. Вычисление двойного интеграла. Приложения двойных интегралов.
28. Тройной интеграл, его свойства. Масса неоднородного тела. Вычисление и применение тройных интегралов.
29. Криволинейный интеграл. Задача о работе силового поля. Вычисление криволинейных интегралов. Интегралы по замкнутому контуру.
30. Формула Грина. Условие независимости интеграла от линии интегрирования. Интегрирование полных дифференциалов. Первообразная функция.
31. Криволинейные интегралы по пространственным линиям. Криволинейный интеграл по длине.
|
|
|
32. Интегралы по поверхности. Формула Стокса. Формула Остроградского. Интегралы по площади поверхности.
33. Векторное поле и векторные линии. Поток вектора. Дивергенция. Циркуляция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона.
34. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.
35. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными.
36. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
37. Особые решения дифференциальных уравнений. Огибающая семейства интегральных кривых.
38. Дифференциальные уравнения высших порядков. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение степени.
39. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений n-го порядка методом Лагранжа.
40. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.
41. Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
42. Числовой ряд, его частичная сумма. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Остаток сходящегося ряда. Свойства сходящихся рядов. Остаток сходящегося ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд.
43. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости рядов с положительными членами(сравнение, Даламбера, Коши).
44. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о сумме абсолютно сходящегося ряда. Умножение абсолютно сходящихся рядов. Теорема Римана. Критерий Коши сходимости числовой последовательности и числового ряда.
45. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Дифференцирование и интегрирование функциональных рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
46. Ряд Тейлора. Разложение функции в степенной ряд. Единственность разложения. Ряд Тейлора. Необходимое и достаточное условия разложения функции в ряд Тейлора. Применение ряда Тейлора при приближенных вычислениях значений функций и интегралов.
47. Гармонические колебания. Тригонометрические ряды. Ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье. Ряды Фурье в комплексной форме.
48. Интеграл Фурье. Комплексная форма интеграла Фурье.
Глава 4. Теория вероятностей.
1. Предмет теории вероятностей. Понятие события. Классификация событий. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Операции над событиями.
2. Вероятность дискретного распределения. Классическое определение вероятности. Понятие относительной частоты. статистическое определение вероятности.
|
|
|
3. Комбинаторика. Комбинаторные задачи. Понятие кортежа. Размещения, перестановки, сочетания. Бином ньютона.
4. Геометрическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Аксиоматическое определение вероятности.
5. Совместные и несовместные события. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
6. Независимые повторные испытания. Схема Бернулли. Теорема Бернулли. Теорема Пуассона. Теорема Муавра-Лапласа. Теорема о вероятности и частоте.
7. Случайные величины. Классификация случайных величин. Ряд распределения случайных величин и его свойства. Простейший поток событий.
8. Функция распределения случайных величин и ее свойства.
9. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения, ее свойства.
10. Математическое ожидание ее свойства. Дисперсия, ее свойства. Основные характеристики случайных величин.
11. Функции от случайных величин; функция и плотность распределения.
12. Двумерные случайные величины. Ряд распределения двумерных случайных величин. Функция и плотность распределения двумерных случайных величин. Числовые характеристики.
13. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Маркова. Теорема Бернулли.
14. Математическая статистика. Предмет и задачи математической статистики. Выборка. Оценка параметра и ее свойства. Статистическое распределение. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма частот.
15. Точечные оценки параметров распределения: средняя выборочная, дисперсия выборочная, исправленная дисперсия, медиана, мода и др.
16. Непрерывные оценки параметров распределения. Доверительный интервал. Доверительная вероятность (надежность). Метод j.
17. Корреляция. Уравнение линии регрессии. Коэффициент корреляции и его свойства.
Глава 5. Вычислительная математика.
1. Элементарная теория погрешностей. Точные и приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности. Верные цифры числа. Десятичная система счислений. Погрешность суммы, произведения, частного. Погрешность степени и корня.
2. Уравнения с одним неизвестным. Способы выбора начального приближения корня. Графический метод. Итерационные методы решения уравнений. Метод бисекции. Метод хорд. Метод Ньютона. Метод простой итерации.
3. Системы линейных уравнений. Основные понятия. Итерационные методы решения систем линейных уравнений. Метод уточнения решения. Метод Гаусса-Зейделя и условия его сходимости.
4. Понятие о приближении функций. Точечная и непрерывная аппроксимация. Понятие интерполяции и экстраполяции. Кусочная (локальная) интерполяция. Среднеквадратическое приближение. Равномерная аппроксимация функций.
5. Интерполяция. Линейная и квадратичная интерполяция. Интерполяционные многочлены Лагранжа, Ньютона, Эрмита. Конечные разности. Точность интерполяции.
6. Метод наименьших квадратов. Сглаживание экспериментальных данных. Применение метода при решении инженерных задач.
7. Численное дифференцирование. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах Ньютона и Лагранжа. Графическое дифференцирование.
8. Численное интегрирование. Простейшие квадратурные формулы. Обобщенная формула Ньютона-Котеса. Графическое интегрирование.
9. Понятие о дифференциальном уравнении. Метод последовательных приближений.
10. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
11. Численное интегрирование дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Метод Рунге-Кута. Экстраполяционный метод Адамса.
|
|
|
