Основы сопротивления материалов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ

МОСКОВСКИЙ ГОУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕХНОЛОГИЙ УПРАВЛЕНИЯ

______________________________________________________________

Кафедра «Теоретической механики и инженерной графики»

 

Шевелев И.А.

 

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

 

 

Учебно-практическое пособие

Для специальности 260201, 260202-260204, 260401, 260504,260302, 260501 заочной

Всех форм обучения

 

 

www.msta.ru.

 

 

Москва 2009

 

УДК -744

© Шевелев И.А.

Сопротивление материалов. Учебно-практическое пособиеМ: МГУТУ, 2009.

 

 

Настоящее учебно-практическое пособие предназначено для студентов технологических специальностей и содержит в краткой форме теоретические материалы, примеры решения задач, контрольные вопросы и тесты, а так же задачи для самостоятельного решения.

 

Составитель Шевелев И.А.

 

Рецензенты: Коросташевский Р.В., к.т.н., гл.констр. ОАО ВНИПП; Самохин О.Н., к.т.н., с.н.с., ОАО ВНИПП

Редактор Свешникова Н.И.

 

© Московский государственный университет технологий и управления,2009

109004, Москва, Земляной вал,73.

 

Содержание

Основы сопротивления материалов

 

1. Введение. Основные понятия определения………….…………………...4

2. Расчётная модель (схема)………………………………………………….4

3. Составные части модели прочностной надежности……………………..5

3.1. Конструкционные материалы и их модели……………………………...6

3.2. Модели формы…………………………………………………………….6

3.3. Модели внешнего нагружения…………………………………………...7

3.4. Модели разрушения………………………………………………………7

4. Внутренние силовые факторы (ВСФ)…………………………………...10

4.1. Метод сечения…………………………………………………………...10

5. Напряжение……………………………………………………….……….13

6. Механические характеристики материалов…………………….……….16

6.1. Коэффициент Пуассона…………………………………………………19

7. Геометрические характеристики плоских сечений (ГХПС)…………..21

8. Принцип расчета на прочность…………………………………..……...24

9. Расчеты на жесткость……………………………………………..……...27

10. Построение эпюр внутренних силовых факторов, напряжений и перемещений………………………………………………………………29

10.1. Правила построения эпюр при растяжении-сжатии…………………29

10.2. Построение эпюр при кручении для вала, нагруженного момента…31

10.3. Изгиб…………………………………………………………………….32

10.4. Дифференциальные зависимости при изгибе………………………...33

11. Устойчивость сжатых стержней…………………………………………34

11.1. Критические силы при сжатии стержня………………………………34

11.2. Критические напряжения при сжатии стержня………………………35

11.3. Определение критических напряжений при различных величинах гибкости стержня ………………………………………………………….35

12. Элементы теории напряженного состояния…………………….………36

12.1. Сложное напряженное состояние……………………………………..36

12.2. Теории (гипотезы) прочности…………………………………………37

13. Сложное сопротивление………………………………………………….38

14. Ударные, инерционные нагрузки………………………………………..41

15. Прочность при циклически изменяющихся напряжениях……………..42

15.1. Определение предела выносливости………………………………….42

15.2. Циклы напряжений и их параметры…………………………………..43

15.3. Предел выносливости при различных циклах нагружения………….45

15.4. Факторы, влияющие на предел выносливости……………………….46

16. Примеры решения задач…...…………………………………………….47

17. Задачи для самостоятельного решения…...…………………………….57

18. Понятия и термины…...………………………………………………….58

19. Тесты………………………………………………………………………61

20. Ответы…………………………………………………………….………64

21. Литература……………………………………………………..…………65

Основы сопротивления материалов

 

Введение. Основные понятия и определения

Изделия техники: машины и механизмы, конструкции и сооружения должны удовлетворять требованиям надежности и экономичности при их изготовлении и эксплуатации. Часто выход из строя одной части конструкции или детали механизма приводит к разрушению всего изделия. Поэтому требованиям надежности и экономичности должны удовлетворять отдельные элементы машин, различных конструкций и сооружений, от чего зависит их работоспособность. Это основная цель Сопротивления материалов».

Отдельную часть конструкции, сооружения или деталь машины условимся называть элементом конструкции (ЭК).

Сопротивление материалов (СМ) – наука об инженерных методах расчетов элементов конструкций (ЭК) на прочность, жесткость и устойчивость с целью обеспечения требуемой надежности и экономичности, минимальной материалоёмкости.

Под экономичностью конструкции подразумевается его минимальные материалоёмкость и затраты на изготовление и эксплуатацию.

Надежность конструкции – способность выполнять заданные функции, сохраняя свои нормативные эксплуатационные качества в течение требуемого срока работы.

Основная количественная характеристика надежности - это вероятность безотказной работы конструкции, определяемой требуемым ресурсом.

Прочность – способность конструкции или отдельных ее частей противостоять внешней нагрузке, не разрушаясь. Под внешней нагрузкой подразумевается совокупность внешних сил и моментов, действующих на конструкцию в целом и ее элементы.

