Соотношения между коэффициентами Эйнштейна

Эйнштейн рассмотрел процессы в полости абсолютно черного тела, в которой находятся атомы газа. Со стенок, ограничивающих полость абсолют­но черного тела, происходит тепловое излучение электромагнитного поля, вследствие чего в полости устанавливается некоторая плот­ность энергии этого поля П_n. Под действием этого поля атомы газа со­вершают вынужденные переходы; кроме того, происходят и спонтан­ные переходы. Эйнштейн рассмотрел состояние термодинамическо­го равновесия такой системы. Состоянием термодинамического рав­новесия называется такое, в которое она приходит, будучи предостав­ленной сама себе. В этом состоянии плотность энергии электромаг­нитного поля в полости абсолютно черного тела, находящегося при температуре Т, определяется формулой Планка

(2.40)

Распределение атомов газа по уровням энергии в состоянии термо­динамического равновесия подчиняется закону Больцмана

. (2.41)

При этом число излучательных переходов в единицу времени с верхних уровней на нижние должно равняться числу безызлучательных переходов с нижних уровней на верхние. Рассмотрим переходы ме­жду двумя уровнями Е₂ и Е₁. С уровня Е₂ совершаются спонтанные переходы с вероятностью в единицу времени А₂₁ и вынужденные пе­реходы под действием поля излучения стенок полости с вероятно­стью E₂₁ = B₂₁ П_n. Полное число переходов в единицу времени со второго на первый уровень N₂₁ будет

N₂₁ = N₂ (A₂₁ + Е₂₁) = N₂ (A₂₁ + B₂₁ П_n). (2.42)

С первого уровня на второй будут совершаться только вынужден­ные переходы, число которых в единицу времени:

N₁₂ = N₁B₁₂П_n. (2.43)

В состоянии равновесия

N₂ (A₂₁ + Е₂₁) = N₁ Е₁₂. (2.44)

При условии B₁₂ = B₂₁

. (2.45)

В приборах СВЧ-диапазона, работающих на «низкой» частоте, вероятность спонтанных переходов мала по сравнению с вероят­ностью вынужденных переходов и их роль невелика. В лазерах же, работающих на оптических частотах, пренебрегать спонтанными переходами нельзя.

Релаксационные переходы

Переход системы частиц в состо­яние термодинамического равновесия называется процессом ре­лаксации, а квантовые переходы, которые способствуют установ­лению и поддержанию термодинамического равновесия, называ­ются релаксационными переходами. В качестве примера, иллюст­рирующего релаксационные переходы, рассмотрим процессы в не­котором объеме газа. Как известно, молекулы газа находятся в теп­ловом хаотическом движении, причем средняя кинетическая энер­гия молекулы газа пропорциональна KT (K – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура газа). В процессе теплового хаоти­ческого движения молекулы газа сталкиваются между собой. При этом сталкивающиеся частицы могут взаимодействовать между собой либо упруго, т.е. без изменения суммарной кинетической энергии сталкивающихся частиц, либо неупруго, когда часть кине­тической энергии одной частицы может перейти во внутреннюю Энергию другой (или наоборот: внутренняя энергия одной частицы может перейти в кинетическую энергию другой). В состоянии тер­модинамического (теплового) равновесия температура газа и сум­марная кинетическая энергия всех частиц остаются неизменными. Неизменна и внутренняя энергия частиц, которая распределяется между уровнями по закону Больцмана.

Если нарушить равновесие, например, резко увеличить тем­пературу газа до величины T₂, то при новой температуре сред­няя кинетическая энергия молекул газа возрастет (станет про­порциональна KT₂), суммарная кинетическая энергия всех час­тиц газа возрастет, а внутренняя энергия частиц некоторое вре­мя будет оставаться неизменной. В результате неупругих соударении, при которых часть кинетической энергии молекул перехо­дит во внутреннюю энергию частиц, произойдет ее увеличение так, что установится новое распределение частиц по энергиям. После установления нового равновесия внутренняя энергия рас­пределяется по закону Больцмана при температуре Т₂. Постоянная времени установления процесса релаксации назы­вается временем релаксации t_рел.

Релаксационные процессы происходят не только в газах, но и в твердых телах. Переход кинетической энергии одной частицы во внутреннюю энергию другой при неупругих столкновениях молекул газа является примером релаксационных переходов. Релаксаци­онные переходы носят статистический характер. Вероятности ре­лаксационных переходов между уровнями Е₁ и Е₂ будем обозна­чать Е₁₂, а обратных переходов Е₂₁. В большинстве случаев, име­ющих место в квантовых приборах, релаксационные переходы яв­ляются безызлучательными.

В состоянии термодинамического равновесия населенности уровней не изменяются во времени, поэтому число безызлучательных переходов с уровня 1 на уровень 2 в 1 с равно числу обратных безызлучательных переходов с уровня 2 на уровень 1

N_1БE₁₂ = N_2БE₂₁. (2.46)

В состоянии термодинамического равновесия распределение населенностей определяется законом Больцмана. Получаем

E₂₁ / E₁₂ = exp (hn₂₁ / KT). (2.47)

Из этого следует, что вероятность безызлучательных пере­ходов сверху вниз больше, чем снизу вверх (E₂₁ > E₁₂) в отличие от вероятностей вынужденных переходов, которые одинаковы. Если hn₂₁ << KT, что обычно справедливо для квантовых прибо­ров СВЧ-диапазона, то можно заменить приближенным выражением

E₂₁ / E₁₂ = 1 + hn₂₁ / KT. (2.48)

Ширина спектральной линии

До сих пор мы рассматривали ансамбли одинаковых частиц, имеющих, например, энергетические уровни Е₂ и Е₁, между кото­рыми совершаются переходы. При излучательных переходах между уровнями Е₂ и Е₁ различных частиц частота излучения всех частиц по формуле должна быть одинаковой. Однако в соответствии с принципом Паули в системе частиц не может быть больше двух частиц, имеющих одинаковую энергию. Поэтому при образовании ансамбля одина­ковых частиц их энергетические уров­ни несколько расщепляются. Степень размытия уровней определяется соот­ношением Гейзенберга, которое можно записать в форме

DЕDt ³ h, (2.49)

где DЕ и Dt - неопределённости энергии и времени.

