Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Образец выполнения контрольной работы.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Задание 1.

Даны вершины ∆АВС: А(2;5), B(14;-4), C(18;18). Требуется найти:

1) длины сторон AB и AC, их уравнения и угловые коэффициент;

2) величину угла A в градусах с точностью до двух знаков;

3) уравнение биссектрисы AK угла A;

4) точку F пересечения медиан треугольника ABC;

5) уравнение высоты CN и точку N ее пересечения со стороной AB;

6) уравнение прямой L, проходящей через вершину B параллельно стороне AC и ее точку пересечения с высотой CN;

7) координаты точки D, симметричной точке C относительно точки T и лежащей на медиане CT;

8) вычислить площадь четырехугольника ABCD.

9) сделать чертеж.

Решение.

1)Длину отрезка АВ найдем по формуле:

Так как , то

Уравнение прямой АВ найдем по формуле: (АВ): .

Угловой коэффициент прямой АВ равен: .

Аналогично, ,

Угловой коэффициент прямой АС равен: .

2) Вершину угла А рассмотрим как угол между прямыми АС и АВ.

Найдем ее по формуле: , где .

Так как , то

Тогда

3) Уравнение биссектрисы AK угла A найдем по формуле: , где =0 и =0 – уравнения сторон АВ и АС угла А.

Так как и , то

или или .

Итак,

4) Точку F пересечения медиан треугольника АВС найдем, решив совместно систему уравнений любых двух медиан треугольника. Для этого найдем уравнения медиан AM и BE, проведенных из вершин А и В.

Так как АМ медиана, то точка М делит сторону ВС пополам. Тогда координаты точки М найдем по формуле: .

Подставив координаты точек В и С в эти формулы, получим

. Итак, М(16;7).

Аналогично найдем координаты точки Е, которая делит сторону АС пополам:

. Итак, Е(10;11.5).

Воспользовавшись формулой , найдем уравнения медиан АМ и ВЕ.

Имеем, ;

Найдем координаты точки F, решив систему уравнений:

Итак,

5) Найдем уравнение высоты CN.

Так как , то , где - угловые коэффициенты прямых СN и АВ соответственно. В общем виде уравнение CN имеет вид: . Чтобы найти b, подставим координаты точки C в уравнение CN:

Итак, уравнение (CN): или 4x-3y-18=0.

Координаты точки N как точку пересечения прямых AB и CN найдем, решив следующую систему уравнений:

Итак, точка N имеет координаты (6;2)

6) Т.к. прямая L параллельна стороне АC, то и уравнение прямой L имеет вид: . Значение b найдем из того, что L проходит через вершину В треугольника АВС: .

Итак, уравнение прямой L имеет вид: или .

Найдем координаты точки R пересечения прямых L и CN. Для этого решим следующую систему уравнений: .

Имеем, R(-18;-30).

7) Так как СТ–медиана треугольника АВС, то точка Т делит сторону АВ пополам, а тогда ее координаты равны:

, следовательно, Т(8;0.5).

Так как точка D симметрична точке С относительно точки Т, то точка Т делит отрезок. CD пополам. А тогда .

Имеем, . Итак, D(-2;-17).

8) Найдем площадь четырехугольника AСBD. Этот четырехугольник есть параллелограмм. Действительно, ∆ATC=∆BTD, т.к. АТ=ТВ(СТ-медиана), СТ=ТD(Т-делит отрезок пополам), (внутренний угол). Следовательно, АС=BD и ACIIBD( -как внутренние накрест лежащие, образованные параллельными прямыми АС и BD и секущей АВ). Тогда площадь параллелограмма ACBD определим как две площади треугольника АВС. Имеем, что . Так как и , то . А тогда

Определим также площадь четырехугольника ACBD, пользуясь понятием определителя, т.е. формулой:

Имеем,

9) Построим треугольник АВС и все прямые и точки:

Ответ: 1) ; ; ; ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; N(6;2); 6) ; R(-18;-30);

7) D(-2;-17); 8) .

Задание 2.

Даны точки плоскости A(-4;-4), B(-3;3), C(4;2).Требуется:

1) составить уравнение окружности, проходящей через эти точки, определить координаты центра N и величину R радиуса окружности;

2) написать уравнение эллипса, проходящего через точки B и C, найти полуоси, фокусы, эксцентриситет;

3) построить точки и кривые в системе координат.

Решение.

1) Пусть точки А, В, С лежат на одной окружности, центр которой находится в точке . Тогда они расположены на одном расстоянии от центра окружности, т.е. AN=BN=CN=R. Определим эти величины, как расстояние между двумя точками по формуле: .

Имеем,

Решим следующую систему уравнений:

Следовательно, центр окружности имеет координаты: N(0;-1). Радиус определим, подставив координаты точки N в любое из вычисленных расстояний, например, AN=R:

Таким образом, окружность радиуса R=5 с центром в точке N(0;-1) и проходящая через точки А, В, С имеет вид: или (воспользовались формулой ).