Жесткость – способность конструкции или отдельных ее частей противостоять внешней нагрузке от изменения первоначальных форм и размеров.

Количественное выражение изменения формы и размеров ЭК и всей конструкции в целом называется деформацией.

Типы деформаций:

1) с геометрической точки зрения: линейные и угловые;

2) с физической точки зрения: упругие и пластичные (материалы: упругие, пластичные, упруго-пластичные);

3) по условиям нагружения: растяжение-сжатие, сдвиг (срез), кручение и изгиб.

Устойчивость – способность ЭК или конструкции в целом сохранять заданную форму упругого равновесия при внешней нагрузке.

 

2. Расчетная модель (схема)

При решении задач сопротивления материалов используются приемы моделирования. От правильности выбора критериев моделирования в конечном итоге зависят правильность и точность расчетов.

Элементы конструкций условно рассматриваются как модели (расчетные схемы).

Модель (расчетная схема) – совокупность представлений, зависимостей, условий, ограничений, описывающих процесс, явление.

 

 

Рис. 1. Структурная схема задач сопротивления материалов.

 

Модель получают из реального объекта и оставляют основные свойства, которые могут быть описаны математическими уравнениями. Погрешность при этом должна быть в пределах допустимой (до 5%). Величина погрешности при создании и решении модели не должна противоречить требованиям ее надежности и должна гарантировать требуемые эксплуатационные показатели и ресурс, а также экономичность.

 

3. Составные части модели прочностной надежности

Совокупность свойств расчётной модели (схемы) называют моделью прочностной надёжности. Эти свойства даны в таблице 1.

Таблица 1.

 

МАТЕРИАЛ ОДНОРОДНЫЙ, СПЛОШНОЙ, УПРУГИЙ, ИЗОТРОПНЫЙ

МОДЕЛЬ РАЗРУШЕНИЯ

1.СТАТИЧЕСКОЕ 2.МАЛОЦИКЛОВОЕ 3.УСТАЛОСТНОЕ 4.ПОД ДЕЙСТВИЕМ УДАРНЫХ И ИНЕРЦИОННЫХ НАГРУЗОК

НАГРУЗКИ: ОБЪЕМ- НЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ, СОСРЕДОТОЧЕН- НЫЕ, СТАЦИОНАРНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ, ОТ ВОЗДЕЙСТВИЯ СИЛ ТЯЖЕСТИ

1. БРУС: СТЕРЖЕНЬ, ВАЛ, БАЛКА 2. ОБОЛОЧКА 3. ПЛАСТИНА 4. МАССИВНОЕ ТЕЛО

МОДЕЛЬ НАГРУЗКИ (СИСТЕМЫ ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ СИЛ)

МОДЕЛЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

МОДЕЛЬ МАТЕРИАЛА

МОДЕЛЬ ПРОЧНОСТНОЙ НАДЕЖНОСТИ

 

3.1. Конструкционные материалы и их модели

 

В качестве конструкционных материалов в машиностроении используются в основном металлы и их сплавы, а также различные органические и неорганические материалы (полимеры, пластмассы, керамика, композитные материалы).

В сопротивлении материалов используются гипотезы о том, что материалы имеют сплошную однородную среду. Материал считается изотропным, т.е. свойства его по любым направлениям одинаковы. Считается, что материалы, абсолютно упругие и деформируемые, подчинятся закону Гука. Деформации малы в сравнении с первоначальными размерами ЭК, то есть должны выполняться принцип неизменности первоначальных размеров и должен принцип независимости действия сил. Это означает, что результат воздействия на реальный объект (ЭК) системы сил эквивалентен сумме результатов действия тех же сил, приложенных отдельно в произвольной последовательности (т.е. справедлив принцип суперпозиции и принцип Сен-Венана: в точках, достаточно удалённых от мест приложения нагрузок, внутренние силы весьма мало зависят от способа приложения нагрузок).

 

3.2. Модели формы

Геометрическая форма элементов конструкций часто бывает весьма сложной. Для определения напряженного и деформационного состояния применяют упрощенные схематизированные модели формы элементов конструкций с помощью стандартных типовых форм. Основными моделями формы являются брусья, пластины, оболочки, массивные тела.

Брус – геометрическое тело, у которого размеры сечения значительно меньше длины. Сечение, перпендикулярное оси бруса, называется поперечным сечением.

Линия, проходящая через центры тяжести поперечных сечений, называется осью бруса.

Брус, работающий на растяжение-сжатие, называют стержнем.

Брус, работающий на кручение, называют валом. В машинах и механизмах валы, в основном, работают при совместном действии изгиба и кручения. Брус, работающий на изгиб, называется балкой. Так как размеры сечения бруса (b и h) значительно меньше длины (l), в расчетных моделях брусья (валы, балки) изображают в виде сплошных линий, совпадающих с их осями. Брус – основной объект расчёта в сопротивлении материалов.