Предположим, что необходимо определить частоту излучения при переходе с уровня 2 на основной уровень 1. Вре­мя жизни частиц в возбужденном состоянии определяется: t₂=1/А₂₁. Следует считать, что неопределенность времени равна времени жизни частицы, т.е. Dt=t₂. Подставляя Dt в формулу (2.49), полу­чаем неопределенность энергии уровня 2: DЕ₂ ³ h/t₂. Наиболее широкими оказываются уровни с малым временем жиз­ни. Неопределенность частоты перехода между «размытыми» уровнями 2 и 1 с ширинами DЕ₂ и DЕ₁ находится из со­отношения n_maх–n_min=(DЕ₂ + DЕ₁)/h и определяется суммой неопределенностей энергии обоих уровней. Ширина спектральной линии, определяемая только временем жизни частиц по спонтанному излучению, минимальна и называется есте­ственной шириной спектральной линии. Ширину контура спект­ральной линии принято определять как разность частот, на которых интенсивность I равна половине максимального значения I_о. Частотой перехода (центральной частотой перехода) называют частоту, соответствующую максимуму спектральной ли­нии. Форма спектральной линии может быть представлена так назы­ваемой лоренцевой кривой I/I₀ = Dn² / [(n -n₀)² + Dn²], совпадающей с резо­нансной кривой ко­лебательного конту­ра. Реальные наблю­даемые спектраль­ные линии имеют ширину больше ес­тественной.

Уширение спек­тральной линии из-за столкнове­ний. В газообразных веществах молекулы газа, находясь в тепловом движении, сталкиваются друг с другом; при этом часть таких столкновений носит неупру­гий характер. При неупругих соударени­ях совершается переход между уровня­ми, что сокращает время жизни части­цы на уровне по сравнению с временем жизни, обусловленным спонтанными переходами. Но уменьшение времени жизни на уровне в соответствии с прин­ципом Гейзенберга приводит к увеличению размытости уров­ня DЕ, что в свою очередь приводит к уширению спектра излучения. Для уменьшения эффекта уширения линии излучения при столкно­вениях в некоторых квантовых приборах используются методы, сни­жающие вероятность неупругих столкновений излучающих частиц. Для этого увеличивают длину свободного пробега частиц, заставляя их двигаться в форме остро направленных пучков. Для предотвра­щения сокращения времени жизни при неупругих соударениях со стенками сосуда последние покрывают материалом, при столкнове­ниях с которым частица испытывает только упругое отражение.

Доплеровское уширение спектральной линии. Это уширение связано с эффектом Доплера, т.е. с зависимостью наблюдае­мой частоты излучения от скорости движения излучателя. Если ис­точник, создающий в неподвижном состоянии монохроматическое излучение с частотой n₀, движется со скоростью V в сторону к на­блюдателю так, что проекция скорости на направление наблюде­ния составляет V_х, то наблюдатель регистрирует более высокую частоту излучения

n = n₀ (1 + V_х / с) = n₀ (1 + V cosq / c), (2.50)

где с – фазовая скорость распространения волны; q – угол между на­правлениями движения излучателя и наблюдения.

В квантовых системах источниками излучения являются атомы или молекулы. В газообразной среде при термодинамическом рав­новесии скорости частиц распределены по закону Максвелла – Больцмана. Поэтому и форма спектральной линии всего вещества будет связана с этим распределением. В спектре, регистрируемом наблюдателем, должен быть непрерывный набор частот, так как разные атомы движутся с разными скоростями относительно на­блюдателя. Учитывая лишь проекции скоростей V_x распределении Максвелла – Больцмана, можно получить следующее выражение для формы доплеровской спектральной линии

I = I₀ еxp . (2.51)

Эта зависимость является гауссовской функцией. Соответствующая значению I₀/2 ширина линии

. (2.52)

С увеличением массы частиц М и понижением температуры Т шири­на линии Dn уменьшается.

Наблюдаемая спектральная линия вещества представляет со­бой суперпозицию спектральных линий всех частиц вещества, т.е. линий с различными центральными частотами. Для легких частиц при обычной температуре ширина доплеровской линии в оптичес­ком диапазоне может превышать естественную ширину линии на несколько порядков и достигать значения более 1 ГГц.

В квантовых приборах широко используются твердые вещества с примесными ионами, квантовые переходы которых являются ра­бочими. Колебания кристаллической решетки создают переменное электрическое поле, которое влияет на ионы решетки и изменяет их энергию, а это приводит к размытию энергетических уровней и уширению спектральной линии. Кроме того, ширина линии увеличивает­ся вследствие тепловых колебаний самих ионов. Причиной уширения спектральной линии твердого тела может быть также пространс­твенная неоднородность физических параметров среды или неод­нородности электрического и магнитного полей. Причиной уширения спектральной линии может быть также электромагнитное излу­чение, вызывающее вынужденные переходы между рассматривае­мыми уровнями и приводящее к изменению времени жизни частицы. Поэтому, например, процесс генерации излучения в квантовых при­борах будет приводить к изменению ширины линии.

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: