 |
Геометрические и физические приложения
|
|
|
|
Двойной интеграл
Рассмотрим в плоскости О ху замкнутую область D, ограниченную линией L. Разобьем эту область какими-нибудь линиями на п частей 
, а соответствующие наибольшие расстояния между точками в каждой из этих частей обозначим d 1, d 2,..., dn. Выберем в каждой части 
точку Рi.
Пусть в области D задана функция z = f(x, y). Обозначим через f (P 1), f (P 2),…, f (Pn) значения этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида f (Pi)Δ Si:
, (1)
называемую интегральной суммой для функции f(x, y) в области D.
Если существует один и тот же предел интегральных сумм (1) при 
и 
, не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек Pi в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается
. (2)
Вычисление двойного интеграла по области D, ограниченной линиями 
x = a, x = b (a < b), где φ 1(х) и φ 2(х) непрерывны на [ a, b ] (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла:
Рис. 1
= 
(3)
Тройной интеграл
Понятие тройного интеграла вводится по аналогии с двойным интегралом.
Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию f(x, y, z). Затем разобьем область V на произвольные части Δ vi, считая объем каждой части равным Δ vi, и составим интегральную сумму вида
, (4)
Предел при 
интегральных сумм (11), не зависящий от способа разбиения области V и выбора точек Pi в каждой подобласти этой области, называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V:
. (5)
Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по области V равен трехкратному интегралу по той же области:
|
|
|
. (6)
Кратные интегралы в криволинейных координатах
Введем на плоскости криволинейные координаты, называемые полярными. Выберем точку О (полюс) и выходящий из нее луч (полярную ось).
Рис. 2 Рис. 3
Координатами точки М (рис. 2) будут длина отрезка МО – полярный радиус ρ и угол φ между МО и полярной осью: М( ρ,φ ). Отметим, что для всех точек плоскости, кроме полюса, ρ > 0, а полярный угол φ будем считать положительным при измерении его в направлении против часовой стрелки и отрицательным – при измерении в противоположном направлении.
Связь между полярными и декартовыми координатами точки М можно задать, если совместить начало декартовой системы координат с полюсом, а положительную полуось Ох – с полярной осью (рис. 3). Тогда x=ρ cosφ, у =ρsinφ. Отсюда 
, tg 
.
Зададим в области D, ограниченной кривыми ρ=Φ 1(φ) и ρ=Φ 2(φ), где φ 1 < φ < φ 2, непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).
Рис. 4
Тогда
(7)
В трехмерном пространстве вводятся цилиндрические и сферические координаты.
Цилиндрические координаты точки Р(ρ,φ,z) – это полярные координаты ρ, φ проекции этой точки на плоскость О ху и аппликата данной точки z (рис.5).
Рис.5 Рис.6
Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым можно задать следующим образом:
x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, z = z. (8)
В сферических координатах положение точки в пространстве определяется линейной координатой r – расстоянием от точки до начала декартовой системы координат (или полюса сферической системы), φ – полярным углом между положительной полуосью О х и проекцией точки на плоскость О ху, и θ – углом между положительной полуосью оси О z и отрезком OP (рис.6). При этом
Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым:
x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ. (9)
|
|
|
Тогда формулы перехода к цилиндрическим или сферическим координатам в тройном интеграле будут выглядеть так:
, (10)
где F 1 и F 2 – функции, полученные при подстановке в функцию f вместо x, y, z их выражений через цилиндрические (8) или сферические (9) координаты.
Геометрические и физические приложения
Кратных интегралов
1) Площадь плоской области S:
(11)
Пример 1.
Найти площадь фигуры D, ограниченной линиями 
у = 2, у = 5.
Решение.
Эту площадь удобно вычислять, считая у внешней переменной. Тогда границы области задаются уравнениями 
и
где 
вычисляется с помощью интегрирования по частям:
Следовательно,
2) Объем цилиндроида, то есть тела, ограниченного частью поверхности S: z = f(x,y), ограниченной контуром L, проекцией D этой поверхности на плоскость О ху и отрезками, параллельными оси О z и соединяющими каждую точку контура L с соответствующей точкой плоскости О ху:
(12)
3) Площадь части криволинейной поверхности S, заданной уравнением z = f(x,y), ограниченной контуром L:
(13)
где D – проекция S на плоскость Оху.
4) Момент инерции относительно начала координат О материальной плоской фигуры D:
(14)
Пример 2.
Найти момент инерции однородной круглой пластинки
(x – a)2 + (y – b)2 < 4 b 2 относительно начала координат.
Решение.
В силу однородности пластинки положим ее плотность γ (х, у) = 1.
Центр круга расположен в точке C (a, b), а его радиус равен 2 b.
Уравнения границ пластинки имеют вид
Вычислим каждый из полученных интегралов отдельно.
Для вычисления интеграла I 1 сделаем замену: 
при x = a – 2 b 
при x = a + 2 b 
Для вычисления интеграла I 2 преобразуем подынтегральную функцию по формуле разности кубов:
Тогда
Следовательно, 
Моменты инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу:
(15)
5) Масса плоской фигуры D переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у):
(16)
Пример 3.
Найти массу пластинки D плотности γ = ух 3, если 
Решение.
Координаты центра масс плоской фигуры переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у):
(17)
Пример 4.
Найти центр тяжести однородной пластины D, ограниченной кривыми у 2 = ах и 
Решение.
Так как пластина однородна, т.е. ее плотность постоянна, то можно принять ее за единицу.
|
|
|
Тогда 
Найдем массу пластины, а для этого определим абсциссу точки пересечения ограничивающих ее линий:
Соответственно
6) Объем тела V:
(18)
Пример 5.
Найти объем тела V, ограниченного поверхностями 
Решение.
Найдем проекцию тела на плоскость Оху (при этом заметим, что плоскость 
проектируется на эту плоскость в виде прямой
х = 0):
Определим абсциссу точки пересечения кривых у = х 2 и х + у = 2:
посторонний корень. Тогда, используя формулу (18), получаем:
7) Масса тела V плотности γ = γ (x, y, z):
(19)
8) Моменты инерции тела V относительно координатных осей и начала координат:
(20)
(21)
где γ (х, y, z)– плотность вещества.
Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy:
(22)
9) Координаты центра масс тела:
(23)
|
|
|