При деформировании используется гипотеза плоских сечений: сечения плоские до деформации остаются плоскими после деформации (гипотеза Бернулли).

Оболочками называются геометрические формы, ограниченные двумя близкими поверхностями.

Пластины ограничиваются двумя плоскими или слабоизогнутыми поверхностями (крыши зданий, палубы судов, люки и т.п.)

Массивное тело (массив) – модель элемента конструкции, в котором все размеры соизмеримы и являются величиной одного и того же порядка.

Реальные детали машин со сложной геометрией можно рассматривать как сочетание простых моделей формы.

Модели формы, их синтез имеют существенное значение для автоматизированного проектирования и конструирования (САПР).

 

3.3 Модели внешнего нагружения

Как известно, сила – мера механического взаимодействия тел. Если конструкцию или ЭК рассматривать изолировано от взаимодействующих с ними тел, действие последних заменяется силами, которые называются внешними силами. Внешние силы деформируют тело. Внешние силы, действующие на элемент конструкции, подразделяют на три группы (рис.2):

1. Сосредоточенные силы (F) – силы, действующие на небольших участках поверхности детали или элемента конструкции (рис.2-а, в).

2. Распределенные силы (q _1,2) – силы, действующие на значительных участках поверхности (рис.2-а).

3. Объемные или массовые силы – например, силы тяжести, инерции, электромагнитного притяжения (рис. 2-б).

Совокупность внешних сил, действующих на твёрдое тело, называют нагрузкой.

Возможно изменение сил во времени, определяемое условиями эксплуатации и параметрами рабочего процесса изделия: цикличность нагрузки, внезапные удары, имеющие вероятностный характер, вибрации. По характеру длительности действия принято различать нагрузки статические и динамические.

Статическая нагрузка – нагрузка, не изменяющаяся с течением времени (собственный вес конструкции) или изменяющаяся медленно, так что эффектом ускорения можно пренебречь.

Динамическая нагрузка – это нагрузка, учитывающая ускорения взаимодействующих тел. Динамическая нагрузка в отличие от статической меняет свое значение, положение или направление в короткие промежутки времени (движущие нагрузки, ударные, сейсмические и др.), вызывая большие ускорения и силы инерции, что приводит к определенному характеру деформирования и к колебаниям конструкций и сооружений. Динамические нагрузки делят на ударные, повторно-переменные и инерционные. Динамические нагрузки являются функцией времени.

Ударная нагрузка в момент ее приложения обладает определенной кинетической энергией.

Повторно-переменные нагрузки – нагрузки, которые во времени изменяются циклически (например, при вращении валов возникает совместное переменное действие изгиба и кручения).

 

3.4. Модели разрушения

Под разрушением в СМ понимается переход конструкции в такое состояние, при котором его дальнейшая эксплуатация становится невозможной. Внешние признаки разрушения проявляются в макроскопическом нарушении сплошности материала под действием чрезмерных внешних нагрузок. Разрушение проявляется также в появлении недопустимых остаточных деформаций и первичных трещин в ответственных конструкциях. При начале разрушения дальнейшая эксплуатация конструкции недопустима во избежание катастрофических последствий.

Модели разрушения – это совокупность условий (уравнений), которые связывают параметры работоспособности изделия или его отдельной части (элемента конструкции) в момент разрушения с параметрами, обеспечивающими прочность.

 

При этом подразумевается начало перехода от состояния прочности к началу разрушения. Эти условия называют условиями прочности.

 

а)	б)
в)

Рис.2. Виды нагрузок.

а) нагрузки, действующие на твердое тело:

q ₁ – нагрузка, распределенная по линии (Н/м);

q ₂ – нагрузка, распределенная по площади (Н/м²);

F ₁, F ₂ – сосредоточенные силы (Н).

б) нагрузка, распределенная по объему тела Н/м³, G – сила веса;

в) нагрузка, действующая по длине балки

- активные силы:

q – распределенная нагрузка,

М – сосредоточенный момент (Нм),

F – сосредоточенная сила (Н)

- реактивные силы:

R_А – опорная реакция (Н),

М_А – реактивный момент (Нм).

 

Процесс разрушения сопровождается упругой и пластической деформациями. Различают следующие модели разрушений в зависимости от условий нагружения и вида деформирования.

Статическое разрушение -пластическая деформация развивается при постоянной нагрузке. Характер разрушения – пластический (со значительной остаточной деформацией) или хрупкий (с малой остаточной деформацией).

Длительное статическое разрушение – при значительных температурах развивается ползучесть, пластические деформации увеличиваются с течением времени при постоянной нагрузке, что приводит к разрушению.

Усталостное разрушение - наступает после многократных циклически изменяющихся, нагрузках. Разрушение происходит при отсутствии видимых пластических деформаций. При этом разрушение происходит в том месте детали, где имеется концентратор напряжений, появляется трещина и распространяется по объему материала.

Малоцикловое разрушение – разрушение, которое носит смешанный пластический и хрупкий характер.