2) Каноническое уравнение эллипса имеет вид: , где и -полуоси эллипса.

Так как точки В и С принадлежат эллипсу, то:

Уравнение эллипса примет вид: или .

Полуоси эллипса: , .

Фокусы эллипса имеют координаты: , где с-расстояние от центра эллипса, расположенного в начале координат (0;0), до фокуса; эта величина равна .

Итак, , а тогда

Эксцентриситет эллипса найдем по формуле: . Имеем, .

Замечаем, что , это говорит о том, что рассматриваемая нами кривая второго порядка является эллипс.

3) Построим окружность и эллипс на одной системе координат:

Ответ: 1) -уравнение окружности с центром N(0;-1) и радиуса R=5;

2) -уравнение эллипса; полуоси эллипса: ; ;

-фокусы эллипса; -эксцентриситет эллипса.

Задание 3.

Решить систему линейных уравнений с помощью определителей:

Решение.

Найдем определитель системы уравнений составленный из коэффициентов при неизвестных:

Так как , то система уравнений имеет единственное решение.

Найдем определитель , который получим из путем замены столбца при переменной x столбцом свободных членов:

Аналогично найдем определители и .

;

Используя правило Крамера, найдем решение системы уравнений:

Проверка.

Итак, решение системы

Ответ:

Задание 4.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

Рассмотрим расширенную матрицу системы уравнений:

Используя элементарные преобразования, приведем матрицу к ступенчатому виду:

от последней матрицы перейдем к системе уравнений:

Проверка.

Итак, решение системы .

Ответ: .

Задание 5.

Представить систему линейных уравнений в матричной форме и решить систему с помощью обратной матрицы; пользуясь правилом умножения матриц, показать, что произведение матрицы системы на обратную ей матрицу равно единичной матрице E:

Решение.

Запишем данную систему линейных уравнений в матричной форме: AX=B, где

; ; .

Для решения системы воспользуемся следующей формулой:

Найдем определитель матрицы А:

Так как , то существует обратная матрица , и, следовательно, система линейных уравнений имеет единственное решение.

Найдем обратную матрицу по формуле:

, где - определитель матрицы A,

A_i _j-алгебраические дополнения для элементов a_ij матрицы A

Найдем алгебраические дополнения:

A = =2-1=1; A = =-(4(-3))=-1;

A = =-4+6=2; A = -(-1-0)=1;

A = =-2-0=-2; A = =-(2-3)=1;

A = =1- 0=1; A = =-(2-0)=-2;

A = =-4+4=0.

Обратная матрица имеет вид: .

Сделаем проверку:

Найдем решение системы уравнений:

Ответ: (-2;1;3).

Задание 6.

Даны координаты вершин пирамиды ABCD: А(2;1;2), В(-2;0;1), С(3;1;1), D(4;2;0). Требуется:

1) записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов;

2) найти угол между векторами и в градусах с точностью до двух знаков после запятой;

3) найти проекцию вектора на вектор ;

4) вычислить площадь грани ABC;

5) найти объем пирамиды ABCD.

Решение.

1) Если и , то вектор имеет координаты: .

Следовательно,

В системе орт эти вектора имеют вид:

; ; .

Длину вектора найдем по формуле: . Имеем , , .

2) Если и и a-угол между этими векторами, то этот угол можно определить по формуле: .

Тогда

Получаем

3) Проекцию вектора на вектор найдем по формуле: , где -скалярное произведение векторов и . Так как , , то . А тогда .

4) Площадь грани АВС найдем по формуле:

где , . Имеем , . Тогда:

5) Из школьного курса известно, что , тогда

С другой стороны , где , , .

Имеем, , , , , , .

Тогда

Ответ: 1) ; ; ; ; ; ;

2) ; 3) ; 4) ; 5)

Задание 7.

Даны координаты точек A(6;2;8), B(10;4;4), C(7;1;4).

Требуется:

1) составить канонические уравнения прямой AB;

2) составить уравнение плоскости Q, проходящей через точку C перпендикулярно прямой AB;

3) найти точку пересечения прямой AB с плоскостью Q;

4) вычислить расстояние от точки C до прямой AB;

5) найти точку D, симметричную точке С относительно прямой АВ.

Решение.

1)Прямая, проходящая через две точки и пространства, может быть представлена каноническими уравнениями: .

Так как А(6;2;8) и В(10;4;4), то или .

Итак,

2) Направляющий вектор прямой АВ имеет вид: . Известно, что если прямая

перпендикулярна плоскости , то . Так как плоскость Q проходит через точку С, то ее уравнение можно найти, используя уравнение плоскости, проходящей через данную точку :

Тогда . Так как , то и, следовательно, уравнение плоскости Q примет вид: или

3) Запишем уравнение прямой АВ в параметрическом виде. Пусть -параметр, тогда . Подставим выражения для x, y, z в уравнение плоскости и найдем значение параметра t, зная который определим координаты точки Kпересечения прямой AB с плоскостью .

