Вероятность случайного события. Относительная частота случайного события. Понятие вероятности случайного события. Аксиомы теории вероятностей.

Вероятностный эксперимент. Пространство элементарных событий.

Вероятностный эксперимент (Е) - испытания, которые могут быть многократно воспроизведены при соблюдении одних и тех же фиксированных условий, результат которых не удается заранее однозначно предсказать.
Пространство элементарных событий — множество всех взаимно или попарно исключающих друг друга исходов случайного эксперимента, которые вместе образуют полную группу событий.
Случайным событием - событие, о котором нельзя заведомо точно сказать, произойдёт оно или нет. Случайные события обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C, D, …).
Элементарное событие ω - любой мысленно возможный неразложимый результат вероятностного эксперимента Е
Достоверное событие - событие, которое всегда происходит, т. е. совпадающее с пространством элементарных событий Ω.
Невозможное событие - событие, которое никогда не произойдёт, т. е. совпадающее с пустым множеством.

2. Операции над событиями.

Сумма событий A и B - третье событие А+В (A∪B), состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий А или В. Благоприятными событию А∪В являются все элементарные события, благоприятные хотя бы одному из событий А или В.
Произведение событий А и В - третье событие АВ(A ∩ B), состоящее в одновременном осуществлении событий А и В. Благоприятными событию А ∩ В являются все элементарные события, благоприятные одновременно событию А и событию В.
Разность событий А и В - третье событие А–В (А\В), состоящее в осуществлении события А без осуществления события В. Событие А\В состоит из элементарных событий благоприятных событию А, за исключением элементарных событий благоприятных со- бытию В.
Противоположное событие А - событие А, состоящее в не наступлении события А. Событию А благоприятны все возможные элементарные события пространства элементарных событий Ω, кроме тех, которые благоприятны событию А (А = Ω \ А).
Несовместное событие А и В - событие, которое не может произойти одновременно, т. е. одновременное осуществление событий А и В есть событие невозможное (А ∩ В = Ø).

Вероятность случайного события. Относительная частота случайного события. Понятие вероятности случайного события. Аксиомы теории вероятностей.

Число m называется частотой появления случайного события А, а отношение P =m/n – относительной частотой случайного события А. Относительная частота наступления некоторого случайного события не является постоянной величиной, однако она обладает устойчивостью, стремлением к некоторому постоянному числу и колебания её тем меньше, чем больше проведено экспериментов.
Вероятность случайного события А - числовая функция Р(А), определённая на пространстве элементарных событий Ω, характеризующая меру объективной возможности наступления события А.
А1 (аксиома неотрицательности). Вероятность любого события A есть неотрицательное число:
P(A) ≥ 0, для любого события A.
А2 (аксиома нормированности). Вероятность достоверного события (всего пространства элементарных исходов Ω) равна единице: P(Ω) = 1.
А3 (аксиома аддитивности). Вероятность суммы счетного числа несо- вместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ …) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + …
Основные следствия из аксиом теории вероятностей:
1 Вероятность невозможного события равна нулю: P(∅) = 0.
2 Вероятность любого случайного события есть число, заключенное в отрезке от нуля до единицы:
0 ≤ P(A) ≤ 1.
3 Вероятность события A, противоположного событию A, можно определить следующим образом:
P(A) = 1 – P(A).

4. Классический метод вычисления вероятностей. Элементы комбинаторики.
Классический метод вычисления вероятностей
Р (А) = m/n, где m – число элементарных исходов, благоприятных событию A;
n – общее число исходов пространства элементарных событий Ω.

Ограничения классического способа:
а) все элементарные исходы вероятностного эксперимента Е должны быть равновозможными, то есть
P (ωi) = P (ωj), для любых i, j;
б) множество всех элементарных исходов пространства Ω должно быть конечным.
Комбинаторика – раздел математики, изучающий количество комбинаций, подчинённых некоторым условиям.