 

Вопросы к 1-3

1. Какие задачи решает сопротивление материалов?

2. Что такое элемент конструкции?

3. Понятия о надежности и экономичности.

4. Что такое прочность, жесткость и устойчивость?

5. Что называется расчетной моделью?

6. Понятия о модели прочностной надежности.

7. Понятия о брусе, оболочке, пластине и массивном теле.

8. Что такое стержень, вал и балка?

9. Как условно изображается и обозначается внешняя нагрузка?

10. Классификация внешней нагрузки.

11. Модели формы материала.

12. Как классифицируются виды разрушения?

 

Тесты к 1-3

1. Сопротивление материалов – это наука:

а) о действии нагрузок на конструкции;

б) об инженерных методах расчета на прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкции;

в) об упругости материальных тел.

 

2. Прочность конструкции

а) способность противостоять коррозии;

б) способность элемента конструкции растягиваться или сжиматься;

в) способность конструкции противостоять внешней нагрузке, не разрушаясь.

 

3. Жесткость конструкции

а) свойство подвергаться технологической обработке;

б) способность конструкции сохранять свои формы и размеры при действии внешней нагрузки;

в) способность противостоять вибрациям.

 

4. Устойчивость конструкции

а) способность сохранять заданную форму упругого равновесия;

б) способность противостоять опрокидыванию;

в) способность возвращаться в исходное положение при нагружении.

 

5.Расчетная модель

а) изготовление макета конструкции;

б) изготовление чертежей и эскизов конструкции;

в) совокупность аналогий реального объекта при отбрасывании от него второстепенных подробностей, что упрощает расчет.

 

Литература

 

[2, стр. 4-21]; [6, стр. 5-20], [5, стр. 5-15].

 

4. Внутренние силовые факторы (ВСФ)

 

4.1. Метод сечений

При деформировании упругих тел под действием внешней нагрузки возникают силы противодействия деформированию - внутренние силы. Пока не произойдет разрушение тела, внешние силы уравновешиваются внутренними. Природа внутренних сил – атомарное и молекулярное взаимодействие частиц тела. Внутренние силы или внутренние силовые факторы (ВСФ) определяются методом сечений.

Сущность метода сечений: упругое твердое тело, несущее внешнюю нагрузку, уравновешиваемую телом, мысленно рассекается плоскостью. Если тело – брус и секущая плоскость проводится перпендикулярно его оси, получают поперечное сечение.

Затем рассматривается условие равновесия каждой отсеченной части, то есть определяются сила и момент, которые, будучи приложенными в центре тяжести сечения, уравновесят внешнюю нагрузку, действующую на рассматриваемую отсеченную часть. Эта сила и момент, приложенные в центре тяжести сечения, являются соответственно главным вектором и главным моментом внутренних сил - (рис. 3-б).

 

а)	б)
в)	H – секущая плоскость; С – центр тяжести сечения; Силы Fί действуют на одну сторону сечения ί = 1,2,...,n → R - главный вектор внутренних сил;     → n → R = ∑ Fί ί=1 → M - главный момент внутренних сил. → → → M = ∑ M ί (Fί) Nx, Qy, Qz, Mx, My, Mz – внутренние силовые факторы.

Рис.3 Метод сечений.

 

На рис.3 (а, б, в) показана последовательность определения ВСФ по методу сечений.

Через центр тяжести сечения проводят три взаимно перпендикулярные оси. При этом ось х перпендикулярна сечению, а оси y и z проходят по поверхности сечения, совпадая с его главными осями. Определяют составляющие главных вектора и момента относительно осей x, y, z. (рис.3-в)

N_x - сила, перпендикулярная сечению, Q_y и Q_z – силы, действующие по поверхности сечения, M_x, M_y, M_z – моменты относительно соответствующих осей (рис. 3-в). Таким образом, в общем случае в сечении тела действуют шесть внутренних силовых факторов, величины и направление которых можно определить с помощью шести уравнений статики для пространственной системы сил:

 

(определяется) N_x; m_x = 0 (определяется) M_x;

(определяется) Q_y; m_y = 0 (определяется) M_y;

(определяется) Q_z; m_z = 0 (определяется) M_z;

 

N_x² + Q_x² + Q_z² = М_x² + М_y² + М_z²

 

Вопросы к 4

1. В чём сущность метода сечений?

2. Чему равен главный вектор и главный момент внутренних сил?

3. Как определяют внутренние силовые факторы?

4. Типы деформаций.

5. В чём заключается количественная оценка деформаций?

 

Тесты к 4

4.1. Метод сечений

а) метод определения центра тяжести сечения;

б) метод выявления внутренних сил в сечении нагруженного тела;

в) метод определения сил при растяжении – сжатии.

4.2. Какие внутренние силовые факторы действуют в сечении нагруженного тела?

а) силы растяжения, сдвига, моментов изгиба и кручения;

б) силы молекулярного притяжения;

в) электромагнитные гравитационные силы.