Имеем: .

Тогда точка K имеет координаты (8;3;6).

4) Так как прямая АВ перпендикулярна плоскости , которая проходит через точку С, то расстояние от точки С до прямой АВ найдем как расстояние между точками С и K по формуле:

5) Так как точка D симметрична точке С относительно прямой АВ, то прямая АВ перпендикулярна прямой CD, а, следовательно, CK=DK, т.е. точка K делит отрезок CD пополам. А тогда ; ; .

Откуда ; ; . Итак, точка D имеет координаты ; ; или D(9;5;8).

Ответ: 1) ; 2) ; 3) K(8;3;6); 4) D(9;5;8).

Задание 8.

Прямая линия задана в виде пересечения двух плоскостей. Написать канонические уравнения этой прямой и найти точку P, симметричную точке N(2;-1;4) относительно этой прямой.

Решение.

Чтобы найти канонические уравнения прямой, необходимо знать координаты какой-либо точки, лежащей на этой прямой, и координаты направляющего вектора этой прямой.

Прямая задана в виде системы двух уравнений с тремя неизвестными x, y, z. Такая система имеет бесконечное множество решений. Найдем одно из них. Придадим одной из переменных определенное значение, например, z=0. Тогда получим систему двух уравнений с двумя неизвестными x и y. Решим ее:

Таким образом, одна из точек прямой имеет координаты (1;2;0). Координаты направляющего вектора определим как координаты вектора, представляющего собой векторное произведение нормальных векторов заданных плоскостей: и

Итак, направляющий вектор данной прямой имеет координаты: (19;26;1).

Каноническое уравнение прямой L можно записать в виде:

, где -координаты точки, принадлежащей данной прямой и - направляющий вектор этой прямой.

Следовательно, прямая имеет вид:

Найдем координаты точки P симметричной точке N относительно прямой L. Точка T лежит на прямой L и делит отрезок PN пополам. Тогда координаты точки P найдем по формулам: . (1)

Прямая TN перпендикулярна прямой L, следовательно, их направляющие вектора и также перпендикулярны. А это означает, что , т.е. или . (2)

Так как точка T принадлежит прямой L, то ее координаты, подставленные в уравнение прямой L, обращают его в верное тождество: Пусть эти отношения равны некоторому параметру t, тогда .

Подставим выражения для x, y, z в уравнение (2), получим

Итак, T имеет координаты: . .

Из формулы (1) следует, что координаты точки P вычислим по формуле:

. Имеем, . Тогда .

Ответ: ; .

Задание 9.

Найти пределы функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) .

Решение.

1) .

Подставим в функцию, стоящую под пределом, вместо x значение -1. Получим:

2) .

При x=2 и знаменатель, и числитель функции f(x)= обращаются в нуль: и , откуда получаем неопределенность вида . Чтобы раскрыть неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители. Найдем корни числителя:

; ;

корни знаменателя:

; ;

Итак,

3) ;

Подставляя в функцию получаем неопределенность вида . Чтобы ее раскрыть, вынесем за скобки в числителе и знаменателе многочлены наивысшей степени. Получим:

так как при - бесконечно малы.

4) .

При х=-2 числитель и знаменатель функции обращается в нуль. Имеем неопределенность . Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель дроби на и выполним необходимые преобразования:

5) ;

Под знаком предела при имеем неопределенность Преобразуем функцию так, чтобы можно было использовать первый замечательный предел: .

6) .

Под знаком предела при имеем неопределенность . Преобразуем функцию так, чтобы можно было использовать формулу . Разделим числитель и знаменатель дроби на 5х и выполним необходимые преобразования:

Ответ: 1) 0; 2) ; 3) 3; 4) 5) 6)

Задание 10.

Найдите производные заданных функций.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ; 7) .

Решение.

1) .

Найдем производную функции, используя правила дифференцирования:

Использованы формулы: ; ; .

2) .

Найдем производную функции, используя правила дифференцирования:

Использованы формулы: ; ; ;

; .

3) .

Найдем производную функции, используя правила дифференцирования:

Использованы формулы: ; ; .

4) .

Найдем производную функции, используя правила дифференцирования. Для этого представим функцию в следующем в виде:

Использованы формулы: ; ; .

5) .

Найдем производную функции, используя правила дифференцирования:

Использованы формулы: ; ; ; ;

; .

6) .

Так как функция задана неявно, то, для нахождения производной данной функции, возьмем производную обеих частей равенства:

Использованы формулы: ; ; .

7) .

Данная функция задана параметрически. Производную функции y(x) найдем по формуле:

. Имеем, ; .

Тогда .

Использованы формулы: ; ; .

Задание 11.

Дана функция y=f(x) и значения аргумента x₁ и x_2.Требуется найти приближенное значение функции при x=x₂, исходя из ее точного значения при x=x₁, заменяя полное приращение функции ее дифференциалом:

1) ; 2)