Лемма 1 (основная лемма комбинаторики)
Из m элементов первого множества {a₁ a₂,, a_m, } и n элементов второго множества {b₁,b₂...,b_n } можно составить ровно mn различных упорядоченных пар (a_i,b_j), содержащих по одному элементу из каждого множества.
Лемма 2
Из n₁ элементов первого множества {a₁,a₂,...,a_n1 }, n₂ элементов второго множества {b₁, b₂,..,b_n2 } и т. д.,
n_k элементов k- го множества {x₁, x₂,..,x_nk } можно составить ровно n₁ ⋅ n₂ ⋅..⋅n_k различных упорядоченных комбинаций (a_i,b_j,..,x_s), содержащих по одному элементу из каждого множества.
Перестановки - комбинации n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Количество возможных перестановок n различных элементов обозначается P _n=n!
Упорядоченные выборки (размещениями) - комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, различающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Количество возможных размещений m элементов из n различных элементов обозначается А ^m _n.
Неупорядоченные выборки (сочетаниями) - комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, различающиеся только составом элементов. Количество возможных сочетаний m элементов из n различных элементов обозначается Сn^m.

5. Геометрический метод вычисления вероятностей.
Если пространство элементарных событий Ω вероятностного эксперимента Е является несчетным, то для вычисления вероятностей случайных событий может применяться геометрический метод.
Пусть пространство Ω эксперимента E содержит несчетное множество элементарных исходов
ω (т. е. ׀Ω׀ = ∞) и их можно трактовать как точки в евклидовом пространстве, а события эксперимента E – как некоторые ограниченные области этого пространства. Тогда вероятность случайного события A может быть определена выражением: P(A)=
где µ(A) – геометрическая мера (длина, площадь, объём) области, соответствующая событию A;
µ(Ω) – геометрическая мера области, соответствующая пространству элементарных событий Ω.

6. Свойства вероятностей случайного события.
Свойство 1. P(Ø) = 0, т. е. вероятность невозможного события равна 0.
Свойство 2. Если в пространстве Ω, содержащем конечное или счётное множество возможных элементарных событий ω₁, ω₂,..., ωi,.. (Ω= { ω₁, ω₂,.., ωi,.. }), заданы вероятности элементарных событий P(ω₁) = p₁, P(ω₂) = p₂,..., P(ωi) = pi,..., то вероятность произвольного события А= { ω_j, ω_k,..., ω_i } равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятных событию А, т. е. P(A) = ∑ P(ω_i).

ω_i ∈ A
Свойство 3. Если A ⊆ B, то P(B \ A) = P(B) − P(A).
Свойство 4 (следствие свойства 3). Если A ⊆ B, то P(B) ≤ P(A).
Свойство 5. P(A) =1− P(A), т.е. сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
Свойство 6. 0 ≤ P(A) ≤ 1, т. е. вероятность произвольного слу- чайного события принадлежит отрезку [0,1].
Свойство 7. Вероятность произведения двух несовместных слу- чайных событий равна нулю.
То есть, если события А и В несовместны, то P(A∩ B) = 0.
Гипотеза - несовместные события H₁ H₂... Hn,, которые образуют полную группу событий.
Свойство 8. Сумма вероятностей гипотез H₁,H_2,..., Hn равна единице.
Гипотезы, вероятности которых равны, называются шансами.

7. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность. Независимость событий.

Теорема сложения вероятностей двух событий:
Пусть A и B – произвольные случайные события, принадлежащие пространству Ω, тогда вероятность суммы этих событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Следствие. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий: P(A ∪ B) = P(A) + P(B), т. к. вероятность произведения несовместных событий равна нулю по свойству 7.
Теорема сложения вероятностей трёх произвольных событий:
P (А ∪ В ∪ С) = Р (А)+Р (В)+Р (С) - Р (А∩ В) - Р(А∩С) - Р(В∩С)+Р (А∩В∩С).
Теорема умножения вероятностей двух произвольных событий. Вероятность произведения двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого события при условии, что первое уже произошло:
P(A ∩ B) = P(A)P(B | A) = P(B)P(A| B).
Теорема умножения вероятностей трёх произвольных событий:
P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B | A)P(C | A ∩ B).
Следствие 1. Если событие A не зависит от B, то и событие B не зависит от A.
Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. То есть, если события A и B независимы, то P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Если наступление события A не изменяет вероятности появления B, событие B называется независимым от события A.
Условной вероятностью P(B | A) (или P_А (B)) называют вероятность наступления события B при условии, что событие A уже произошло.