 

4.3. Главный вектор внутренних сил равен сумме сил внешних, действующих по одну сторону сечения?

а) да;

б) нет;

в) равен главному вектору внешних сил.

 

4.4. Главный вектор внутренних сил определяется методом сечений?

а) нет;

б) да;

в) определяется аналитически.

 

4.5. Главный момент внутренних сил определяет моменты изгиба?

а) нет;

б) да;

в) внешние силы.

 

Литература

 

[2, стр. 4-88]; [5, стр. 11-16, 22-78].

 

5. Напряжение

 

Напряжение – мера интенсивности внутренних сил, распределенных в сечении деформируемого тела по определенному закону.

Оптимальная величина напряжений – основной критерий прочности материала. Если напряжения во всех сечениях ЭК равны максимально допустимым – конструкция является равнопрочной и минимально материалоемкой.

Единица измерения напряжения – мегапаскаль (МПа)

1 МПа = 1 Н/мм²

- внутренняя сила, действующая на элементарной площадке сечения , (Н)

-площадь элементарной площадки, (мм²) (рис.4).

Рис.4	А – площадь сечения, (мм2); А = i, i =1,2, …, n рср -полное среднее напряжение на элементарной площадке , (Н/мм2, МПа) р – полное напряжение на элементарной площадке (Н/мм2, МПа) - нормальное напряжение, (МПа) - касательное напряжение, (МПа) n-n – внешняя нормаль к площадке А (рис.5)
Рис.5	ср = ; lim ; ;   ; р sin ; р cos

Таблица 2.

Типы деформации	Схема сил и напряжений	Напряжения, выраженные через внутренние силовые факторы
Осевое растяжение-сжатие: Направление силы F совпадает с осью бруса (стержня). В сечении бруса действует обобщенная внутренняя осевая сила Nx= Fi. Внутренняя сила Nx распределяется равномерно в поперечном сечении 0-0 в виде нормальных напряжений . В наклонном сечении – в виде нормальных и касательных напряжений . Закон Гука при растяжении-сжатии: ∆ℓ−ℓ1−ℓ0 абсолютное удлинение стержня (мм) ε =∆ℓ/ℓ - относительное удлинение стержня, А- площадь сечения (мм) ∆ℓ=F· ℓ0 / E ·А		Nx = const = Nx / A0 = F / A0 Nx = A0 ;   Nx = >0 – при растяжении <0 – при сжатии рa = =   sa нормальные и касательные ta напряжения наклоном сечении 1-1 sa = рa cos a; ta = pa sina sa = scos2 ta = 1/2ssin2a sa max = s (в сечении 0-0) ta max = s / 2 (при a = 450)
Сдвиг (срез): в поперечном сечении бруса действует сила Q, распределенная равномерно по поверхности сечения в виде касательных напряжений		Q = F = òAt × dA Q = t × A t = const t = Q/A
Кручение: в поперечном сечении вала действует крутящий момент m = Мx = Мк распределенный по поверхности сечений в виде касательных напряжений по линейному закону. По краям сечения max, в центре . Мк - положительный, т.е. Мк>0, если направление его действия – против часовой стрелки, а наоборот Мк<0		Mk = òAtpdAp; tp = Mkp/Jp Jr = òAr2 dA; Jr = pD4 / 32 – полярный момент инерции (мм4); Wr = Jr / rmax = pD3 / 16 – полярный момент сопротивления (мм3) tmax = Mk tmax / Jmax = Mk / Wr tmax = Mk / Wr
Изгиб (чистый): изгибающий момент Мu, действующий в плоскости симметрии, распределяется по поверхности сечения в виде нормальных напряжений по линейному закону. max – в крайних точках сечения по оси Y, = 0 – в центре сечения.		Mu = òAs × dA × y s = Mu × y / Jz smax = Mu × y max / Jz Jx = òAy2dA – осевой момент инерции smax = Mu / Wz Wz = Jz / ymax – осевой момент сопротивления Jz = bh3 /12; Wz = bh2 / 6(1) Jy = hb3 /12; Wz = hb2 / 6(2) Jz(y) = pD4/64;Wz(y) = pD3/3 (для круга)

Если в сечении действуют несколько ВСФ, то имеет место сложное сопротивление

Вопросы к 5

 

1. Что такое напряжение? Виды напряжений.

2. В каких единицах измеряются напряжения?

3. Чем отличаются нормальные напряжения от касательных?

4. Что оценивается величиной напряжений?

5. Что такое равнопрочная конструкция?

 

Тесты к 5

 

5.1. Напряжения нормальные возникают:

а) при растяжении – сжатии и изгибе;

б) при сдвиге – срезе;

в) при статическом нагружении.

 

5.2. Типы напряжений:

а) при ударе;

б) при ускоренном движении;

в) нормальные (σ), касательные (τ).

5.3. В наклонном сечении нагруженного стержня осевыми нагрузками возникают:

а) силы сдвига;

б) нормальные (σ) и касательные напряжения (τ);

в) продольные деформации.

