Тензор конечных деформаций
Рассмотрим произвольно ориентированный бесконечно малый отрезок внутри деформируемого тела, ограниченный точками 1{ x, y, z } и 2{ x + dx, y + dy, z + dz } (рис. 8). Под действием внешних сил концы отрезка получают некоторые перемещения, которые предполагаются непрерывными функциями координат. Обозначим проекции вектора перемещения точки 1 по осям координат x, y, z соответственно u (x, y, z), v (x, y, z), w (x, y, z). Тогда компоненты перемещения второго конца отрезка составят u + du, v + dv, w + dw, а координаты точек 1 и 2 после деформации будут 1’{ x + u, y + v, z + w }; 2’{ x + dx + u + du, y + dy + v + d v, z + dz + w + dw }. Рис. 8 Конечная деформация бесконечно малого отрезка внутри деформируемого тела Для определения приращений du, dv, dw воспользуемся понятием дифференциала функции трех независимых переменных (1.48)
Различные меры деформации основаны на сравнении тех или иных геометрических характеристик в исходном и конечном состояниях. С этой целью можно сравнивать длины, площади или объемы. Тензор конечных деформаций основан на сравнении квадратов длины. В исходном состоянии
Квадрат длины рассматриваемого отрезка после деформации составит или с учетом приращений (1.52)
где
По предложению Грина [6], за меру деформации можно принять отношение
Переходя от проекций длины отрезка в исходном состоянии dx, dy, dz к его направляющим косинусам
уравнение (1.54) можно представить в виде
Сравнение уравнений (1.57) и (1.14) позволяет утверждать, что компоненты
который называют тензором конечной деформации Грина.
Если воспользоваться индексными обозначениями для компонент вектора перемещения
тогда тензор (1.58) с компонентами (1.55) можно записать в кратком виде
суммирование в правой части проводится только по индексу k, так как другие индексы в одночленах не повторяются. Тензор малых деформаций В области упругих и упругопластических деформаций для большинства металлов компоненты
который называют тензором малых деформаций Коши. В технических приложениях обычно используют обозначения
при этом тензор малых деформаций принимает вид
Компоненты (1.62) имеют простой геометрический смысл и характеризуют деформацию волокон, первоначально параллельных осям координат. На рис. 9 показана проекция одной грани параллелепипеда на плоскость x - y (с длинами ребер dx и dy в исходном состоянии) до и после деформации. Рис. 9 Линейные и угловые деформации Из соотношения (1.58) при условии dl 0
Действительно, считая поворот ребер незначительным, для стороны ab можно записать
Аналогичным образом, разность перемещений концов отрезка ac в направлении оси y, отнесенная к его начальной длине dy, определяет деформацию ey. С другой стороны, сумма углов поворота сторон ab и ac определяет деформацию сдвига или искажение первоначально прямого угла
Компоненты тензора 0,5 Так как компоненты малой деформации (1.62) образуют симметричный тензор второго ранга, для них справедливы все соотношения, полученные в разд. 1.1 для тензора напряжений. В частности, в окрестности любой точки деформированного тела можно выделить три главных направления, вдоль которых деформации сдвига отсутствуют, а деформации растяжения или сжатия достигают экстремальных значений и называются главными деформациями
Тензор деформации имеет три инварианта
которые не зависят от выбора осей координат и могут быть использованы для описания физических закономерностей процессов деформации. Линейный инвариант характеризует относительное изменение объема бесконечно малого параллелепипеда. Если его ориентировать по главным осям и обозначить исходные размеры a 0, b 0, h 0, тогда, в соответствии с определением (1.64), конечные размеры составят a 1= a 0(1+ Следовательно,
и для несжимаемой среды должно выполняться условие
Тензор деформации
Диагональные компоненты шарового тензора равны средней деформации
и характеризуют объемное расширение среды. Для несжимаемых материалов шаровой тензор деформации равен нулю, а девиатор совпадает с полным тензором В плоскостях, которые проходят через одно из главных направлений и делят пополам углы между другими главными направлениями, сдвиги достигают экстремальных значений и называются главными деформациями сдвига
Для тензора деформации можно построить круги Мора, определить параметр Лодэ-Надаи [3-6].
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|