 

5.4. При кручении в нормальном сечении вала возникают:

а) касательные напряжения;

б) нормальные напряжения

в) момент сопротивления (W_p).

 

5.5 При чистом изгибе в поперечном сечении балки возникают:

а) поперечные силы (Q);

б) касательные напряжения (τ);

в) нормальные напряжения (σ).

 

Литература

[2, стр. 135-165]; [5, стр. 121-132].

 

 

6. Механические характеристики материалов

 

При проектировании, при расчетах элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость и выборе соответствующих материалов необходимо знать их механические характеристики. К механическим характеристикам материалов относятся:

1. Упругость – способность материала восстанавливать свои первоначальные формы и размеры после снятия внешних нагрузок. Упругие свойства материалов характеризуют величины пределов пропорциональности ( _пц) и упругости ( _у).

2. Пластичность – способность материала приобретать пластические неисчезающие деформации после снятия внешней нагрузки. Пластичность материала характеризуется пределом текучести ( _т) и коэффициентами остаточного удлинения () и сужения шейки () испытуемого образца.

3. Прочность при статическом нагружении. Оценивается по пределам прочности (временное сопротивление) _в и текучести материалов _т. По _в оценивается прочность хрупких материалов, по _т - прочность пластичных материалов.

4. Прочность при ударной нагрузке – способность материала противостоять ударной нагрузке, оценивается по ударной вязкости материала “a”.

5. Выносливость материала или усталостная прочность – способность материала противостоять воздействию циклически изменяющихся напряжений. Выносливость материала оценивается по величине предела выносливости, как правило, при симметричном цикле нагружения ( _-1) как наиболее опасном.

6. Твердость материала связана соотношением с пределом прочности материала и определяется на ряде приборов посредством вдавливания в поверхность материала шарика, конуса, алмазной пирамиды (методы определения твердости по приборам Бринеля, Роквелла, Виккерса и др.).

Механические характеристики определяются экспериментальным путем в лабораторных условиях посредством испытания образцов, стандартной формы.

 

По результатам испытаний строятся диаграммы, например растяжения и сжатия. Механические характеристики материала и их обозначения даны в табл. 3.

Таблица 3.

Механические характеристики материалов

 

 

При сжатии характеристики механической прочности пластичных материалов вплоть до предела текучести совпадают с их значениями при растяжении:

 

s_уп(сж)» s_{уп(раст)}, s_пц(сж)» s_{пц(раст)}, s_т(сж)» s_т(раст)

 

Предел прочности (временное сопротивление) при сжатии зафиксировать практически невозможно. Образцы сплющиваются, принимают “лепесткообразную форму”. Для хрупких материалов предел прочности при сжатии значительно больше предела прочности при растяжении (s_{в сж}>s_{в раст}, )

Различают два основных вида конструкционных материалов: хрупкие и пластичные. Хрупкие материалы разрушаются при незначительной остаточной деформации (высокоуглеродистые и легированные стали, стекло, бетон и т.д.) без образовании шейки на поверхности образцов.

 

 

Рис.6. Диаграмма растяжения пластичного материала (сталь 3) I. «Da»,ав - зона упругого деформирования ( II. bc – площадка текучести III. cd – зона упрочнения IV. de – зона разрушения n-m – линия разгружения () m-n - линия повторного нагружения, упругие свойства проявляются (повышаются) до точки n – это наклёп c-e – линия истинных напряжений Аф – фактическая площадь поперечного сечения при растяжении.

Рис.7. Эскизы образцов: ; ; (1) – в начале испытаний (2) – начало разрушения (3) – после разрушения   - коэффициент остаточного удлинения. - коэффициент сужения шейки и - характеризуют пластичность материала

 

Пластичные материалы (малоуглеродистая сталь, золото, платина, свинец и т.д.) разрушаются при значительных остаточных деформациях. Образцы из малоуглеродистой стали разрушаются с образованием шейки (рис.7). Механические характеристики используются для определения допускаемых напряжений и деформаций.

На рис.6 дана диаграмма растяжения образца из малоуглеродистой стали и эскизы испытуемых образцов до и после испытаний. Диаграмма растяжения дает возможность наиболее полного получения механических характеристик пластичного материала при статическом нагружении.

Коэффициент Пуассона

Коэффициент Пуассона (n)совместно с модулем упругости (Е и G) является константой, характеризующей упругие свойства материала и связанные между собой зависимостью G= Е / 2(1+n)

Коэффициент Пуассона (n) определяется экспериментально или дается в справочниках для рассматриваемого материала.

Рис.8. Определение коэффициента Пуассона.

Коэффициент поперечной деформации (рис.8). (определяются тензометрами) - коэффициент Пуассона n - характеризует упругие свойства материалов n = 0…0,5 (см. табл.) n = 0,25…0,35 (для стали) Значения ²n² одинаковы при сжатии и растяжении

На рис.9 дана схема испытания образцов на ударную вязкость. Ударная вязкость характеризует прочность материалов при динамических нагрузках.

На рис.10 даны схемы определения твердости материалов. Твердость материала связана количественно с пределом прочности материала и служит в качестве экспресс-метода экспериментальной оценки прочности материалов.

 

;

Рис.9. Схема испытаний образцов на ударную вязкость

 

а) б)

Рис.10. а) Определение твердости материала по Бринелю НВ» 0,35s_в

б) Определение твердости по Роквеллу.

 

Вопросы к 6

 

1. Для чего необходимо знать механические характеристики материала?

2. Перечислите характеристики механической прочности.

3. В чем особенность диаграммы растяжения пластичных материалов?

4. Назовите характеристики пластичности материала.

5. Сравните механические характеристики при растяжении и сжатии?

6. Что такое испытания на ударную вязкость?

7. Для чего определяют твердость материалов?

8. Какие материалы называются пластичными, а также хрупкими?

 

Тесты к 6

Механические характеристики материалов

 

6.1. Упругость

а) способность материала изгибаться;

б) способность материала восстанавливать свою форму и размеры после снятия внешней нагрузки;

в) характеристика пружин и рессор.

 

6.2. Пластичность

а) способность материала приобретать остаточные пластические неисчезающие деформации;

б) свойство пластических масс при нагревании;

в) способность материала при ковке принимать необходимые формы.

 

6.3. Пластичность характеризуется:

а) пределом пропорциональности;

б) пределом текучести;

в) коэффициентом остаточного удлинения (d) и остаточного сужуния шейки (ψ) испытуемого образца.

 

6.4. Твердость материала:

а) способность материала к механической обработке;

б) способность материала противодействовать механическому проникновению в него инородных (посторонних) тел;

в) свойства, присущие твердым сплавам и алмазу.

 

6.5. Характеристики механической прочности:

а) модули упругости Е и G;

б) коэффициент Пуассона;

в) пределы пропорциональности s_пц, упругости s_уп, предел текучести s_т, предел прочности s_в

 

Литература

[2, стр. 33-56]; [6, стр. 26-56].

 

 

7. Геометрические характеристики плоских сечений (ГХПС)

 

ГХПС – необходимы для решения задач СМ при определении напряжений и деформаций (перемещений), выборе оптимальной формы сечений. Прочность и жёсткость ЭК зависит не только от свойств материала, но и от форм сечения элемента конструкции.

К ГХПС относятся (рис.11):

А – площадь сечения (мм²),

S – статический момент (мм³).

S_y = - статический момент относительно оси Y

S_z = - статический момент относительно оси Z

J_z(y) – осевой экваториальный момент инерции (мм⁴) относительно оси Z(Y)

J _z = y ² dA

J _y = z ² dA

Рис.11. Сечение для определения ГХПС.

 

J_zy- центробежный момент инерции (мм⁴), J_zy =

J_r – полярный момент инерции (мм⁴);

J_r = r²dA

r² = z² + y²

J_p = r²dA = (z² + y²)dA = J_y + J_z

W_z(y) – осевой момент сопротивления (мм ³)

W_z = ; W_y =

W_r - полярный момент сопротивления (мм ³)

 

W_r =

 

i_z(y) – радиус инерции (мм)

 

i_z = ; i_y =

 

Значения геометрических характеристик, часто встречающихся сечений даны в справочных таблицах [7].

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называется главными осями. Если главные оси проходят через центр тяжести, моменты инерции называются главными центральными моментами инерции, а их значение экстремально.

 

Вопросы к 7

 

1. Для чего необходимы геометрические характеристики плоских сечений?

2. Что такое полярный момент инерции?

3. Когда используют полярный момент сопротивления?

4 Для определения каких напряжений используют осевой момент сопротивления?

5. Что такое главные центральные оси инерции?

6. Какая геометрическая характеристика используется при определении прогиба?

7. Какая геометрическая характеристика используется при определении угла закручивания?

8. Какая геометрическая характеристика используется для определения максимальных касательных напряжений при кручении и максимальных нормальных напряжений при изгибе?

 

 

Тесты к 7

 

 

7.1. Влияние ГХПС на прочность и жесткость элементов конструкции:

а) не влияют на прочность и жесткость;

б) зависит от направления внешней нагрузки;

в) от конфигурации сечения зависит величина напряжений и деформаций.

 

7.2. Осевые моменты инерции:

а) сумма осевых моментов инерции величина постоянная;

б) сумма осевых моментов инерции величина не постоянная;

в) сумма осевых моментов инерции зависит от нагрузки.

 

7.3. Осевой момент сопротивления круга:

а) J _z= J_y = πD_n⁴ / 4

 

б) J_z + J_y = πD_n² / 2

 

в) W_z = πD³ / 32

 

7.4. Осевой момент сопротивления прямоугольника:

а) W_z = W_y = bh²/ 6;

б) W_z = bh²/ 6; W_y = b²h/ 6;

в) W_z + W_y = 0.

 

7.5. Полярный момент инерции кольца:

а) J_p = πD⁴ / 32 (1 –c⁴);

б) J _p = πD⁴ / 32;

в) J _p = J_z + J_y.

 

Литература

 

[2, стр.135-165]; [5, стр. 121-132].

 

 

8.Принцип расчета на прочность

 

Напряжения, при которых возникает тот или иной вид разрушения (хрупкое или пластичное), называют предельными. Для хрупких материалов предельным напряжением ( _пред) является предел прочности ( _в), а для пластичных – предел текучести ( _т). Максимально допускаемое рабочее (расчетное) напряжение, обозначаемое исходя из условий прочности, должно быть меньше предельного.

Отношение предельного к максимально допустимому рабочему напряжению должно быть больше 1 и называется коэффициентом запаса – (n)

 

 

s_т

 

= s _пред

s_в n - коэффициент запаса

s_пред / n > 1

 

Коэффициент запаса n учитывает следующие основные факторы.

1. Погрешности в создании рабочей модели.

2. Возможные превышения, нагрузки в процессе эксплуатации.

3. Степень ответственности изделия.

4. Несовершенства в определении свойств материала.

5. Вероятность возможных экстремальных ситуаций (землетрясение, случайный удар и т.п.).

Величина коэффициента запаса n устанавливается, исходя из главных условий: надежности и экономичности для каждого вида изделия или элемента конструкции. Зная величину коэффициента запаса, определяют допускаемые напряжения для деформаций растяжения-сжатия и изгиба, и для сдвига и кручения. При увеличении n увеличивается материалоемкость и вес ЭК.

Поэтому величина n должна быть оптимальной, обеспечивая требуемую надежность, экономичность и материалоемкость конструкции. При сложном сопротивлении (например, изгиб с кручением) в сечении одновременно действуют нормальные и касательные напряжения. В этих случаях определяют эквивалентные (приведенные) напряжения по той или иной теории (гипотезе) прочности, условие прочности при сложном сопротивлении. [2, стр. 340-354].

По условию прочности максимальное эксплуатационное напряжение s_max, действующее в опасном сечении, не должно превышать допустимое напряжение . Для пластичных материалов

s_max £ [s].

Для хрупких материалов при растяжении s_max £ [s]_p, при сжатии

 

Допустимые напряжения определяются либо по экспериментальным данным, либо берутся из справочников.

/n

Из условия прочности решаются 3 вида задач:

Для соответствующих типов деформаций решение задач из условия прочности даны в табл. 4.

Таблица 4.

Расчеты на прочность бруса с прямолинейной осью

 

 

Изгиб

Растяжение- сжатие

Растяжение-

сжатие

 

Вопросы к 8

1. Какие напряжения называют предельными?

2. Что такое коэффициент запаса?

3. От чего зависит коэффициент запаса?

4. Предельно допустимые напряжения. Как они применяются для растяжения и сжатия?

5. Условия прочности для простейших типов деформаций.

6. Три вида задач из условия прочности.

 

Тесты к 8

8.1. Предельные напряжения:

а) напряжения, при которых начинается разрушение (хрупкое и пластичное);

б) напряжение, при котором относительное удлинение составляет 0,5%;

в) напряжение при коэффициенте запаса n = 1.

 

8.2. Напряжение допускаемое (максимальное),[s], [t]:

а) всякое напряжение меньше предела пропорциональности;

б) напряжение, равное временному сопротивлению;

в) предельное напряжение, деленное на коэффициент запаса.

 

8.3. Коэффициент запаса:

а) отношение предельного напряжения к максимальному допустимому напряжению;

б) безразмерная величина больше 1;

в) отношение нормального напряжения к касательному.

 

8.4. Каковы последствия увеличения коэффициента запаса?

а) вес конструкции уменьшается;

б) вес конструкции увеличивается;

в) вес конструкции не изменяется.

 

8.5. Предельные напряжения:

а) s_max / n £ [s], t_max £ [t];

б) s_т / n £ [s], t _т / n £ [t];

в) s_в / n £ [s], t _в / n £ [t];.

 

Литература

 

[2, стр.54-58]; [6, стр. 44-46].

1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Читайте также:

I. Основы либеральной политики (Часть первая)
I. Теологические основы
III. Теоретические основы.
IV. Концептуальные основы образовательного стандарта по предмету
V1: Раздел 1. Физические основы механики
XI. Логические основы редактирования (знание законов, умение рассуждать) XII. Применение основных законов логического мышления в работе редактора над авторским текстом
Арифметические основы ЭВМ
Б) Откуда берутся характерные сопротивления?
Балабанов И.Т.Основы финансового менеджмента. Как управлять капиталом? Изд. 2-е. - М.: Финансы и статистика, 1997. - 384 с.
БИБЛЕЙСКИЕ ОСНОВЫ ВЗАИМОСВЯЗИ

Воспользуйтесь поиском по сайту: